Красота и гармония в геометрии

А если это так, то что есть красота И почему ее обожествляют люди. Сосуд она, в котором пустота, Или огонь, мерцающий в сосуде. Н. Заболоцкий

i-301.jpg

Известный шведский физик, лауреат Нобелевской премии профессор Ханнес Альвена писал: «Хотя имена великих ученых-теоретиков хорошо известны, не каждый представляет себе, каким образом они работают. Часть их работы напоминает деятельность художника: и художник, и ученый отделяют существенное от хаоса чувственных восприятий и представляют это существенное в возможно более концентрированной и элегантной форме. Подобно тому, как художник выражает свои мысли и чувства в красках, скульптор – в глине, музыкант – в звуках, так и профессионал от искусства науки использует формулы и законы, которые, подобно всякому обогащенному отражению окружающего мира, являют собой степень красоты. Высочайшая похвала, которую теоретик может заслужить, показывая вновь выведенную формулу, это восторженный возглас его коллеги: «Как она красива!» Фактически красота формулы отличается от красоты музыки не более, чем красота музыки от красоты картины... Древние греки относили астрономию к изящным искусствам, ее музой была Урания. Другие науки не попали в число изящных искусств лишь потому, что еще не существовали в то время, когда родились девять знаменитых дочерей Мнемозины» .

i-302.jpg

Трудно точно ответить на вопрос, где исток и начало представления, что физический мир, который нас окружает, создан по законам красоты. Самый ранний след этой идеи мы находим у мудрецов древней Эллады. Впервые Пифагор обратил внимание на порядок и гармонию, царящие во Вселенной. Мысль о прекрасном устройстве мироздания неминуемо должна была прийти в голову тому, кто приписывал его сотворение некоему разумному и всесильному существу. По Аристотелю, бытие прекрасно безотносительно к чему бы то ни было. Оно абсолютно прекрасно. Однако видимый, окружающий человека мир земной природы вовсе не был таким уж прекрасным, за исключением частностей, представляя собой хаотическое нагромождение случайного и преходящего. Объяснения предлагались разные. Во-первых, была высказана догадка, что красота мироздания, по воле того самого архитектора, не явлена обнаженно, но скрыта завесой тайны, расшифровать которую, быть может, предстоит мудрейшим из мудрейших. По Гераклиту, «скрытая гармония лучше явной», т.е. эстетическое значение гармонии тем сильнее, чем глубже лежат те противоположности, которые ее составляют.

i-303.jpg

Во-вторых, Вселенную предлагалось рассматривать не целиком, а частями – отдельно небо и землю. Пифагорейцы ввели понятие космоса, определяющее Вселенную как упорядоченное единство (в противоположность хаосу). Небо, космос безоговорочно признавались воплощением красоты: ведь там, в отличие от Земли, не виделось ничего неправильного, «случайного». Пифагорейцы понимали гармонию диалектически – как «согласие несогласных» и отождествляли гармонию, совершенство и красоту. Заслуживает внимания гераклитовское толкование меры как одной из важнейших эстетических категорий античной эстетики. Мера – это объективная закономерность, которая существует независимо от человека. Важнейшие эстетические понятия – красота, гармония, мера – рассматриваются Гераклитом как отражение свойств и связей объективного мира. В соответствии с принципом красоты-тайны, философы знаменитой школы Пифагора высказали идею, что в основу гармонии мироздания положено число. Это было вполне логично, поскольку выяснилось, что, с одной стороны, число тесно связано с реальным физическим миром (все в нем поддается счету), а с другой – существует как бы отдельно от него, чуждо земному хаосу, не подвержено разрушению и тлену.

i-304.jpg

Позже, когда была открыта связь между числом и музыкой, эта мысль сделалась более конкретной: красота мира усматривалась не просто в числе, но в неких численных соотношениях, соответствующих музыкальным тонам. «Гипотеза» о «музыке сфер» оказалась необычайно соблазнительной и живучей. Даже две тысячи лет спустя она сумела захватить воображение Кеплера. С тем большей легкостью вновь и вновь возрождалась она к жизни по прошествии более коротких сроков со времени своего возникновения.

Одним из первых подхватил эту «гипотезу» Платон. Для него, как и для пифагорейцев, не существовало вопроса: «Прекрасен ли мир?» Разумеется, прекрасен! «Невозможно ныне и невозможно было издревле, чтобы тот, кто есть высшее благо, произвел нечто, что не было бы прекраснейшим...».

i-306.jpg

Но есть все же принципиальная разница между представлением о природе, диктуемым вольным полетом фантазии, и представлением, которое стремится опереться на реальные наблюдения, т.е. между мифотворчеством и наукой. Наиболее интересно то, как уживается идея красоты с собственно научным мышлением, есть ли это своего рода атавизм, передаваемый по наследству от одного поколения ученых к другому, или же она органически свойственна их образу мыслей. И, наконец, есть ли в самой природе нечто такое, что дает реальный повод считать ее прекрасной. Основоположник атомистического материализма Демокрит считал, что сущность прекрасного заключается в симметрии, мере, гармонии частей, в определенных количественных отношениях. Таким образом, Демокрит, пифагорейцы и Гераклит пытались найти и определить объективную основу прекрасного, которую видели или в количественных отношениях, господствующих в мире, или в вещественных свойствах космоса, или в стройном порядке, гармонии и симметрии частей. Удивительно, что на заре человечества гениальные мыслители древности интуитивно очень точно определили объективную основу красоты, которую величайшие умы современности находят в крупнейших научных теориях и открытиях.

В своем трактате «Об искусстве поэзии» Аристотель утверждает, что основными видами прекрасного являются «слаженность, соразмерность и определенность, математика больше всего и выявляет именно их». Выдающийся физик-теоретик XX века Вернер Гейзенберг подчеркивал, что, включив математику в религию, пифагорейцы достигли решающего пункта в развитии человеческого мышления: «Восприняв от античности идею о математическом истолковании порядка в природе, современное естествознание осуществляет ее, однако, другим... способом... Наука нового времени показала, что в окружающем нас реальном мире неизменными являются не геометрические формы, а динамические законы... Гармонию пифагорейцев, которую еще Кеплер надеялся найти в орбитах небесных светил, естествознание со времен Ньютона ищет в математической структуре законов динамики, в уравнениях, формулирующих эти законы» [1, c. 139]. Эту мысль развивает современник Гейзенберга Нобелевский лауреат в области физики Поль Дирак, утверждая, что Эйнштейн «считал необходимым качеством фундаментальных уравнений присущую им красоту. Эйнштейн впервые высказал эту мысль и больше, чем кто бы то ни было, подчеркивал важность красоты основных уравнений... Этот принцип оказался чрезвычайно успешным. Особенно плодотворен он был в руках Эйнштейна. Нужно просто принять на веру, что Бог именно таким создал мир. Он бросил нам вызов – найти математику, на которой держится физика. Мы должны, конечно, понимать, что задача еще не решена и что все недостатки и неудачи современной теории следует относить на счет ее несовершенства. Необходимо изучить это несовершенство и попытаться от него избавиться».

i-307.jpg

Проблемой выявления объективных критериев красоты занимались многие выдающиеся философы. Французский поэт и теоретик классицизма Никола Буало считал, что нет красоты вне истины. Критерием красоты, как истины, является ясность и очевидность, все непонятное некрасиво. Ясность должна касаться не только частей, но и целого. Отсюда гармония частей и целого провозглашается как непременная основа прекрасного. Английский философ Шефтсбери полагал, что внутреннее чувство, дающее возможность отличать красоту от уродства, присуще человеку от рождения. Но только в виде задатков, в виде предрасположения. Внутреннее чувство нуждается в дальнейшем развитии, совершенствовании. Красоту мира человек способен постичь, если его способности развиты соразмерно. Гармония мира постигается лишь гармонично развитой личностью. Дальнейшее обоснование эта идея Шефтсбери получила у Френсиса Хатчесона. Хотя внутреннее чувство рассматривается как «данное от природы», все же для его развития требуется «просвещение и образование». Образование, обычай, по Хатчесону, оказывают влияние на внутренние чувства. Английский философ-агностик Давид Юм пытается определить «стандарт вкуса». Проводя сравнения между отдельными видами и степенями прекрасного, сопоставляя их и размышляя над этим, человек обогащается опытом, усовершенствуется посредством сравнения, развивает свое чувство, и, следовательно, у него развивается эстетический вкус. В результате этого появляется тот утонченный вкус, который может входить в качестве элемента в норму вкуса. «Совершенствуясь от полученных научных знаний и свободных искусств, люди неизбежно станут более человечными вследствие самой привычки взаимного общения, принимая друг друга и доставляя друг другу взаимное удовольствие», – писали Ф. Хатчесон, Д. Юм и А. Смит в коллективном труде «Эстетика». Из вышесказанного становится понятным, каким образом «существенный шаг вперед делался в математике одновременно и независимо несколькими учеными из разных стран, в то время как ранее к этим идеям не смог прийти никто. В качестве примеров здесь можно указать на открытие аналитической геометрии Р. Декартом и П. Ферма, открытие математического анализа И. Ньютоном и Г. В. Лейбницем, открытие неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевским, Я. Бойяи и К. Ф. Гауссом, открытие векторного исчисления Г. Грассманом и У. Р. Гамильтоном, подобно тому, как к идеям специальной теории относительности одновременно пришли А. Эйнштейн и А. Пуанкаре, а квантовая механика в разных, но эквивалентных обличиях была независимо и одновременно разработана Э. Шредингером и В. Гейзенбергом. При этом, для того чтобы еще больше оттенить независимость развития науки от каких бы то ни было индивидуальных свойств ученых, делавшие одни и те же открытия люди сплошь и рядом оказывались по своим человеческим свойствам весьма различными, чуть ли не несовместимыми. Так, например, трудно найти более непохожих друг на друга людей, чем абстрактнейший мыслитель, не получивший систематического образования и пришедший к математике от своих теологических и филологических интересов, Герман Грассман, всю жизнь проработавший учителем математики в гимназии провинциального немецкого города Штеттина, и общительный (а порой даже беспутный) астроном из ирландской столицы Дублина Роан Уильям Гамильтон, в трудах которого математика всегда связывалась с физикой и механикой (прогресс которых в XIX в. во многом связан с именем Гамильтона), или как кабинетный ученый Исаак Ньютон, не посетивший, кажется, ни одного города, кроме Лондона и Кембриджа, и объехавший чуть ли не весь свет Готфрид Вильгельм Лейбниц, разностороннейший ученый и мыслитель с широчайшими внематематическими интересами». Все эти люди, будучи совершенно разными личностям, со своими привычками и образом жизни, в первую очередь были учеными, впитавшими научные знания и опыт предыдущих поколений и активно подхватывающими современные достижения, обладающими незаурядным интеллектом, любопытством исследователя и жаждой поиска истины. Именно они остро чувствуют красоту мира, представляющего собой «единственно возможное гармоническое сочетание – согласие многих составных частей, мира (физической реальности или системы) ... в действии вариационных принципов», и красоту теорий, описывающих его. Критерий изящности, красоты, внутреннего совершенства все больше проникает в процесс научного исследования. Эстетический критерий интуитивно включается в процесс выбора наиболее приемлемого решения. «...Исследователь считает «элегантной» только ту теорию, которая дает максимум результатов при минимуме затраченных средств в рамках его мировоззрения. Поэтому выбор на основе эстетического чувства, в конечном счете, сводится к выбору на основе философских принципов».

i-308.jpg

Начиная с некоторого момента, физики все больше стали обращать внимание на поразительное свойство законов – на их симметрию. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания; его широко используют все без исключения направления современной науки. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своем многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии. Немецкий математик Г. Вейль утверждал, что «симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство».

Законы сохранения вытекают из симметрии пространства и времени. Каждому виду симметрии соответствует свой закон сохранения. Так, например, закон сохранения энергии является следствием симметрии природы относительно сдвигов во времени. Симметрия относительно сдвигов в пространстве приводит к закону сохранения количества движения... И еще одна удивительная вещь. Выстраивается некая лесенка: законы природы позволяют нам предсказывать явления; законы – это словно бы какая-то более высокая по сравнению с явлениями ступенька в иерархии, установленной природой; что касается принципов симметрии, то они позволяют нам предсказывать сами законы природы, т. е. играют по отношению к ним такую же роль, какую законы – по отношению к явлениям. Получается, что во всеобщей симметрии красота помещена на самую верхнюю ступеньку (по крайней мере, из тех, которые нам известны сегодня). «Что касается принципов симметрии, то я склонен отстаивать тезис о том, что для них сырьем служат законы природы... Именно переход с одной ступени на другую, более высокую – от явлений к законам природы, от законов природы к симметрии, или принципам инвариантности, – представляет собой то, что я называю иерархией нашего знания о... мире», – писал Юджин Вигнер, получивший в 1963 году Нобелевскую премию по физике за свои исследования принципов симметрии, лежащих в основе взаимодействия элементарных частиц. В 30-е годы Вернер Гейзенберг отмечал, что извечный поиск гармонии в природе завершен; вопрос о том, в чем именно она заключена, решен «строгим и окончательным образом»: в изящной математической форме динамических законов. Сегодня мы вправе сказать: гармония предстает человеческому взору не просто в математической форме законов, а в их математической симметрии.

i-310.jpg

До 1956 года физики ставили симметрию по отношению к зеркальному отражению в один ряд с симметриями, отвечающими однородности пространства и времени, изотропности пространства, инвариантности относительно преобразований Лоренца. Иными словами, они были убеждены, что симметрией относительно отражения обладают все без исключения физические законы. Но в 1956 году американские физики Ли и Янг выдвинули предположение, что инвариантность по отношению к зеркальному отражению не должна иметь места в группе законов, описывающих явления распада элементарных частиц. В следующем году это предсказание было подтверждено прямым экспериментом. Оказалось, что в законы природы неинвариантны по отношению к зеркальному отражению, т.е. зеркальная симметрия присутствует не во всех физических законах, в некоторых явлениях природа обнаруживает лево-правую асимметрию. С обнаружением зеркальной асимметрии в явлениях распада элементарных частиц мы, возможно, получаем ключ к объяснению поразительного факта асимметрии живых молекул, которая широко встречается в природе и играет принципиально важную роль в живых организмах. Молекулы белков, ДНК, играющие принципиально важную роль в жизненных процессах, являются подлинным царством природных винтов. Кристаллические решетки, как правило, обладают зеркальной симметрией, но существуют и зеркально-асимметричные решетки, некоторые из них характеризуются винтовой структурой. Примером может служить решетка кварца. Основа ее тетраэдр, в центре которого находится атом кремния, а в вершинах – атомы кислорода. В направлении главной оси кристалла указанные тетраэдры располагаются по винтовой линии. Решетка кварца может быть закручена как влево, так и вправо, и эти модификации являются зеркальными отражениями друг друга. Лево-правая асимметрия в мире молекул проявляется в явлении стереоизомерии.

Стереоизомеры имеют одинаковый химический состав, одинаковую геометрическую форму молекулы, одинаковые структурные элементы, одинаковые внутренние связи, однако это разные вещества с разными химическими свойствами. Опыты Пастера с изомерами виннокаменной кислоты показали, что уже низшие организмы имеют приспособления, отличающие два зеркальных отражения. М. Гарднер по этому поводу пишет: «Одна из наиболее замечательных черт жизни – это способность организма извлекать из окружающей среды химические соединения, молекулярная структура которых по большей части симметрична, и изготовлять из них правые и левые асимметричные соединения углерода. Растения используют симметричные соединения вроде воды и углекислого газа и превращают их в асимметричные молекулы крахмала и сахара. Тела всех живых существ насыщены асимметричными углеродными молекулами, а также асимметричными спиралями белков и нуклеиновых кислот». Можно заключить, что симметрия выражает нечто общее, свойственное разным объектам или явлениям, она связана со структурой, она лежит в самой основе вещей. Тогда как асимметрия выражает индивидуальность, она связана с воплощением структуры в том или ином конкретном объекте или явлении.

i-311.jpg

Когда мы пытаемся понять, для чего ученому-естествоиспытателю думать о красоте природы, мы касаемся сокровенной стороны его творчества, движущих им тайных психологических пружин – мотивов. Собственно говоря, сильный интеллект и сильные мотивы – это то, что определяет успех работы исследователя. Причем, как считают психологи, роль мотивов тут более велика и стоит на первом месте. «Так же, как поглощение пищи без удовольствия превращается в скучное питание, так занятие наукой без страсти засоряет память, которая становится неспособной усваивать то, что она поглощает», – писал Леонардо да Винчи. Известный харьковский физик, лауреат Государственной премии Украины за 2004 г. В. М. Кошкин отмечает: «Наука как род работы – дело увлекательное и дело счастливое. Занятие наукой эмоционально. Никакой угрюмой мрачности! Только работа, доставляющая радость самому себе, может быть творческой».

Именно сильная мотивация прежде всего отличала выдающихся ученых, резко выделяла их среди коллег. В числе побудительных мотивов, движущих учеными, издавна были и эстетические. Для Птолемея, Коперника, Кеплера красота мира служила сильнейшим источником вдохновения, могучим притягивающим к себе магнитом. Красота обогатила творчество Эйнштейна, Бора, Гейзенберга. Человек постоянно нуждается в духовной пище двоякого сорта – и в рациональной, и в эмоциональной. А красота, пожалуй, как ничто другое, способна вызвать эмоции.

«Красота науки и в логической стройности, и в богатстве связей. Понятие красоты играет важную роль для проверки правильности результатов и для отыскания новых законов и является отражением в нашем сознании гармонии, существующей в природе».

i-312.jpg

Умение чувствовать красоту, наряду со способностью удивляться, должно определять выбор научной профессии. Вот что писал выдающийся математик Анри Пуанкаре в книге «Наука и метод» «о той красоте, ради которой ученый обрекает себя на долгие и тяжкие труды»: «Я имею в виду ту более глубокую красоту, которая кроется в гармонии частей, которая постигается только разумом. Это она создает почву, создает основу для игры видимых красот, ласкающих наши чувства. Без этой поддержки красота мимолетных впечатлений была бы несовершенна, как все неотчетливое и преходящее. Напротив, красота интеллектуальная дает удовлетворение сама по себе...»

Математика - это не просто цифры и формулы, это еще и гармония и красота. "Если студенты одинаково решили, предпочтение отдается тому, кто нашел более красивое решение. Есть такое понятие в математике - красота формулы. Я не знаю даже с чем сравнить. Это как красота в искусстве, так и красота в математике".

i-321.jpg

Кстати, понятие «красота формулы» недавно получило еще одну интересную трактовку. Ученые из Калифорнийского университета, выполнив ряд экспериментов, смогли доказать, что человек считает образ или предмет более или менее красивым в зависимости от того, насколько быстро его мозг способен обработать данное изображение. Петр Винкельман, профессор из Калифорнийского университета, отмечает: «Стремление мозга к экономии энергии объясняет культурные и исторические отличия в восприятии красоты. Человеку кажется красивым то, что более привычно и что легче воспринимается». Недаром великие художники соблюдали пропорции золотого сечения и золотой спирали в своих полотнах.

i-313.jpg

О красоте математики написано немало. Многие авторы видят её в гармонии чисел и форм, геометрической выразительности, стройности математических формул, решении задач различными способами, изяществе математических доказательств, порядке, универсальности математических методов. Под понятие красоты подводится широкий спектр различных объектов, начиная от схем зверушек, составленных из отрезков, до представления красивой модели, удовлетворяющей требованиям простоты, неожиданности, изоморфизма.

i-319.jpg

Ученые, исследуя красоту математики, давали различные формулы эстетической привлекательности математического объекта. Например, Г. Биркгоф дал следующую формулу: , где М – мера красоты объекта, О – мера порядка, С – мера усилий, затрачиваемых для понимания сущности объекта. А у В.Г. Болтянского своя формула "математической эстетики": красота = наглядность + неожиданность + простота + … И та, и другая формулы созвучны: в них красота математического объекта обусловлена взаимодействием его обобщенного образа, созданного нашей психикой, и оригинальности, выделяющей этот объект из множества других.

i-320.jpg

Во времена Пифагора эта формула воспринималась как выражение принципа космической эволюции: два противоположных начала (два квадрата, соприкасающихся ортогонально) порождают третье, равное их сумме.

Доказательство Евклида Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны.

Доказательство Леонардо да Винчи Главные элементы доказательства — симметрия и движение.

Доказательство методом бесконечно малых Следующее доказательство при помощи дифференциальных уравнений часто приписывают известному английскому математику Харди, жившему в первой половине XX века.

Формула Эйлера Звание красивейшей получила также формула Эйлера, известного своим стремлением ввести красоту в науку. «Некоторые математики обращали внимание, что в ней «собрались все», т.е. все самые замечательные математические числа, и единица таит в себе бесконечности! — это имеет глубокий философский смысл», Формула Эйлера впервые была доказана Роджером Котсом (Roger Cotes) в 1714 году в логарифмической форме: Эйлер опубликовал формулу в её привычном виде в 1748 году, построив доказательство на равенстве бесконечных разложений в степенные ряды правой и левой частей. Ни Эйлер, ни Котс не представляли себе геометрической интерпретации формулы: представление о комплексных числах, как точках на комплексной плоскости, появилось примерно 50 лет спустя (Г. Вессель). Доказательство формулы Эйлера достаточно тривиально. Разложим функцию eix в ряд Тейлора по степеням x. Получим:

Фракталы Описать структуру фрактала можно на примере береговой линии: издали она имеет вид кривой, однако при приближении у кривой появляются другие неровности, и сколько не приближай взгляд, кривая никак не исчезает. На той же основе и были созданы фрактальные графики. В частности, на рисунке приведен пример кривой Коха, самой простой из всех фрактальных функций.

i-315.jpg

Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает "состоящий из фрагментов”.

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».

i-318.jpg

Самое известное из них - множество Мандельборта, самое красивое из всего, созданного точными науками. Если кому-то что-то это скажет, формула множества Мандельброта записывается так: Z[i+1] = Z[i] Z[i] + C, где Zi и C - комплексные переменные. Итерации выполняются для каждой стартовой точки C прямоугольной или квадратной области - подмножестве комплексной плоскости. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока Z[i] не выйдет за пределы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке (0,0), (это означает, что аттрактор динамической системы находится в бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например 200-500) Z[i] сойдется к какой-нибудь точке окружности. В зависимости от количества итераций, в течении которых Z[i] оставалась внутри окружности, можно установить цвет точки C (если Z[i] остается внутри окружности в течение достаточно большого количества итераций, итерационный процесс прекращается и эта точка растра окрашивается в черный цвет).

i-314.jpg

Вышеописанный алгоритм дает приближение к так называемому множеству Мандельброта. Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки имеющие черный цвет). Точки принадлежащие границе множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за пределами множества, уходят в бесконечность через несколько итераций (белый фон).

Множество Мандельброта является связным, хотя в это и трудно поверить, глядя на хитрые системы мостов, соединяющие различные его части.

Число итераций очень близко к логарифму электрического потенциала, который возникает, если зарядить множество Мандельброта. Точнее, предел ln(ln( | zn | ) / 2n) + const совпадает с этим потенциалом.

Если сильно увеличить множество Мандельброта в граничной точке c и то же самое проделать с множеством Жюлиа для этого же значения c и в этой же точке, то картины будут асимптотически стремиться друг к другу при все больших увеличениях.

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

i-317.jpg

Самые простые из них - геометрические, как кривая Коха. Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Рассмотрим один из таких фрактальных объектов - триадную кривую Кох. Построение кривой начинается с отрезка единичной длины - это 0-е поколение кривой Кох. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный через n=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Кох. В 1-ом поколении - это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия - каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом. На примере было изображено пятое поколение кривой. При функции, где n>?, изображение начинает уходить в ту степь, куда не ступала нога человека: в бесконечность.

Кривая Коха нигде не дифференцируема и не спрямляема. Кривая Коха не имеет самопересечений. Кривая Коха имеет промежуточную (то есть не целую) хаусдорфову размерность, каждая из которых подобна всей кривой с коэффициентом подобия 1/3.

дерево Пифагора Одним из свойств дерева Пифагора является то, что, если площадь первого квадрата равна единице, то на каждом уровне сумма площадей квадратов тоже будет равна единице.

i-316.jpg

Источники 1)Научно-популярный журнал Universitates 2)Презентации моих сокурсников по теме Математика, Физика 3)Открытки и текст, преобразованные мною

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И.Калинин) Астрономия (как наука) стала существовать с тех пор, как она соединилась с математикой. (А.И.Герцен) Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии. (А.С.Пушкин)

i-322.jpg

И увидел он сердце тьмы и узрел свет, которого нет… И увидел он красоту, что зовется любовью… Истина не в белом и черном, а в сером и цветном, ибо нет цветов – есть лишь оттенки…


Источник: http://trendclub.ru/4067


Рекомендуем посмотреть ещё:


Закрыть ... [X]

Элективный курс по геометрии "Геометрия, красота и гармония" Цвета для свадьбы 2016 фото



Красота и гармония в геометрии Математическое понятие Красоты - искусство, математика. - Trend Club
Красота и гармония в геометрии Тема «Симметрия символ красоты, гармонии и совершенства»
Красота и гармония в геометрии Учебный проект: "Геометрия, красота и гармония" Iteach
Красота и гармония в геометрии Красота, гармония, симметрия - презентация по Геометрии
Красота и гармония в геометрии 21 идея причесок для маленьких принцесс Я happy МАМА
Красота и гармония в геометрии Аптечные средства от морщин (препараты, мази, кремы)
Красота и гармония в геометрии Голубая ель из семян: посадка и уход за сеянцами - m
Красота и гармония в геометрии Гормональные прыщи - Как избавиться от прыщей
Красота и гармония в геометрии Греческая прическа с повязкой: как сделать? (с фото и видео)
Игры уборка - Игры для девочек уборка в доме Как перевести деньги с Теле2 на Мегафон - пошаговая инструкция Как сделать прическу (для мужчин) - wikiHow Кризис среднего возраста Секс и отношения ZdravoE Маска для лица из черной глины в домашних условиях Можно ли беременным красить ногти?

Похожие новости