Вычислите отношение площадей треугольников

Задачник «Кванта» по математике

Условия задач

1970 год

1. В стране Анчурии, где правит президент Мирафлорес, приблизилось время новых президентских выборов. В стране ровно 20 000 000 избирателей, один процент которых (регулярная армия Анчурии) поддерживает Мирафлореса. Он хочет быть президентом, но, с другой стороны, хочет, чтобы выборы казались демократическими. «Демократическим голосованием» Мирафлорес называет вот что: всех избирателей разбивают на несколько равных групп, затем каждую из этих групп вновь разбивают на некоторое количество равных групп, затем эти последние группы снова разбивают на равные группы и так далее; в самых мелких группах выбирают представителя группы — выборщика, затем выборщики выбирают представителей для голосования в ещё большей группе и так далее; наконец, представители самых больших групп выбирают президента. Мирафлорес сам делит избирателей на группы. Может ли он так организовать выборы, чтобы его избрали президентом? (При равенстве голосов побеждает оппозиция.)

2. Дана сфера радиуса 1. На ней расположены равные окружности γ0, γ1,..., γn радиуса r, где n > 2. Окружность γ0 касается всех окружностей γ1,..., γn; кроме того, касаются друг друга окружности γ1 и γ2, γ2 и γ3,..., γn и γ1. При каких n это возможно? Вычислите соответствующий радиус r.

3. а) На рисунке плоскость покрыта квадратами пяти цветов. Центры квадратов одного и того же цвета расположены в вершинах квадратной сетки. При каком числе цветов возможно аналогичное заполнение плоскости?

б) На другом рисунке плоскость покрыта шестиугольниками семи цветов так, что центры шестиугольников одного и того же цвета образуют вершины решётки из одинаковых правильных треугольников. При каком числе цветов возможно аналогичное построение?

Примечание автора задачи. В пункте а) количество цветов может равняться единице (все квадраты одного цвета) и двум (как на шахматной доске). В пункте б) второй задаче вы без труда найдёте решения с одним цветом и с тремя цветами. Желательно дать полное решение задач, то есть описать все раскраски, удовлетворяющие указанным условиям. Подумайте, например, существует ли во второй задаче решение с тринадцатью цветами?

Примечание редакции. Автор задачи забыл потребовать, чтобы решётки, соответствующие разным цветам, получались друг из друга параллельными переносами. Без этого требования задача гораздо проще и менее интересна, чем с ним. Решите её в обеих формулировках!

4. Дан отрезок AB. Найдите множество таких точек C плоскости, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A, равна высоте, проведённой из вершины B.

5. В множестве E, состоящем из n элементов, выделены m различных подмножеств (отличных от самого E) так, что для любых двух элементов множества E существует единственное выделенное подмножество, содержащее оба элемента. Докажите неравенство m ³ n. В каких случаях возможно равенство? Решение М5.

6. Перед вами часы. Сколько существует положений стрелок, по которым нельзя определить время, если не знать, какая стрелка часовая, а какая — минутная? (Положения стрелок можно определить точно, но следить за движением стрелок нельзя.)

7. a, b, c — длины сторон треугольника. Докажите, что сумма чисел a⁄(b + c – a), b⁄(c + a – b) и c⁄(a + b – c) больше или равна 3.

8. Двое играют в такую игру. Из кучки, где имеется 25 спичек, каждый берёт себе по очереди одну, две или три спички. Выигрывает тот, у кого в конце игры — после того, как все спички будут разобраны,— окажется чётное число спичек. Кто выигрывает при правильной игре — начинающий или его партнёр? Как он должен играть, чтобы выиграть? Как изменится ответ, если считать, что выигрывает забравший нечётное число спичек?

Исследуйте эту игру в общем случае, когда спичек 2n + 1 и разрешено брать любое число спичек от 1 до m.

9. Рассмотрим следующие свойства тетраэдра (тетраэдром мы называем произвольную треугольную пирамиду):

  1. все грани равновелики, то есть имеют одну и ту же площадь;
  2. каждое ребро равно противоположному;
  3. все грани конгруэнтны;
  4. центры описанной и вписанной сфер совпадают;
  5. для любой вершины тетраэдра сумма величин сходящихся в этой вершине плоских углов равна 180°.

Докажите, что все эти свойства эквивалентны. Найдите ещё два-три эквивалентных свойства.

10. Четыре круга, центры которых являются вершинами выпуклого четырёхугольника, целиком покрывают этот четырёхугольник. Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.

11. а) На 44 деревьях, расположенных по окружности, сидели 44 весёлых чижа (на каждом дереве по чижу). Время от времени два чижа одновременно перелетают на соседние деревья в противоположных направлениях (один — по часовой стрелке, другой — против). Докажите, что чижи никогда не соберутся на одном дереве.

б) А если чижей и деревьев n?

12. Какие четырёхугольники можно разрезать прямой линией на два подобных между собой четырёхугольника?

13. Если разность между наибольшим и наименьшим из n данных вещественных чисел равна d, а сумма модулей всех n(n – 1) ⁄ 2 попарных разностей этих чисел равна s, то (n – 1)d £ s £ n2d ⁄ 4. Докажите это.

14. Некоторые грани выпуклого многогранника покрашены так, что никакие две покрашенные грани не имеют общего ребра. Докажите, что в этот многогранник нельзя вписать шар, если а) покрашенных граней больше половины; б) сумма площадей покрашенных граней больше суммы площадей непокрашенных граней.

15. Квадратная таблица размером n×n заполнена неотрицательными числами так, что как сумма чисел любой строки, так и сумма чисел любого столбца равна 1. Докажите, что из таблицы можно выбрать n положительных чисел, никакие два из которых не стоят ни в одном столбце, ни в одной строке.

16. Многочлен с целыми коэффициентами, который при трёх различных целых значениях переменной принимает значение 1, не может иметь ни одного целого корня. Докажите это.

17. Крестьянин, подойдя к развилке двух дорог, расходящихся под углом 60°, спросил: «Как пройти в село NN?» Ему ответили: «Иди по левой дороге до деревни N — это в восьми верстах отсюда,— там увидишь, что направо под прямым углом отходит большая ровная дорога,— это как раз дорога в NN. А можешь идти другим путём: сейчас по правой дороге; как выйдешь к железной дороге,— значит, половину пути прошёл; тут поверни налево и иди прямо по шпалам до самого NN.» —«Ну, а какой путь короче-то будет?» —«Да всё равно, что так, что этак, никакой разницы». И пошёл крестьянин по правой дороге.

Сколько вёрст ему придётся идти до NN? Больше десяти или меньше? А если идти от развилки до NN напрямик? (Все дороги прямые.)

18. а) Для любой точки М описанной около правильного треугольника АВС окружности длина одного из отрезков МА, МВ и МС равна сумме длин двух других. Докажите это.

б) Три равные окружности касаются друг друга, а четвёртая окружность касается всех трёх. Докажите, что для любой точки четвёртой окружности длина касательной, проведённой из неё к одной из трёх окружностей, равна сумме длин касательных, проведённых из неё к двум другим окружностям.

19. В бесконечной цепочке нервных клеток каждая может находиться в одном из двух состояний: «покой» и «возбуждение». Если в данный момент клетка возбудилась, то она посылает сигнал, который через единицу времени (скажем, через одну миллисекунду) доходит до обеих соседних с ней клеток. Каждая клетка возбуждается в том и только в том случае, если к ней приходит сигнал от одной из соседних клеток; если сигналы приходят одновременно с двух сторон, то они погашаются, и клетка не возбуждается. Например, если в начальной момент времени возбудить три соседние клетки, а остальные оставить в покое, то возбуждение будет распространяться так, как показано на рисунке.

а) Пусть в начальный момент времени возбуждена только одна клетка. Сколько клеток будет находится в возбужденном состоянии через 15 мсек? через 65 мсек? через 1000 мсек? вообще через t мсек?

б) Что будет в том случае, если цепочка не бесконечная, а состоит из N клеток, соединённых в окружность,— будет ли возбуждение поддерживаться бесконечно долго или затухнет?

20. Разбейте правильный треугольник на миллион многоугольников так, чтобы никакая прямая не пересекала более сорок них. (Прямая пересекает многоугольник, если она имеет с ним хотя бы одну общую точку.)

21. Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10. Докажите существование прямой, пересекающей по крайней мере четыре из этих окружностей.

22. а) В угол вычислите отношение площадей треугольников вписаны две окружности; у них есть общая внутренняя касательная Т1Т2 (где Т1 и Т2 — точки касания), пересекающая стороны угла в точках А1 и А2. Докажите равенство А1Т1 = А2Т2 (или, что эквивалентно, А1Т2 = А2Т1).

б) В угол вписаны две окружности, одна из которых касается сторон угла в точках K1 и K2, другая — в точках L1 и L2. Докажите, что прямая К1L2 высекает на окружностях хорды равной длины.

23. Для любого натурального числа n, большего единицы, квадрат отношения произведения первых n чётных чисел к произведению первых n нечётных чисел больше числа 8n⁄3, но меньше числа 4n. Докажите это.

24. Любую дробь mn, где m, n — натуральные числа, 1 < m < n, можно представить в виде суммы нескольких дробей вида 1⁄q, причём таких, что знаменатель каждой следующей из этих дробей делится на знаменатель предыдущей дроби. Докажите это. (Например, дробь 3⁄43 является суммой дробей 1⁄15, 1⁄330 и 1⁄14 190.)

25. В множестве, состоящем из n элементов, выбрано 2n – 1 подмножеств, каждые три из которых имеют общий элемент. Докажите, что все эти подмножества имеют общий элемент. Решение М25.

26. Предположим, что в каждом номере нашего журнала в задачнике «Кванта» будет пять задач по математике. Обозначим через f (xy) номер первой из задач x-го номера за y-й год. Напишите общую формулу для f (xy), где 1 £ x £ 12 и 1970 £ x £ 1989. Решите уравнение f (xy) = y.

Например, f (6, 1970) = 26. Начиная с 1989 года, количество задач стало менее предсказуемым. Например, в последние годы в половине номеров по 5 задач, а в других номерах по 10. Да и самих номеров журнала сейчас уже не 12, а 6.

27. Если сумма дробей a⁄(b – c), b⁄(c – a) и c⁄(a – b) равна 0, то сумма дробей a⁄(b – c)2, b⁄(c – a)2 и c⁄(a – b)2 тоже равна 0. Докажите это.

28. а) Из 19 шаров 2 радиоактивны. Про любую кучку шаров за одну проверку можно узнать, есть в ней хотя бы один радиоактивный шар или нет, но нельзя узнать, сколько таких шаров в кучке. Докажите, что за 8 проверок можно выделить оба радиоактивных шара.

б) Из 11 шаров 2 радиоактивны. Докажите, что менее чем за 7 проверок нельзя гарантировать выделение обоих радиоактивных шаров.

29. На столе лежат n одинаковых монет, образуя замкнутую цепочку. Центры монет образуют выпуклый многоугольник. Сколько оборотов сделает монета такого же размера за время, пока она один раз прокатится по внешней стороне всей цепочки, как показано на рисунке?

Как изменится ответ, если радиус этой монеты в k раз больше радиуса каждой из монет цепочки?

30. Любую конечную систему точек плоскости можно покрыть несколькими непересекающимися кругами, сумма диаметров которых меньше количества точек и расстояние между любыми двумя из которых больше 1. Докажите это. (Расстояние между двумя кругами — это расстояние между их ближайшими точками.)

31. Квадратный лист бумаги разрезают по прямой на две части. Одну из полученных частей снова разрезают на две части, и так делают много раз. Какое наименьшее число разрезов нужно сделать, чтобы среди полученных частей могло оказаться ровно 100 двадцатиугольников?

32. Во всех клетках таблицы размером 100×100 стоят плюсы. Разрешено одновременно изменить знаки во всех клетках одной строки или во всех клетках одного столбца. Можно ли, проделав такие операции несколько раз, получить таблицу, где ровно 1970 минусов? Решение М32.

33. Рассмотрим натуральное число n > 1000. Найдём остатки от деления числа 2n на числа 1, 2, 3,..., n и сложим все эти остатки. Докажите, что сумма больше 2n.

34. Если натуральное число делится на 10 101 010 101, то по крайней мере шесть цифр его десятичной записи отличны от нуля. Докажите это.

35. Около сферы с радиусом 10 описан некоторый 19-гранник. Докажите, что на его поверхности есть две точки, расстояние между которыми больше 21.

36. На плоскости нельзя расположить семь прямых и семь точек так, чтобы через каждую из точек проходили три прямые и на каждой прямой лежали три точки. Докажите это.

37. В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате, стороны которого идут по линиям сетки, по модулю не превосходит единицы. а) Докажите существование такого числа c, что сумма чисел в любом прямоугольнике, стороны которого идут по линиям сетки, не больше c; другими словами, докажите, что суммы чисел в прямоугольниках ограничены.

б) Докажите, что можно взять c = 4.

в) Улучшите эту оценку — докажите, что утверждение верно для c = 3.

г) Постройте пример, показывающий, что при c < 3 утверждение неверно.

38. Окружность, построенная на высоте АD прямоугольного треугольника АВС как на диаметре, пересекает катет АВ в точке K, а катет АС — в точке М. Отрезок пересекает высоту АD в точке L. Длины отрезков АK, АL и AM составляют геометрическую прогрессию (то есть AK/AL = AL/AM). Найдите величины острых углов треугольника АВС.

39. Целые неотрицательные числа x и y удовлетворяют равенству

x2 – mxy + y2 = 1

тогда и только тогда, когда x и y — соседние члены последовательности φ0 = 0, φ1 = 1, φ2 = m, φ3 = m2 – 1, φ4 = m3 – 2m, φ5 = m4 – 3m2 + 1,..., в которой φk+1 = mφk – φk–1 для любого k > 0. Докажите это.

Этот красивый факт был использован в работе Ю.В. Матиясевича, посвящённой десятой проблеме Д. Гильберта, о которой рассказано в седьмом номере «Кванта» за 1970 год.

40. а) Найдите сумму 1 · n + 2 · (n – 1) + 3 · (n – 2) + ... + n · 1.

б) Решите следующую, более общую задачу: найдите величину Sn,k, являющуюся суммой n – k + 1 слагаемых, m-е из которых равно произведению произведения чисел от m до k + m – 1 и произведения чисел от n – k + 2 – m до n + 1 – m.

41. Дана окружность, её диаметр AB и точка C на этом диаметре. Постройте на окружности две точки X и Y, симметричные относительно диаметра АВ, для которых прямая YC перпендикулярна прямой ХА.

42. Цифры некоторого семнадцатизначного числа записали в обратном порядке. Полученное число сложили с первоначальным. Докажите, что хотя бы одна из цифр суммы чётна.

43. Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на n равных частей. Через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. В результате треугольник разбит на n2 треугольничков. Каково наибольшее возможное количество треугольничков в цепочке, в которой ни один треугольничек не появляется дважды и каждый последующий имеет общую сторону с предыдущим?

44. Для любого натурального числа k существует бесконечно много натуральных чисел t, не содержащих в десятичной записи нулей и таких, что сумма цифр числа kt равна сумме цифр числа t. Докажите это.

45. а) Из любых двухсот целых чисел можно выбрать сто чисел, сумма которых делится на 100. Докажите это.

б) Из любых 2n – 1 целых чисел можно выбрать n, сумма которых делится на n. Докажите это.

46. Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных наибольшей диагонали?

47. Из цифр 1 и 2 составили пять n-значных чисел так, что у каждых двух чисел совпали цифры ровно в m разрядах, но ни в одном разряде не совпали все пять чисел. Докажите, что отношение mn не меньше 2⁄5 и не больше 3⁄5.

48. Биссектриса AD, медиана BM и высота CH остроугольного треугольника ABC пересекаются в одной точке. Докажите, что величина угла BAC больше 45°.

49. На карточках написали все числа от 11 111 до 99 999 включительно и выложили эти карточки в цепочку в произвольном порядке. Докажите, что полученное 444 445-значное число не является степенью двойки.

50. Вершины правильного n-угольника покрашены несколькими красками (каждая — одной краской) так, что точки одного и того же цвета служат вершинами правильного многоугольника. Докажите, что среди этих многоугольников есть два конгруэнтных.

51. Если произведение трёх положительных чисел равно 1, а сумма этих чисел больше суммы их обратных величин, то ровно одно из этих чисел больше 1. Докажите это.

52. Пять отрезков таковы, что из любых трёх можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из десяти таких треугольников остроугольный.

53. В треугольнике АВС через середину М стороны ВС и центр О вписанной в этот треугольник окружности проведена прямая МО, пересекающая высоту АН в точке Е. Докажите, что отрезок АЕ равен радиусу вписанной окружности.

54. Два конгруэнтных прямоугольника расположены так, что их контуры пересекаются в восьми точках. Докажите, что площадь пересечения этих прямоугольников больше половины площади каждого из них.

55. Все натуральные числа, в десятичной записи которых не больше n цифр, разбили на два множества следующим образом. В первое множество входят числа с нечётной суммой цифр, а во второе — c чётной суммой цифр. Докажите, что для любого натурального числа k £ n сумма k-х степеней всех чисел первого множества равна сумме k-х степеней всех чисел второго множества.

56. На окружности выписаны в произвольном порядке четыре единицы и пять нулей. В промежутке между двумя одинаковыми числами пишем нуль, между разными цифрами — единицу, а после этого первоначальные цифры стираем. Докажите, что сколько бы раз мы ни повтoрили этот процесс, мы никогда не получим набор из девяти нулей. Решение М56.

57. a) Найдите число, которое делится на 2 и на 9 и имеет всего 14 делителей (включая 1 и само число).

б) Докажите, что если заменить 14 на 15, то таких чисел несколько, а если на 17 — ни одного.

58. На плоскости даны три прямые, пересекающиеся в одной точке. На одной из них отмечена точка. Прямые — биссектрисы некоторого треугольника, а отмеченная точка — одна из его вершин. Постройте этот треугольник.

59. При каких n гири массами 1 г, 2 г, 3 г,..., n г можно разложить на три равные по массе кучки?

60. Рассмотрим все натуральные числа, в десятичной записи которых участвуют лишь цифры 1 и 0. Разбейте эти числа на два непересекающихся подмножества так, чтобы сумма любых двух различных чисел из одного и того же подмножества содержала в своей десятичной записи не менее двух единиц.

1971 год

61. Выписаны числа 0, 1, 2, 3,..., 1024. Первый мудрец вычёркивает по своему выбору 512 чисел, второй вычёркивает 256 из оставшихся чисел, затем первый вычёркивает 128 чисел, потом второй — ещё 64 числа и так далее. Своим последним пятым ходом второй вычёркивает одно число. Остаются два числа, и второй платит первому разницу между этими числами. Как надо играть первому игроку, чтобы получить как можно больше? Как второму, чтобы проиграть как можно меньше? Сколько уплатит второй первому, если оба будут играть наилучшим образом?

62. Для любого нечётного натурального числа a существует такое натуральное число b, что 2b – 1 делится на a. Докажите это.

63. Можно ли из 18 плиток размером 1×2 выложить квадрат так, чтобы при этом не было ни одного прямого «шва», соeдиняющего противоположные стороны квадрата и идущего по краям плиток? (Изображённое на рисунке расположение плиток не годится, поскольку есть красный «шов».)

64. На плоскости даны прямая l и две точки Р и Q, лежащие по одну сторону от неё. Найдите на прямой l такую точку М, для которой расстояние между основаниями высот треугольника РQМ, опущенных на стороны РМ и , наименьшее.

65. а) Пусть 0 < k < 1. На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC отметим точки K, L и M таким образом, что AM : MB = BK : KC = CL : LA = k. Найдите отношение площади треугольника, образованного прямыми АK, BL и CM, к площади треугольника АВС.

б) Разрежьте треугольник шестью прямыми на такие части, из которых можно сложить семь равных треугольников.

32 + 42 = 52, 362 + 372 + 382 + 392 + 402 = 412 + 422 + 432 + 442,     552 + 562 + 572 + 582 + 592 + 602 = 612 + 622 + 632 + 642 + 652. 66. Вот несколько примеров, когда сумма квадратов k последовательных натуральных чисел равна сумме квадратов k – 1 следующих натуральных чисел. Найдите общую формулу, охватывающую все такие случаи.

67. Ювелиру заказали золотое кольцо шириной h, имеющее форму тела, ограниченного поверхностью шара с центром О и поверхностью цилиндра радиусом r, ось которого проходит через точку О. Мастер сделал такое колечко, но выбрал r слишком маленьким. Сколько золота ему придётся добавить, если r нужно увеличить в k раз, а ширину h оставить прежней?

68. Сетка линий, изображённая на рисунке, состоит из концентрических окружностей с радиусами 1, 2, 3, 4,... и центром в точке О, прямой l, проходящей через точку О, и всевозможных касательных к окружностям, параллельных l. Вся плоскость разбита этими линиями на клетки, которые раскрашены в шахматном порядке. В цепочке точек, показанных на рисунке, каждые две соседние точки являются противоположными вершинами тёмной клетки. Докажите, что все точки такой бесконечной цепочки лежат на одной параболе (поэтому рисунок словно соткан из светлых и тёмных парабол).

69. Последние две цифры числа 762 = 5776 — это снова 76.

а) Существуют ли ещё такие двузначные числа?

б) Найдите все такие трёхзначные числа a, что последние три цифры числа a2 составляют число a.

в) Существует ли такая бесконечная последовательность цифр a1, a2, a3,..., что для любого натурального n квадрат числа anan–1... a2a1 оканчивается на эти же n цифр? (Очевидный ответ a1 = 1 и 0 = a2 = a3 = ... мы исключаем.)

70. Пусть l1, l2,..., ln — несколько прямых на плоскости, не все из которых параллельны. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точке X1, X2,..., Xn так, чтобы перпендикуляр, восставленный к прямой lk в точке Xk (для любого натурального k < n), проходил через точку Xk + 1, а перпендикуляр, восставленный к прямой ln в точке Xn, проходил через точку X1.

Сформулируйте и докажите аналогичную теорему в пространстве.

71. а) Прямоугольная таблица из m строк и n столбцов заполнена числами. Переставим числа в каждой строке в порядке возрастания. Если после этого переставить числа в каждом столбце в порядке возрастания, то в каждой строке они по-прежнему будут стоять в порядке возрастания. Докажите это.

б) Что будет, если действовать в другом порядке: в первоначальной таблице сначала переставить числа по возрастанию в столбцах, а потом — в строках: обязательно ли в результате получится та же самая таблица, что и в первом случае, или может получиться другая?

72. Пусть p — произвольное вещественное число. Найдите все такие x, что сумма кубических корней из чисел 1 – x и 1 + x равна p.

73. На лотерейном билете требуется отметить 8 клеточек из 64. Какова вероятность того, что после розыгрыша, в котором также будет выбрано 8 каких-то клеток из 64 (причём все такие возможности равновероятны), окажется, что угаданы ровно 4 клетки? 5 клеток?... все 8 клеток?

74. Многочлен p и число a таковы, что для любого числа x верно равенство p(x) = p(a – x). Докажите, что p(x) можно представить в виде многочлена от (x – a⁄2)2.

Например, если p(x) = x5 + (1 – x)5, то, очевидно, p(x) = p(1 – x) и, как нетрудно проверить, p(x) = 5y2 + 2,5y + 0,0625, где y = (x – 0,5)2.

75. Для любого выпуклого многогранника докажите следующие утверждения.

а) Сумма длин рёбер больше утроенного диаметра. (Диаметр многогранника — это наибольшая из длин отрезков с концами в вершинах многогранника.)

б) Для любых вершин A и B многогранника существуют три ломаные, каждая из которых идёт по его рёбрам из А в В и никакие две не проходят по одному ребру.

в) Если разрезать два ребра, то для любых вершин А и В многогранника существует соединяющая их ломаная, идущая по оставшимся рёбрам.

г) В пункте б) можно выбрать три ломаные, никакие две из которых не имеют общих вершин, кроме точек А и В.

76. В некоторой компании у каждых двух незнакомых ровно двое общих знакомых, а у любых двоих знакомых нет больше ни одного общего знакомого. Докажите, что в этой компании каждый знаком с одним и тем же числом людей.

77. Длины двух сторон треугольника равны 10 и 15. Докажите, что длина биссектрисы угла между ними не больше 12.

78. Каждое неотрицательное целое число представимо, причём единственным образом, в виде

((x + y)2 + 3x + y) ⁄ 2,

где x и y — целые неотрицательные числа. Докажите это.

79. Точки P и Q движутся по двум пересекающимся прямым с одинаковой постоянной скоростью v. Докажите, что на плоскости существует неподвижная и всё время равноудалённая от точек P и Q точка.

80. В прямоугольной таблице расставлены произвольные числа. Разрешено одновременно изменить знак у всех чисел какого-то одного столбца или у всех чисел какой-то одной строки. Докажите, что, повторив такую операцию несколько раз, можно получить таблицу, у которой неотрицательна как сумма чисел любого столбца, так и сумма чисел любой строки.

81. Внутри квадрата A1A2A3A4 взята произвольная точка P. Из вершины A1 опущен перпендикуляр на прямую A2P, из вершины A2 — на A3P, из A3 — на A4P, из A4 — на A1P. Докажите, что все четыре перпендикуляра (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

82. На кольцевой автомобильной дороге стоят несколько одинаковых автомашин. Если бы весь бензин, имеющийся в этих автомашинах, слили в одну, то она смогла бы проехать по всей кольцевой дороге и вернуться на прежнее место. Докажите, что хотя бы одна из этих машин может объехать всё кольцо, забирая по пути бензин у остальных машин.

83. Числа первых n натуральных чисел ни при каком n > 1 нельзя разбить на два множества так, чтобы произведение чисел одного из них равнялось произведению чисел другого. Докажите это.

84. А — основание перпендикуляра, опущенного из центра данной окружности на данную прямую BC, причём ВA = АС. Через точки В и С проведены секущие, одна из которых пересекает окружность в точках Р и Q, вторая — в точках M и N. Пусть прямые РM и QN пересекают прямую BC в точках R и S. Докажите равенство AR = AS. (Эту задачу и некоторые её варианты называют «задачей о бабочке»; происхождение названия ясно из рисунка.)

85. Для любых натуральных чисел a1, a2,..., am, никакие два из которых не равны друг другу и ни одно из которых не делится на квадрат натурального числа, большего единицы, а также для любых целых и отличных от нуля целых чисел b1, b2,..., bm сумма a11 ⁄ 2 · b1 + a21 ⁄ 2 · b2 + ... + am1 ⁄ 2 · bm не равна нулю. Докажите это.

86. Дно прямоугольной коробки было выложено плитками размерами 2×2 и 1×4. Плитки высыпали из коробки и при этом потеряли одну плитку 2×2. Вместо неё удалось достать плитку 1×4. Докажите, что теперь выложить дно коробки плитками не удастся.

87. Если три окружности одинаковых радиусов проходят через некоторую точку, то три другие точки попарного пересечения этих окружностей лежат на окружности того же радиуса. Докажите это.

88. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты a, b, c уравнения x3 + ax2 + bx + c = 0, чтобы три его корня составляли арифметическую прогрессию?

89. В любом выпуклом многоугольнике, не являющемся параллелограммом, существуют три стороны, при продолжении которых образуется треугольник, объемлющий данный многоугольник. Докажите это.

90. Если x1 < x2 < x3 < ... < xn — натуральные числа, то сумма n – 1 дробей, k-я из которых, где k < n, равна отношению квадратного корня из разности xk+1 – xk к числу xk+1, меньше суммы чисел 1, 1⁄2, 1⁄3,..., 1⁄n2. Докажите это.

91. Двое играют в «крестики-нолики» на бесконечном листе клетчатой бумаги. Начинающий ставит крестик в любую клетку. Каждым следующим своим ходом он должен ставить крестик в свободную клетку, соседнюю с одной из клеток, где уже стоит крестик; соседней с данной клеткой считаем любую, имеющую с ней общую сторону или общую вершину. Второй игрок каждым своим ходом может ставить сразу три нолика в любые три свободные клетки (не обязательно рядом друг с другом или с ранее поставленными ноликами). а) Докажите, что как бы ни играл первый игрок, второй может его «запереть»: добиться того, чтобы первому было некуда поставить крестик.

б) Исследуйте аналогичные игры, в которых второму разрешено за один ход ставить не три, а два или даже только один нолик. Каков здесь будет результат при правильной игре партнёров: удастся ли ноликам «запереть» крестики (и можно ли оценить сверху число ходов, которые могут «продержаться» крестики) или же крестики могут играть бесконечно долго?

Изучите другие варианты этой игры: когда соседними с данной считаем только клетки, имеющие с ней общую сторону; когда плоскость разбита не на квадраты, а на правильные шестиугольники; когда первому разрешено ставить сразу p крестиков, а второму — q ноликов.

92. Петя собирается все 90 дней каникул провести в деревне и при этом каждый второй день (то есть через день) ходить купаться на озеро, каждый третий — ездить в магазин за продуктами, а каждый пятый день — решать задачи по математике. (В первый день Петя сделал и первое, и второе, и третье и очень устал.) Сколько будет у Пети «приятных» дней, когда нужно будет купаться, но не нужно ни ездить в магазин, ни решать задачи? Сколько «скучных», когда совсем не будет никаких дел?

93. Каждое из n данных чисел, выписанных вдоль окружности, было равно единице или минус единице. Между каждыми двумя соседними числами написали их произведение, а сами числа после этого стёрли. Сумма оставшихся n произведений оказалась равна нулю. Докажите, что n делится на четыре.

94. Если в каждой вершине выпуклого многогранника сходятся не менее чем четыре ребра, то хотя бы одна из его граней — треугольник. Докажите это.

95. На доске начертили трапецию и её среднюю линию ЕF. Из точки О пересечения диагоналей на большее основание опустили перпендикуляр ОK и стёрли трапецию. Восстановите чертёж по сохранившимся отрезкам EF и .

96. Пять положительных чисел таковы, что если из суммы любых трёх из них вычесть сумму двух оставшихся, то разность будет положительной. Докажите, что произведение всех десяти таких разностей не превосходит квадрата произведения данных пяти чисел.

97. В трапеции ABCD с основаниями AB = a и CD = b проведён отрезок A1B1, соединяющий середины диагоналей. В полученной трапеции проведён отрезок A2B2, тоже соединяющий середины диагоналей, и так далее. Может ли в последовательности длин отрезков AB, A1B1, A2B2,... какое-то число встретиться дважды? Является ли эта последовательность монотонной (возрастающей или убывающей)? Стремится ли она к какому-нибудь пределу?

1 1 1 1 1 2 3 2 1 1 3 6 7 6 3 1    ........................... 98. Верхняя строка таблицы состоит из одного лишь числа 1. Всякое другое её число равно сумме чисел, стоящих над ним непосредственно сверху, слева–сверху или справа–сверху. Докажите, что в каждой строке, начиная с третьей, есть хотя бы одно чётное число.

99. В треугольнике ABC сторона AC — наибольшая. Докажите, что для любой точки M плоскости сумма длин отрезков AM и CM не меньше длины отрезка BM. В каких случаях возможно равенство?

100. Сумма тангенсов углов величиной 1°, 5°, 9°, 13°,..., 173°, 177° равна 45. Докажите это.

101. Колония состояла из n бактерий. В неё попал вирус, который в первую минуту уничтожил одну бактерию, а затем разделился на два новых вируса. Одновременно каждая из оставшихся бактерий тоже разделилась на две новые. В следующую минуту возникшие два вируса уничтожили две бактерии, и затем оба вируса и все выжившие бактерии снова разделились, и так далее. Будет ли эта колония жить бесконечно долго или вымрет?

102. Множество, состоящее из конечного числа точек плоскости, обладает следующим свойством: для любых двух его точек A и B существует такая точка С этого множества, что треугольник ABC равносторонний. Сколько точек может содержать такое множество?

103. Исследуйте, сколько решений имеет система уравнений

x2 + y2 + xy = a,

x2 – y2 = b,

где а и b – некоторые данные действительные числа.

104. Внутри треугольника АВС лежат такие две точки Р и Q, что отрезки АР и АQ составляют равные углы с биссектрисой угла А треугольника, а отрезки BP и BQ составляют равные углы с биссектрисой угла B. Докажите, что отрезки СР и СQ составляют равные углы с биссектрисой угла С.

105. Сумма цифр числа после умножения может уменьшиться: 75 · 8 = 600 — сумма цифр была 7 + 5 = 12, а стала 6 + 0 + 0 = 6. Однако она не может уменьшиться более, чем в 8 раз. а) Докажите это. Другими словами, докажите для любого натурального числа n неравенство s(n£ 8s(8n), где s(a) — сумма цифр десятичной записи числа a.

б) Для каких ещё натуральных чисел k существует такое положительное число ck, что для любого натурального n справедливо неравенство cks(n£ s(kn)? в) Найдите для каждого такого k наибольшее подходящее значение ck.

106. Если для чисел p1, p2, q1 и q2 выполнено неравенство (q1 – q2)2 + (p1 – p2)(p1q2 – p2q1) < 0, то квадратные трёхчлены x2 + p1x + q1 и x2 + p2x + q2 имеют вещественные корни, причём между двумя корнями каждого из них лежит корень другого. Докажите это.

107. а) Дан выпуклый многоугольник A1A2...An. На стороне A1A2 взяты точки B1 и D2, на стороне A2A3 — точки B2 и D3,..., на стороне AnA1 — точки Bn и D1 так, что если построить параллелограммы A1B1C1D1, A2B2C2D2,..., AnBnCnDn, то прямые A1C1, A2C2,..., AnCn пересекутся в одной точке. Докажите равенство

A1B1 · A2B2 ·... · AnBn = A1D1 · A2D2 ·... · AnDn.

б) Для треугольника верно и обратное утверждение: если на стороне A1A2 выбраны точки B1 и D2, на стороне A2A3 — точки B2 и D3, а на стороне A3A1 — точки B3 и D1, причём A1B1 · A2B2 · A3B3 = A1D1 · A2D2 · A3D3, а четырёхугольники A1B1C1D1, A2B2C2D2 и A3B3C3D3 — параллелограммы, то прямые A1C1, A2C2 и A3C3 пересекаются в одной точке. Докажите это.

108. а) Прямая, разбивающая данный треугольник на два многоугольника равной площади и равного периметра, проходит через центр окружности, вписанной в треугольник. Докажите это.

б) Докажите аналогичное утверждение для произвольного многоугольника, в который можно вписать окружность.

109. В вершине A1 правильного 12-угольника A1A2A3...A12 стоит знак минус, а в остальных — плюсы. Разрешено одновременно поменять знак на противоположный в любых последовательных а) шести; б) четырёх; в) трёх вершинах многоугольника. Докажите, что при помощи таких операций нельзя добиться того, чтобы в вершине A2 оказался знак минус, а в остальных вершинах — плюсы.

110. Несколько клеток бесконечного листа клетчатой бумаги окрашены. Докажите, что из листа можно вырезать несколько квадратов так, что все чёрные клетки будут лежать в вырезанных квадратах и при этом в любом вырезанном квадрате площадь чёрных клеток составит не менее 1⁄5 и не более 4⁄5 площади этого квадрата.

111. В квадрате со стороной 1 расположена фигура, расстояние между любыми двумя точками которой не равно 0,001. Докажите, что площадь этой фигуры не превышает 0,34. (Можете считать, что граница фигуры, о которой говорится в условии, состоит из отрезков прямых и дуг окружностей. Постарайтесь получить более точную оценку. Докажите аналогичную теорему в пространстве.)

112. В таблице размером m×n записаны числа так, что для любых двух строк и любых двух столбцов сумма чисел в двух противоположных вершинах образуемого ими прямоугольника равна сумме чисел в двух других его вершинах. Часть чисел стёрли, но по оставшимся можно восстановить стёртые. Докажите, что осталось не меньше, чем (n + m – 1) чисел.

113. Для любого натурального числа n существует составленное из цифр 1 и 2 число, делящееся на 2n. Докажите это. (Например, 2 делится на 2, число 12 делится на 4, на 8 делится число 112, а на 16 делится 2112.)

114. По кругу выписано несколько чисел. Если для некоторых четырёх идущих подряд чисел a, b, c, d произведение чисел a – d и b – c отрицательно, то числа b и c можно поменять местами. Докажите, что такие операции можно проделать лишь конечное число раз.

115. В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешено перелить столько воды, сколько в нём уже содержится, из любого другого сосуда. Докажите, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю воду.)

116. а) Если соединить середины последовательных сторон выпуклого многоугольника, то периметр полученного многоугольника не может оказаться меньше половины периметра исходного многоугольника. Докажите это.

б) Если соединить середины последовательных сторон выпуклого n-угольника, где n > 3, то площадь полученного многоугольника не может оказаться меньше половины площади исходного многоугольника. Докажите это.

117. Несколько человек в течение t минут наблюдали за улиткой. Каждый наблюдал за ней ровно 1 минуту и заметил, что за эту минуту улитка проползла ровно 1 метр. Ни в один момент времени улитка не оставалась без наблюдения. Какой наименьший и какой наибольший путь могла она проползти за эти t минут? (Решите эту задачу сначала для небольших значений t, например для t = 2,5.)

118. С четырёх сторон шахматной доски размером n×n построена кайма шириной в 2 поля. Докажите, что кайму можно обойти шахматным конём, побывав на каждом поле один и только один раз, в тех и только тех случаях, когда n – 1 кратно 4.

119. Если на каждой грани выпуклого многогранника выбрать по точке и провести из этой точки направленный перпендикулярно соответствующей грани во внешнюю сторону вектор, длина которого равна площади этой грани, то сумма всех таких векторов окажется равна нулю. Докажите это.

120. В некотором множестве введена операция , которая по каждым двум элементам a и b этого множества вычисляет некоторый элемент a b этого множества. Для любых элементов a, b и c выполнено равенство a  (b  c) = b  (c  a). Кроме того, если a  b = a  c, то b = c. Докажите, что операция
а) коммутативна, то есть для любых элементов a и b верно равенство a  b = b  a;
б) ассоциативна, то есть для любых элементов a, b и c верно равенство (a  b)  c = a  (b  c).

1972 год

121. Для любых n вещественных чисел a1, a2,..., an существует такое натуральное k £ n, что ни одно из чисел ak, (ak + ak–1) ⁄ 2, (ak + ak–1 + ak–2) ⁄ 3,..., (ak + ak–1 + ... + a2 + a1) ⁄ k не превосходит среднего арифметического чисел a1, a2,..., an.

122. Пятиугольник АВСDE вписан в окружность. Расстояния от точки Е до прямых АВ, ВС и СD равны соответственно pq и r. Найдите расстояние от точки Е до прямой АD.

123. Найдите все такие натуральные числа m, что произведение факториалов первых m нечётных натуральных чисел равно факториалу суммы первых m натуральных чисел.

124. а) Дан треугольник ABC. Найдите внутри него точку O, обладающую следующим свойством: для любой прямой, проходящей через точку O и пересекающей стороны AB и BC треугольника в точках K и L соответственно, сумма отношений AK ⁄ KB и CL ⁄ LB равна 1.

б) Если p и q — произвольно заданные положительные числа, то внутри треугольника ABC можно указать такую точку O, что для любой прямой KL, проходящей через эту точку (K лежит на ABL — на BC), сумма выражений p · AK ⁄ KB и q · CL ⁄ LB равна 1. Докажите это.

125. а) Существует ли бесконечная последовательность натуральных чисел, обладающая следующим свойством: ни одно из этих чисел не делится на другое, но среди каждых трёх чисел можно выбрать два, сумма которых делится на третье?

б) Если нет, то как много чисел может быть в наборе, обладающем таким свойством?

в) Решите ту же задачу при дополнительном условии: в набор разрешено включать только нечётные числа. (Вот пример такого набора из четырёх чисел: 3, 5, 7, 107. Здесь среди трёх чисел 3, 5, 7 сумма 5 + 7 делится на 3; в тройке 5, 7, 107 сумма 107 + 5 делится на 7; в тройке 3, 7, 107 сумма 7 + 107 делится на 3; наконец, в тройке 3, 5, 107 сумма 3 + 107 делится на 5.)

126. Многоугольник, описанный вокруг окружности радиусом r, разрезали на треугольники. Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r.

127. Для каждого натурального n обозначим через s(n) сумму цифр его десятичной записи. Назовём натуральное число m особым, если его нельзя представить в виде m = n + s(n). Конечно или бесконечно множество особых чисел? (Например, число 117 не особое, поскольку 117 = 108 + s(108), а число 121, как нетрудно убедиться,— особое.)

128. Найдите отношение сторон треугольника, одна из медиан которого делится вписанной окружностью на три равные части.

129. а) В ведро налили 12 литров молока. Пользуясь лишь сосудами в 5 и 7 литров, разделите молоко на две равные части.

б) Решите общую задачу: при каких a и b можно разделить пополам (a + b) литров молока, пользуясь лишь сосудами в a литров, b литров и (a + b) литров?

За одно переливание из одного сосуда в другой можно вылить всё, что там есть, или долить второй сосуд до верха.

130. Какое наибольшее число точек можно разместить а) на плоскости; б) в пространстве так, чтобы ни один из треугольников с вершинами в этих точках не был тупоугольным?

131. Четыре точки, в которых биссектрисы углов между продолжениями противоположных сторон вписанного четырёхугольника пересекают его стороны, являются вершинами ромба. Докажите это.

132. По окружности выписаны n чисел x1, x2,..., xn, каждое из которых равно 1 или –1, причём сумма произведений соседних чисел равна нулю (как в задаче 93) и вообще для каждого k = 1, 2,..., n – 1 сумма n произведений чисел, отстоящих друг от друга на k мест, равна нулю (то есть x1x3 + x2x4 + ... = 0, x1x4 + x2x5 + ... = 0 и так далее; например, для n = 4 можно взять одно из чисел равным –1, а три других — равными 1).

а) Докажите, что n — квадрат целого числа.

б) Существует ли такой набор чисел для n = 16? (Мы не знаем, при каких n такой набор чисел существует.)

133. Один из простейших многоклеточных организмов — водоросль вольвокс — представляет собой сферическую оболочку, сложенную, в основном, семиугольными, шестиугольными и пятиугольными клетками (то есть клетками, имеющими семь, шесть или пять соседних; в каждой «вершине» сходятся три клетки). Бывают экземпляры, у которых есть и четырёхугольные, и восьмиугольные клетки, но биологи заметили, что если таких «нестандартных» клеток (менее чем с пятью и более чем с семью сторонами) нет, то пятиугольных клеток на 12 больше, чем семиугольных (всего клеток может быть несколько сотен и даже тысяч). Объясните этот факт.

134. Какое множество точек заполняют центры тяжести треугольников, три вершины которых лежат соответственно на трёх сторонах АВ, ВС и АС данного треугольника АВС?

135. Для каждого натурального n > 1 существует такое число cn, что для любого x произведение синуса числа x, синуса числа x + π⁄n, синуса числа x + 2π⁄n,..., наконец, синуса числа x + (n – 1)π⁄n равно произведению числа cn на синус числа nx. Докажите это и найдите величину cn.

136. Можно ли увезти из каменоломни 50 камней, массы которых 370 кг, 372 кг, 374 кг,..., 468 кг (массы составляют арифметическую прогрессию с разностью 2 кг), на семи трёхтонках?

137. a, b, c, d — длины четырёх последовательных сторон четырёхугольника, S — его площадь. Докажите неравенства: а) S £ ab + cd; б) S £ ac + bd.

в) Если хотя бы в одном из этих неравенств достигается равенство, то четырёхугольник можно вписать в окружность. Докажите это.

138. Если m и n — натуральные числа, причём m < n, то сумма чисел вида (–1)kkmСkn, где k пробегает значения от 1 до n, равна нулю. Докажите это.

Здесь Сkn — это коэффициент при xk после раскрытия скобок и приведения подобных в многочлене (1 + x)n. Например, если n = 4, то C04 = 1, C14 = 4, C24 = 6, C34 = 4, C44 = 1 и верны равенства

–1 · 4 + 2 · 6 – 3 · 4 + 4 · 1 = 0,

–12 · 4 + 22 · 6 – 32 · 4 + 42 · 1 = 0,

–13 · 4 + 23 · 6 – 33 · 4 + 43 · 1 = 0.

139. Из вершины B параллелограмма ABCD проведены его высоты BK и BH. Выразите расстояние от точки В до точки пересечения высот треугольника ВKН через длины отрезков KH = a и BD = b.

140. С натуральным числом (записываемым в десятичной системе) разрешено проделывать следующие операции:

А) приписать на конце цифру 4;

Б) приписать на конце цифру 0;

В) разделить на 2 (если число чётно).

Например, если с числом 4 проделаем последовательно операции В, В, А и Б, то получим число 140.

а) Из числа 4 получите число 1972.

б) Из числа 4 можно получить любое натуральное число. Докажите это.

141. Выберем на высоте ВН треугольника АВС произвольную точку Р. Пусть K — точка пересечения прямых АР и ВС, L — точка пересечения прямых СР и АВ. Докажите, что отрезки и  составляют равные углы с высотой ВН.

142. а) Нельзя занумеровать рёбра куба числами 1, 2,..., 11, 12 так, чтобы для каждой вершины сумма номеров трёх выходящих из неё рёбер была одной и той же. Докажите это.

б) Можно ли вычеркнуть одно из чисел 1, 2,..., 12, 13 и оставшимися занумеровать рёбра куба так, чтобы выполнялось то же условие?

143. Найдите наименьшее натуральное число n, для которого выполнено следующее условие: если число p простое и n делится на (p – 1), то n делится на p.

144. Найдите необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять числа a, b, α и β, чтобы прямоугольник размером a×b можно было разрезать на прямоугольники размером α×β. Например, можно ли прямоугольник размером 50×60 разрезать на прямоугольники размером а) 20×15; б) 5×8; в) 6,25×15; г) (2 + d)×(2 – d), где буква d обозначает длину диагонали квадрата со стороной 1?

145. Хозяин обещает работнику платить в среднем корень из двух рублей в день. Для этого каждый день он платит 1 или 2 рубля с таким расчётом, чтобы для любого натурального n выплаченная за первые n дней сумма была натуральным числом, наиболее близким к произведению корня из двух и числа n. Вот величины первых пяти выплат: 1, 2, 1, 2, 1. Докажите, что последовательность выплат непериодическая.

146. а) В вершинах правильного 7-угольника расставлены чёрные и белые фишки. Докажите, что найдутся 3 фишки одного цвета, лежащие в вершинах равнобедренного треугольника.

б) Верно ли аналогичное утверждение для 8-угольника?

в) Для каких правильных n-угольников аналогичное верно, а для каких — нет?

147. Вписанный в окружность четырёхугольник ABCD таков, что касательные к окружности в точках А и C пересекаются на продолжении диагонали ВD. Докажите, что

а) касательные в точках В и D пересекаются на продолжении диагонали АС;

б) биссектрисы внутренних углов А и C четырёхугольника пересекаются на диагонали ВD, а биссектрисы углов В и D — на АС.

148. Последовательность x0, x1, x2, ... определена следующими условиями: x0 = 1, x1 = λ, для любого n > 1 выполнено равенство

(α + β)nxn = αnxnx0 + αn – 1βxn – 1x1 + αn – 2β2xn – 2x2 +... + βnx0xn.

Здесь α, β, λ — заданные положительные числа. Найдите xn и выясните, при каком n величина xn наибольшая.

149. Пусть O — точка пересечения диагоналей четырёхугольника АВCD. Докажите, что если равны периметры треугольников

а) ABC, BCD, CDA и DAB, то АВCD — прямоугольник;

б) АBО, BCO, CDO и DAO, то АВCD — ромб.

150. P и Q — подмножества множества выражений вида (a1, a2, ..., an), где a1, a2,..., an — натуральные числа, не превосходящие данного числа k (очевидно, таких выражений всего kn штук). Для любого элемента (p1, p2, ..., pn) множества P и любого элемента (q1, q2, ..., qn) множества Q существует хотя бы одно такое число m, что 1 £ m £ n и pm = qm. Докажите, что хотя бы одно из множеств P и Q состоит не более чем из kn – 1 элементов для

а) k = 2 и любого натурального n;

б) n = 1, 2 или 3 и любого натурального k >1;

в) произвольного натурального n и произвольного не равного 1 натурального числа k.

151. Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.

152. Пусть a, b, m, n — натуральные числа, причём числа a и b взаимно просты и a > 1. Докажите, что если am + bm делится на an + bn, то m делится на n.

153. Двое играют в следующую игру. Один называет цифру, а другой вставляет её по своему усмотрению вместо одной из звёздочек в следующей разности:  – . Затем первый называет ещё одну цифру, второй ставит её, первый опять называет цифру, и так играют до тех пор, когда все звёздочки будут заменены цифрами. Первый стремится к тому, чтобы разность получилась как можно больше, а второй — чтобы она стала как можно меньше. Докажите, что

а) второй может расставлять цифры так, чтобы модуль полученной разности стал не больше 4000, независимо от того, какие цифры называл первый;

б) первый может называть цифры так, чтобы модуль разности стал не меньше 4000, независимо от того, куда расставляет цифры второй.

154. На прямой дано 50 отрезков. Докажите, что верно хотя бы одно из следующих утверждений:

  • некоторые 8 из этих отрезков имеют общую точку;
  • некоторые 8 из этих отрезков таковы, что никакие два из них не пересекаются.

155. Дано несколько квадратов, сумма площадей которых равна 1. Докажите, что их можно поместить без наложений в квадрат площади 2.

156. Точки M и N — середины сторон AD и BC прямоугольника ABCD. На продолжении отрезка DC за точку D лежит точка P. Прямые PM и AC пересекаются в точке Q. Докажите равенство углов QNM и MNP.

157. Сумма n положительных чисел x1, x2, x3,..., xn равна 1. Пусть S — наибольшее из чисел x1/(1 + x1), x2/(1 + x1 + x2),..., xn/(1 + x1 + x2 + ... + xn). Найдите наименьшее возможное значение S. При каких значениях x1, x2, x3,..., xn оно достигается?

158. Треугольная таблица строится по следующему правилу: в верхней её строке написано одно только натуральное число a > 1, а далее под каждым числом k слева пишем число k2, а справа — число k + 1. Докажите, что в каждой строке таблицы все числа разные. (Например, при a = 2 вторая строка состоит из чисел 4 и 3, третья — из чисел 16, 5, 9 и 4, четвёртая — из чисел 256, 17, 25, 6, 81, 10, 16 и 5.)

159. Можно ли расставить цифры 0, 1 и 2 в клетках листа клетчатой бумаги размером 100×100 таким образом, чтобы в каждом прямоугольнике размером 3×4, стороны которого идут по сторонам клеток, были бы три нуля, четыре единицы и пять двоек?

160. Когда закончился хоккейный турнир (в один круг), оказалось, что для любой группы команд можно найти команду (может быть, из той же группы), которая набрала в играх с командами этой группы нечётное число очков. Докажите, что в турнире участвовало чётное число команд. (Поражение — 0 очков, ничья — 1 очко, выигрыш — 2 очка.)

161. Озеро имеет форму невыпуклого n-угольника. Докажите, что множество точек озера, из которых видны все его берега, либо пусто, либо является внутренностью некоторого выпуклого m-угольника, где m £ n.

162. Последовательность натуральных чисел a1 < a2 < a3 < ... < an < ... такова, что каждое натуральное число либо входит в последовательность, либо представимо в виде суммы двух членов последовательности, быть может, одинаковых. Докажите неравенство an £ n2 для любого n = 1, 2, 3, ...

163. Если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то проекции их точки пересечения на стороны (или их продолжения) лежат на одной окружности. Докажите это.

164. На белых клетках бесконечной шахматной доски, заполняющей верхнюю полуплоскость, записаны какие-то числа так, что для каждой чёрной клетки сумма чисел, стоящих в двух соседних с ней клетках — справа и слева,— равна сумме двух других чисел, стоящих в соседних с ней клетках — сверху и снизу. Известно число, стоящее в одной клетке n-й строки (голубой крестик на рисунке), а требуется узнать число, стоящее над ним в (n + 2)-й строке (красный знак вопроса на рисунке). Сколько ещё чисел, стоящих в двух нижних строках (голубые точки на рисунке), нужно для этого знать?

165. На окружности расположено множество F точек, состоящее из 100 дуг. При любом повороте R окружности множество R(F) имеет хотя бы одну общую точку с множеством F. (Другими словами, для любого угла α от 0° до 180° в множестве F можно указать две точки, отстоящие одна от другой на угол α.) Какую наименьшую сумму длин могут иметь 100 дуг, образующих множество F? Каков будет ответ, если дуг не 100, а n?

166. а) Школьники одного класса в сентябре ходили в два туристических похода. В первом походе мальчиков было меньше 2⁄5 общего числа участников этого похода, во втором — тоже меньше 2⁄5. Докажите, что в этом классе мальчики составляют меньше 4⁄7 общего числа учеников, если известно, что каждый из учеников участвовал по крайней мере в одном походе.

б) Пусть в k-м походе, где 1 £ k £ n, мальчики составляли αk-ю часть общего количества участников этого похода. Какую наибольшую долю могут составлять мальчики на общей встрече всех туристов (всех, кто участвовал хотя бы в одном из n походов)?

167. В любой арифметической прогрессии a, a + d, a + 2d,..., a + nd,..., составленной из натуральных чисел, есть бесконечно много членов, в разложении которых на простые множители входят в точности одни и те же простые числа. Докажите это.

168. В правильной усечённой пирамиде точка K — середина некоторой стороны АВ верхнего основания, L — середина некоторой стороны CD нижнего основания. Докажите равенство длин проекций отрезков АВ и CD на прямую KL.

169. k и n — натуральные числа, k £ n. Расставьте первые n2 натуральных чисел в таблицу n×n так, чтобы в каждой строке числа шли в порядке возрастания и при этом сумма чисел в k-м столбце была а) наименьшей; б) наибольшей.

170. а) M и N — точки касания вписанной в треугольник АВС окружности со сторонами АВ и АС, Р — точка пересечения прямой MN с биссектрисой угла В. Докажите, что угол BPC прямой.

б) Докажите более общий факт: если расположенная внутри треугольника ABC точка O такова, что величина угла BOC на 90° больше величины угла BAO, точки M и N — основания перпендикуляров, опущенных из точки O на стороны AB и AC, а P — точка пересечения прямых BO и MN, то угол BPC прямой.

171. На плоскости нарисован правильный шестиугольник, длина стороны которого равна 1. При помощи одной только линейки постройте отрезок, длина которого равна квадратному корню из 7.

172. Пусть p — простое число. Напишем сначала p единиц, затем p двоек, p троек, p четвёрок, p пятёрок, p шестёрок, p семёрок, p восьмёрок и p девяток. Докажите, что полученное таким образом число при делении на p даёт такой же остаток, что и число 123 456 789.

173. В квадратной таблице 4×4 расставлены числа 1, 2, 3,..., 16 так, что сумма четырёх чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой из двух диагоналей равна одному и тому же числу, причём числа 1 и 16 стоят в противоположных углах таблицы. Докажите, что в этом «магическом квадрате» сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, одна и та же.

174. На сторонах треугольника ABC, как на основаниях, построены равнобедренные треугольники AB1C, BA1C и AC1B. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек A, B и C соответственно на прямые B1C1, C1A1 и A1B1, пересекаются в одной точке.

175. Найдите для каждого данного натурального числа m такое наибольшее возможное число N, что возможна следующая ситуация.

а) Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на m равных частей; через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам и разрезавшие треугольник на m2 маленьких треугольников. Среди вершин полученных треугольников отмечены N вершин так, что ни для каких двух отмеченных вершин A и B отрезок АВ не параллелен ни одной из сторон (на рисунке m = 6).

б) Каждое ребро тетраэдра разделено на m равных частей; через точки деления проведены плоскости, параллельные граням. Среди вершин полученных многогранников отмечены N вершин так, чтобы никакие две отмеченные вершины не лежат на прямой, параллельной одной из граней.

в) Среди решений уравнения x1 + x2 + ... + xk = m в целых неотрицательных числах выбраны N решений так, что ни в каких двух из выбранных решений ни одна переменная не принимает одно и то же значения.

Примечание. Задачи а) и б) являются частными случаями задачи в) при k = 2 и k = 3 соответственно.

176. К какой стороне треугольника ABC ближе всего расположена точка пересечения его высот, если РA < РB < РC? А к какой вершине?

177. Пусть a — заданное вещественное число, n — натуральное число, n > 1. Найдите все такие x, что сумма корней n-й степени из чисел xn – an и 2an – xn равна числу a.

178. Из некоторой точки P биссектрисы угла A треугольника ABC опустим перпендикуляры PA1, PB1 и PC1 на его стороны BC, CA и AB соответственно. Пусть R — точка пересечения прямых PA1 и B1C1. Докажите, что прямая АR делит сторону ВС пополам.

179. Для каждого непрямоугольного треугольника T обозначим через T1 треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T; через T2 — треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T1; аналогично определим треугольники T3, T4 и так далее. Каким должен быть треугольник T, чтобы а) треугольник T1 был остроугольным? б) в последовательности T1, T2, T3,... встретился прямоугольный треугольник Tn (и таким образом треугольник Tn+1 не был определён)? в) треугольник T3 был подобен треугольнику T?

г) Для каждого натурального числа n выясните, сколько существует неподобных другу треугольников T, для которых треугольник Tn подобен треугольнику Т.

180. Двое играют в такую игру. Один задумывает натуральное число n, а другой задаёт вопросы типа «верно ли, что n не меньше x?» (число x он может выбирать по своему усмотрению) и получает ответы «да» или «нет». Каждой возможной стратегии T второго игрока сопоставим функцию fT(n), равную числу вопросов (до отгадывания), если было задумано число n. Пусть, например, стратегия T состоит в том, что сначала задают вопросы: «верно ли, что n не меньше 10?», «верно ли, что n не меньше 20?»,... до тех пор, пока на какой-то вопрос «верно ли, что n не меньше 10(k + 1)?» не будет дан ответ «нет», а затем задают вопросы «верно ли, что n не меньше 10k + 1?», «верно ли, что n не меньше 10k + 2?» и так далее. Тогда fT(n) = a + 2 + (n – a)⁄10, где a — последняя цифра числа n, то есть fT(n) растёт примерно как n⁄10.

а) Предложите стратегию, для которой функция fT растёт медленнее.

б) Сравнивая две стратегии, удобно для произвольной стратегии Т вместо функции fT ввести функцию fT, значение которой для любого натурального числа n равно наибольшему из чисел fT(k), где k пробегает значения от 1 до n. Оцените снизу fT для произвольной стратегии T.

1973 год

181. Какую наименьшую длину должен иметь кусок проволоки, чтобы из него можно было согнуть каркас куба с ребром 10 см? (Проволока может проходить по одному ребру дважды, загибаться на 90° и 180°, но ломать её нельзя.)

182. Докажите, что если

а) a, b и c — положительные числа, то сумма чисел a ⁄ (b + c), b ⁄ (a + c) и c ⁄ (a + b) не меньше 3 ⁄ 2;

б) a, b, c и d — положительные числа, то сумма чисел a ⁄ (b + c + d), b ⁄ (a + c + d), c ⁄ (a + b + d) и d ⁄ (a + b + c) не меньше 4⁄3;

в) для любых n положительных чисел, где n > 1, сумма n чисел, k-е из которых, где k — натуральное число, не превосходящее n, равно частному от деления k-го из данных чисел на сумму остальных данных чисел, не меньше числа n⁄(n – 1).

183. Найдите высоту трапеции, длины оснований которой равны a и b, где a < b, величина угла между диагоналями равна 90°, а величина угла между продолжениями боковых сторон — 45°.

184. Для любого натурального числа n и для любого числа x, отличного от –1, –2,..., –n, дробь n!⁄x(x + 1)(x + 2)...(x + n) равна сумме n + 1 дробей, k-я из которых, где k — целое неотрицательное число, не превосходящее n, равна отношению числа сочетаний из n по k, умноженного на (–1)k, к числу x + k. Докажите это.

185. На кафтане площадью 1 размещены 5 заплат, площадь каждой из которых не меньше 1⁄2. Докажите, что найдутся две заплаты, площадь общей части которых не меньше 1⁄5.

186. Найдите все решения уравнения 1⁄x + 1⁄y + 1⁄z = 1 в целых числах, отличных от 1.

187. На плоскости заданы две точки А и В. Найдите геометрическое место третьих вершин С треугольника АВС, у которого:

а) высота AA' равна стороне ВС;

б) медиана AA1 равна стороне АС;

в) медиана AA1 равна стороне ;

г) высота CC' равна медиане BB1;

д) высота BB' равна медиане СC1.

188. Между некоторыми из 2n городов установлено воздушное сообщение, причём каждый город связан (беспосадочными рейсами) не менее чем с n другими. Докажите, что если отменить любые n – 1 рейсов, то всё равно из любого города можно добраться в любой другой на самолётах (с пересадками). Укажите все случаи, когда связность нарушается при отмене n рейсов.

189. Три отрезка АВ, ЕF и СD проходят через одну точку О, причём точка Е лежит на отрезке АС, а точка F — на отрезке ВD. Докажите, что отрезок ЕF короче хотя бы одного из отрезков АВ или СD.

190. На плоскости даны две прямые a и b. В точке A1, находящейся на прямой a на расстоянии меньше 1 от прямой b, сидит блоха. Затем блоха последовательно прыгает в точки B1, A2, B2, A3, B3,..., руководствуясь следующими правилами. Во-первых, точки A1, A2, A3,... лежат на прямой a, точки B1, B2, B3,... — на прямой b. Во-вторых, 1 = A1B1 = B1A2 = A2B2 = B2A3 = A3B3 = ... В-третьих, наконец, точка An не совпадает с An+1, кроме случая AnBn^a (и, аналогично, Bn совпадает с Bn+1, только если BnAn+1^b). Нетрудно видеть, что этими тремя условиями последовательность прыжков определена однозначно.

Докажите, что если угол между прямыми a и b измеряется рациональным числом градусом, то путь блохи будет периодическим, то есть в некоторый момент она попадёт в начальную точку A1 и затем будет последовательно проходить те же самые точки B1, A2, B2, A3, B3,..., как в начале пути, а если иррациональным числом, то блоха не попадёт ни в какую точку более двух раз.

191. На плоскости даны две точки А и В и прямая l, проходящая через точку А и не проходящая через точку В. Через точки А и В проводится произвольная окружность. Пусть О — её центр, С — точка её пересечения с прямой l, отличная от А. Найдите геометрическое место середин отрезков ОС.

192. Даны числа 1, 2, 3,..., 1000. Найдите наибольшее число m, обладающее таким свойством: какие бы m из данных чисел ни вычеркнуть, среди оставшихся 1000 – m чисел найдутся два, из которых одно делится на другое.

193. Сумма площадей пяти треугольников, образуемых парами сторон и диагоналями выпуклого пятиугольника, больше площади всего пятиугольника. Докажите это.

194. Даны два взаимно простых натуральных числа a и b. Рассмотрим множество M целых чисел, представимых в виде ax + by, где x и y — целые неотрицательные числа.

а) Каково наибольшее целое число c, не принадлежащее множеству М?

б) Докажите, что из двух чисел n и с – n (где n — любое целое) одно принадлежит М, а другое нет.

Известна следующая теорема: для любых взаимно простых натуральных чисел a и b всякое целое число можно представить в виде ax + by, где х и y — целые.

Для а = 3 и b = 7 синим цветом напишем числа, принадлежащие множеству М, оранжевым — не принадлежащие, выделив число 5,5:

..., –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 51⁄26, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...

Как видите, при симметрии относительно числа 5,5 оранжевые числа переходят в синие, а синие — в оранжевые. То же самое явление видим для а = 4 и b = 9:

..., –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 111⁄212, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, ...

195. Дан треугольник АВС. Сколько существует таких точек D, что периметры четырёхугольников АDВС, АВСD и AВDС одинаковы?

196. В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд. Докажите, что если каждый диаметр пересекает не более k хорд, то сумма длин хорд меньше πk.

197. В прямоугольную таблицу из m строк и n столбцов записаны mn положительных чисел. Найдём в каждом столбце произведение чисел и сложим все n таких произведений. Докажите, что если переставить числа в каждой строке в порядке возрастания, то сумма аналогичных произведений будет не меньше, чем в первоначальной. Решите эту задачу для а) m = n = 2; б) m = 2 и произвольного n; в) любых натуральных m и n.

Вот пример для m = 3 и n = 4. Для таблицы

1 5 6 2 4 3 7 2 1 2 1 2

произведения равны 1 · 4 · 1 = 4, 5 · 3 · 2 = 30, 6 · 7 · 1 = 42 и 2 · 2 · 2 = 8. Сумма этих произведений равна 4 + 30 + 42 + 8 = 84. А если переставим числа в строках в порядке возрастания, то получим таблицу

1 2 5 6 2 3 4 7 1 1 2 2

Сумма произведений 1 · 2 · 1 = 2, 2 · 3 · 1 = 6, 5 · 4 · 2 = 40 и 6 · 7 · 2 = 84 равна 126 > 84.

198. Дан параллелограмм АBCD. На прямых АB и BC выбраны точки Н и K соответственно так, что треугольники KАB и НCB равнобедренные ( = АB и НС = СB). Докажите, что треугольник KDН тоже равнобедренный.

199. Для любого натурального n докажите, что если для каждого целого неотрицательного числа k, не превосходящего половины числа n, вычислить число сочетаний из n – k по k, умножить его на (–1)kpkqk и найти сумму этих чисел, то сумма окажется равна а) (n + 1) ⁄ 2n при p = q = 1 ⁄ 2; б) (pn+1 – qn+1) ⁄ (p – q) при p + q = 1 и p ≠ q.

200. а) На первом рисунке изображены шесть точек, которые лежат по три на четырёх прямых. Докажите, что можно 24 разными способами отобразить это множество из шести точек на себя так, чтобы каждые три точки, лежащие на одной прямой, отобразились в три точки, лежащие на одной прямой.

б) На втором рисунке девять точек лежат по три на девяти прямых, причём через каждую точку проходит по три таких прямых. Эти девять точек и девять прямых образуют знаменитую «конфигурацию Паскаля». Сколькими способами можно множество наших девяти точек отобразить на себя так, чтобы каждая тройка точек, лежащая на одной из девяти наших прямых, отобразилась на тройку точек, которая тоже лежит на некоторой прямой из нашей конфигурации?

в) Тот же вопрос для конфигурации Дезарга (из десяти точек и десяти прямых), изображённой на третьем рисунке.

201. Прямая l1 пересекает стороны a, b и с треугольника (или их продолжения) в точках A1, B1 и C1 соответственно; прямая l2 пересекает их в точках A2, B2 и C2 соответственно. Докажите, что если точки A1 и A2 симметричны относительно середины стороны a, а точки B1 и B2 симметричны относительно середины стороны b, то точки C1 и C2 симметричны относительно середины стороны c.

202. Из последовательности a, a + d, a + 2d, a + 3d,..., являющейся бесконечной арифметической прогрессией, где d не равно 0, тогда и только тогда можно выбрать подпоследовательность, являющуюся бесконечной геометрической прогрессией, когда отношение ad рационально. Докажите это.

203. а) Если проекции точки пересечения диагоналей AC и BD вписанного четырёхугольника ABCD на прямые АВ, ВС, СD и соединить последовательно четырьмя прямыми, то получим прямые, касающиеся одной окружности. Докажите это.

б) Сформулируйте и докажите обратную теорему.

204. Назовём натуральное число хорошим, если в его десятичной записи встречаются подряд цифры 1, 9, 7, 3, и плохим — в противном случае. (Например, число 197 639 917 — плохое, а 116 519 732 — хорошее.) Докажите, что существует такое натуральное число n, что среди всех n-значных чисел (от 10n–1 до 10n – 1) больше хороших, чем плохих.

205. 24 студента решали 25 задач. У преподавателя есть таблица размером 24×25, в которой записано, кто какие задачи решил. Оказалось, что каждую задачу решил хотя бы один студент. Докажите, что

а) можно отметить некоторые задачи «галочкой» так, что каждый из студентов решил чётное число (в частности, может быть, нуль) из отмеченных задач;

б) можно отметить некоторые из задач знаком «+», а некоторые из остальных — знаком «–» и приписать каждой задаче некоторое натуральное число баллов так, чтобы каждый студент набрал поровну баллов за задачи, отмеченные знаками «+» и «–».

Замечание. Эти утверждения верны всегда, если количество задач больше количества студентов.

206. Дана бесконечная последовательность цифр. Докажите, что для любого натурального числа n, взаимно простого с числом 10, можно указать такую группу стоящих подряд цифр последовательности, что записываемое этими цифрами число делится на n.

207. Даны два треугольника A1A2A3 и B1B2B3. Опишите вокруг треугольника A1A2A3 треугольник M1M2M3 наибольшей площади, подобный треугольнику B1B2B3 (при этом вершина A1 должна лежать на прямой M2M3, вершина A2 — на прямой A1A3, вершина A3 — на прямой A1A2).

208. Известно, что разность между наибольшим и наименьшим из чисел x1, x2, x3,..., x9, x10 равна 1. Какой а) наибольшей; б) наименьшей может быть разность между наибольшим и наименьшим из 10 чисел x1,  (x1 + x2) : 2,  (x1 + x2 + x3) : 3,...,  (x1 + x2 + ... + x10) : 10?

Каков ответ, если чисел не 10, а n?

209. Для любого треугольника можно вычислить сумму квадратов тангенсов половин его углов. Докажите, что эта сумма а) меньше двух для любого остроугольного треугольника; б) не меньше 2 для любого тупоугольного треугольника, величина тупого угла которого больше или равна двух арктангенсов числа 4⁄3; в) среди треугольников с тупым углом, меньшим двух арктангенсов 4⁄3, имеются и такие, сумма квадратов тангенсов половин углов которых больше двух, и такие треугольники, сумма квадратов тангенсов половин углов которых меньше двух.

210. Рассмотрим последовательности, состоящие из 3000 цифр 1 и 2. В такой последовательности разрешено поменять местами любые две соседние тройки цифр. Две последовательности называем эквивалентными, если одну из них можно перевести в другую несколькими такими перестановками. Сколько существует неэквивалентных последовательностей?

211. Дано n точек, n > 4. Докажите, что можно соединить их стрелками так, чтобы из каждой точки в каждую можно было попасть, пройдя либо по одной стрелке, либо по двум (каждые две точки можно соединить стрелкой только в одном направлении; идти по стрелке можно только в указанном на ней направлении).

212. На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено 14 монет. Эксперт обнаружил, что семь из них — фальшивые, остальные — настоящие, причём узнал, какие именно фальшивые, а какие — настоящие. Суд же знает только, что фальшивые монеты весят одинаково, настоящие монеты весят одинаково, а фальшивые легче настоящих. Эксперт хочет тремя взвешиваниями на чашечных весах без гирь доказать суду, что все обнаруженные им фальшивые монеты действительно фальшивые, а остальные — настоящие. Сможет ли он это сделать?

213. Дан угол с вершиной О и окружность, касающаяся его сторон в точках А и В. Из точки А параллельно ОВ проведён луч, пересекающий окружность в точке С. Отрезок ОС пересекает окружность в точке Е, а прямые АЕ и ОВ пересекаются в точке K. Докажите равенство ОK = .

214. Квадратный трёхчлен f (x) = ax2 + bx + c таков, что уравнение f (x) = x не имеет вещественных корней. Докажите, что уравнение f (f (x)) = x также не имеет вещественных корней.

215. На бесконечном клетчатом листе белой бумаги n клеток закрашены в чёрный цвет. В моменты времени t = 1, 2, 3, ... происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: каждая клетка k приобретает тот цвет, который имело в предыдущий момент большинство из трёх клеток: самой клетки k и её соседей справа и сверху (если две или три из этих клеток были белыми, то k становится белой, если две или три из них были чёрными — чёрной).

а) Докажите, что через конечное время на листе не останется ни одной чёрной клетки.

б) Докажите, что чёрные клетки исчезнут не позже, чем в момент времени t = n.

216. N человек не знакомы между собой. Нужно так познакомить друг с другом некоторых из них, чтобы ни у каких трёх людей не оказалось одинакового числа знакомых. Докажите, что это можно сделать при любом N.

217. Дан выпуклый n-угольник с попарно непараллельными сторонами и точка внутри него. Докажите, что через эту точку нельзя провести больше n прямых, каждая из которых делит площадь многоугольника пополам.

218. Если x1, x2, x3, x4, x5 — положительные числа, то квадрат суммы этих чисел не меньше учетверённой суммы произведений x1x2, x2x3, x3x4, x4x5 и x5x1.

219. В пространстве заданы 4 точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?

220. Король обошёл шахматную доску, побывав на каждом поле ровно один раз и вернувшись последним ходом на исходное поле. (Король ходит по обычным правилам: за один ход он может перейти по горизонтали, вертикали или диагонали на любое соседнее поле.) Когда нарисовали его путь, последовательно соединив центры полей, которые он проходил, получилась замкнутая ломаная без самопересечений. Какую наименьшую и какую наибольшую длину может она иметь? (Сторона клетки равна единице.)

221. На бумагу поставили кляксу. Для каждой точки кляксы определили наименьшее расстояние до границы кляксы, а также наибольшее расстояние до границы кляксы. Среди всех наименьших расстояний выберем наибольшее, а среди наибольших — наименьшее. Какую форму имеет клякса, если эти две величины равны?

222. У любого выпуклого многогранника есть две грани с одинаковым числом сторон. Докажите это.

223. Натуральное число называют совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, кроме самого этого числа. (Например, число 28 — совершенное: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.) Докажите, что никакое совершенное число не является квадратом.

224. Углы между биссектрисами плоских углов трёхгранного угла либо все тупые, либо все острые, либо все прямые. Докажите это.

225. Грани кубика занумерованы числами 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, что сумма номеров на противоположных гранях равна 7. Кубик катят из левого нижнего в правый верхний угол шахматной доски размером 50×50 клеток (каждая клетка доски равна грани кубика) так, что он каждый раз переваливается через своё ребро на соседнюю клетку; при этом разрешено двигаться только вправо или вверх. На каждой из клеток по пути кубика пишется номер грани, которая опиралась на эту клетку. Какое наибольшее значение может иметь сумма всех 99 выписанных чисел? Какое наименьшее?

226. В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду. При этом, если кузнечик А прыгает через кузнечика В, то после прыжка он оказывается от В на том же расстоянии (но, естественно, по другую сторону и на той же прямой). Может ли после нескольких прыжков один из кузнечиков попасть в четвёртую вершину исходного квадрата?

227. На каждой стороне параллелограмма взято по точке. Площадь четырёхугольника с вершинами в этих точках равна половине площади параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырёхугольника параллельна одной из сторон параллелограмма.

228. Лист клетчатой бумаги размером n×n раскрасили в n цветов (каждую клетку покрасили в один из этих цветов или не закрасили вообще). Правильной называют раскраску, при которой ни в одной строке и ни в одном столбце нет клеток одного цвета. Всегда ли можно «докрасить» весь лист правильным образом, если первоначально были правильно закрашены а) n2 – 1; б) n2 – 2; в) n клеток?

229. В центре квадрата находится полицейский, а в одной из вершин — гангстер. Полицейский может бегать по всему квадрату, а гангстер — только по сторонам. Максимальная скорость полицейского равна u, а гангстера — v. Цель полицейского — оказаться с гангстером на одной стороне квадрата. Докажите, что если

а) 3u > v, то он может добиться своей цели;

б) 3u < v, то гангстер может помешать ему это сделать.

230. Из любого выпуклого равностороннего (но не обязательно правильного) пятиугольника можно вырезать правильный треугольник, одна из сторон которого совпадает со стороной пятиугольника. Докажите это.

231. Решите в натуральных числах уравнение nx + ny = nz.

232. а) К любому конечному множеству точек плоскости, обладающему тем свойством, что любые три точки из этого множества являются вершинами невырожденного тупоугольного треугольника, всегда можно добавить ещё одну точку так, что это свойство сохранится. Докажите это.

б) Справедливо ли аналогичное утверждение для бесконечного множества точек плоскости?

233. В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма — число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее 1973 раза. Сколько раз будет написано число 1973?

234. Дан квадрат со стороной 1. От него отсекают четыре уголка — четыре треугольника, у каждого из которых две стороны идут по сторонам квадрата и составляют 1 ⁄ 3 их длины. С полученным 8-угольником делают то же самое: от каждой вершины отрезают треугольник, две стороны которого составляют по 1 ⁄ 3 соответствующих сторон 8-угольника, и так далее. Получается последовательность многоугольников (каждый содержится в предыдущем). Найдите площадь фигуры, являющейся пересечением всех этих многоугольников (то есть образованной точками, принадлежащими всем многоугольникам).

235. По арене круглого цирка радиусом 10 м бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 км. Докажите, что сумма величин всех углов, на которые он поворачивал, не меньше 2998 радиан.

236. а) Имеется 51 двузначное число. Докажите, что из этих чисел можно выбрать по крайней мере 6 чисел, так, чтобы никакие два из выбранных чисел ни в одном разряде не имели одинаковой цифры.

б) Даны натуральные числа k и n, причём 1 < k < n. Для какого наименьшего m верно следующее утверждение: при любой расстановке m клеток можно выбрать k ладей из этих m так, чтобы никакие две из этих выбранных ладей не били друг друга?

237. Величины углов остроугольного треугольника равны α, β и γ. Какие массы нужно поместить в его вершинах, чтобы центр тяжести этих трёх масс попал в а) ортоцентр (точку пересечения высот); б) центр описанной окружности?

Длины сторон треугольника равны a, b и c. Какие массы нужно поместить в его вершины, чтобы центр тяжести попал в в) точку пересечения отрезков, соединяющих вершины и точки касания противоположных им сторон со вписанной окружностью; г) центр вписанной окружности?

238. Для любого натурального числа n сумма чисел сочетаний из n по 1, по 3, по 5,..., умноженных соответственно на 1, на 1973, на 19732,..., делится на 2n–1. Докажите это.

239. На плоскости даны две точки A и B. Пусть C — некоторая точка плоскости, равноудалённая от точек A и B. Построим последовательность точек C1 = C, C2, C3,..., Cn, Cn+1,..., где Cn+1 — центр описанной окружности треугольника ABCn. а) При каком положении точки C точка Cn попадёт в середину отрезка AB (при этом Cn+1 и дальнейшие члены последовательности не определены)? б) При каком положении точки C точка Cn совпадает с C?

240. По заданному ненулевому x значение x8 можно найти за три арифметических действия: x2 = x · x, x4 = x2 · x2, x8 = x4 · x4, а x15 — за пять действий: первые три — те же самые, затем x8 · x8 = x16 и x16 : x = x15. Докажите, что

а) x1000 можно найти за 12 действий (умножений и делений);

б) для любого натурального n возвести x в n-ю степень можно не более чем за 1 + 1,5 · log2n действий.

1974 год

241. Сумма 31974 + 51974 делится на 13. Докажите это.

242. Пусть AkHk и AkMk, где k = 1, 2 или 3,— соответственно, высота и медиана, проведённые из вершины Ak остроугольного треугольника A1A2A3. а) Докажите, что одно из трёх произведений H1M1 · A2A3, H2M2 · A3A1 и H3M3 · A1A2 равно сумме двух других. б) Верно ли это утверждение для прямоугольного и тупоугольного треугольников?

243. Отрезки A1B1, A2B2,..., AnBn расположены на плоскости так, что каждый из них начинается на одной из двух данных прямых, оканчивается на другой прямой и проходит через точку G, не лежащую на данных двух прямых и являющуюся центром тяжести единичных масс, помещённых в точки A1, A1,..., An. Докажите, что сумма частных от деления длин отрезков A1G, A2G,..., AnG соответственно на длины отрезков B1G, B2G,..., BnG равна n.

244. Произведение (a1 + a2 + ... + an)(b1 + b2 + ... + bn) не превосходит умноженной на число n суммы a1b1 + a2b2 + ... + anan, если а) для любых j и k из неравенства aj < ak следует неравенство bj < bk; б) для любых j и k из того, что число aj меньше среднего арифметического чисел a1, a2,..., an, а оно в свою очередь меньше числа ak, следует неравенство bj < bk. Докажите это.

245. Предлагается построить N точек на плоскости так, чтобы все расстояния между ними равнялись заранее заданным числам.

а) Можно ли провести построение, если расстояния заданы так, что всякие 5 из N точек построить можно?

б) Достаточно ли требовать, чтобы можно было построить всякие 4 из N точек?

в) Что изменится, если строить точки не на плоскости, а в пространстве? Каково тогда наименьшее k, для которого возможность построения любых k из данных N точек обеспечивает возможность построения и всех N точек?

246. На плоскости даны две прямые m и n и точка О. Постройте треугольник, две высоты которого лежат на данных прямых m и n, а центр описанной окружности находится в точке О.

247. Квадрат 6×6 нужно заполнить 12 плитками, из которых k — трёхклеточные уголки, а остальные (12 – k) — трёхклеточные прямоугольники. При каких k это возможно?

248. В выпуклый n-угольник A1A2...An вписан n-угольник B1B2...Bn площади P. (Вершина Bk лежит на стороне AkAk+1 для любого k = 1, 2,..., n – 1, а вершина Bn — на стороне AnA1.) Около того же n-угольника A1A2...An описан n-угольник C1C2...Cn площади Q. (Вершина Ak лежит на стороне CkCk+1 для любого k = 1, 2,..., n – 1, а вершина An — на стороне CnC1.) Если соответствующие стороны n-угольников B1B2...Bn и C1C2...Cn параллельны, чему может равняться площадь n-угольника A1A2...An?

249. На рёбрах A'D' и C'D' куба ABCDA'B'C'D' выбирают две точки K и M так, что плоскость KDM касается вписанного в куб шара. Докажите, что величина φ двугранного угла при ребре B'D тетраэдра B'DKM не зависит от выбора точек K и M. Найдите величину φ.

250. а) При дворе короля Артура собрались n рыцарей. Некоторые из них враждуют друг с другом, но у каждого рыцаря не менее n ⁄ 2 друзей среди собравшихся. Докажите, что Мерлин — советник короля Артура — может усадить рыцарей за круглым столом так, чтобы рядом с каждым сидели его друзья.

б) Если у каждого рыцаря одинаковое чётное (и, конечно, положительное) количество друзей, то Мерлин может рассадить рыцарей за несколько круглых столов так, чтобы никто не сидел рядом со своим врагом. Докажите это. (У Артура есть столики на двоих, на троих и так далее.)

251. Дано n фишек нескольких цветов, причём фишек каждого цвета не более n ⁄ 2. Докажите, что их можно расставить на окружности так, чтобы никакие две фишки одинакового цвета не стояли рядом.

252. а) На плоскости лежит правильный восьмиугольник. Его разрешено «перекатывать» по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любого круга можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что его центр окажется внутри круга. (Другими словами, для любой точки M и любого положительного числа ε можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что центр его окажется от точки M на расстоянии меньше ε.)

б) Решите аналогичную задачу для правильного пятиугольника.

в) Для каких правильных n-угольников верно аналогичное утверждение?

253. На плоскости заданы три точки, являющиеся соответственно центрами вписанной, описанной и одной из вневписанных окружностей треугольника. По этим данным восстановите треугольник. (Вневписанная окружность — это окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон.)

254. Вычислите квадратный корень из числа 0,111...111 (100 единиц) с точностью до а) 100; б) 101; в) 200 знаков после запятой.

255. АВ и CD — две различные касательные к двум данным шарам (А и С принадлежат поверхности одного шара, В и D — другого). Докажите, что проекции отрезков АС и ВD на прямую, проходящую через центры шаров, равны.

256. Около окружности описан многоугольник. Точки касания его сторон с окружностью служат вершинами второго, вписанного в эту окружность многоугольника. Докажите, что произведение расстояний от произвольной точки М окружности до сторон одного многоугольника равно произведению расстояний от этой точки до сторон второго. (Расстоянием от точки до стороны здесь называем расстояние до прямой, на которой лежит эта сторона.)

257. При каких натуральных n > 1 неравенство x12 + x22 + . . . + xn³ p (x1x2 + x2x3 + ... + xn–1xn) выполнено для любых действительных чисел x1, x2,..., xn, если а) p = 1; б) p = 4⁄3; в) p = 6 ⁄ 5?

258. На плоскости даны три точки K, LN. Про четырёхугольник известно, что он выпуклый и что середины некоторых трёх его сторон лежат в данных точках K, LN. Найдите множества точек, в которые может попасть: а) середина четвёртой стороны; б) вершина этого четырёхугольника.

259. Назовём квартетом четвёрку клеток на клетчатой бумаге, центры которых лежат в вершинах прямоугольника со сторонами, параллельными линиям сетки. (Например, на рисунке нарисованы три квартета.) Какое наибольшее число квартетов можно разместить в а) квадрате 5×5; б) прямоугольнике m×n клеток?

260. Окружность разбита точками A1, A2,..., An на n равных дуг, каждая из которых окрашена в какой-то цвет. Две дуги окружности (с концами в точках разбиения) называем одинаково окрашенными, если при некотором повороте окружности одна из них полностью, включая цвета всех дуг, совпадает с другой. (Например, на рисунке дуги A2A6 и A6A10 одинаково окрашены.) Докажите, что если для каждой точки разбиения Ak можно указать две непересекающиеся одинаково окрашенные дуги с общим концом Ak, то всю окружность можно разбить на несколько одинаково окрашенных дуг, то есть окраска периодическая. Рассмотрите сначала случай, когда красок всего две, скажем красная и чёрная.

261. Обруч радиусом R, висевший на неподвижном круге радиусом r < R, начинают катить по этому кругу. Докажите, что точка обруча описывает ту же траекторию, которую описывала бы точка колеса радиусом R – r, катящегося снаружи по тому же кругу радиуса r. (Качение происходит без скольжения — так, что длины прокатившихся друг по другу дуг равны.)

262. Какое наибольшее количество а) ладей; б) ферзей можно расставить на шахматной доске 8×8 так, чтобы каждая из этих фигур была под ударом не более чем одной из остальных?

263. Даны числа p и q, большие 1. На сторонах BC и CD прямоугольника ABCD возьмём точки P и Q так, что BC = p · BP> и CD = q · DQ. При каком отношении длин сторон AB и AD угол PAQ будет иметь наибольшую величину? Какова эта наибольшая величина в частном случае p = 2 и q = 3⁄2?

264. В городе одна синяя площадь и n зелёных, причём каждая зелёная площадь соединена улицами с синей и с двумя зелёными, как показано на рисунке. На каждой из 2n улиц ввели одностороннее движение так, что на каждую площадь можно проехать и с каждой — уехать. Докажите, что с любой площади этого города можно, не нарушая правил, доехать до любой из остальных.

265. Диагональ AC1 прямоугольного параллелепипеда образует с его рёбрами AB, AD и AA1 углы BAC1, DAC1 и A1AC1. Докажите, что сумма величин этих углов меньше 180°.

266. Дан выпуклый n-угольник. Докажите следующие утверждения.

а) Если для каждой тройки последовательных вершин n-угольника построить окружность, проходящую через эти вершины, и из n полученных окружностей выбрать такую, у которой радиус наибольший, то эта окружность содержит внутри себя весь данный n-угольник.

б) Если для каждой тройки последовательных сторон n-угольника построить окружность, касающуюся этих сторон, и из n полученных окружностей выбрать такую, у которой радиус наименьший, то она будет содержаться внутри данного n-угольника.

267. В последовательности троек целых чисел (2, 3, 5), (6, 15, 10), ... каждая следующая тройка получена из предыдущей таким образом: первое число умножили на второе, второе — на третье, а третье — на первое, и из полученных произведений образовали новую тройку. Докажите, что среди чисел, получаемых таким образом, не окажется ни квадрата, ни куба, ни вообще никакой (отличной от первой) степени натурального числа.

268. В углу шахматной доски стоит фигура. Первый игрок может ходить ею два раза подряд как обычным конём (на два поля в одном направлении и на одно — в перпендикулярном), а второй — один раз как конём с удлинённым ходом (на три поля в одном направлении и на одно — в перпендикулярном). Так они ходят по очереди. Первый стремится к тому, чтобы поставить фигуру в противоположный угол, а второй — ему помешать. Кто из них выигрывает (размеры доски — n×n, где n > 3)?

269. Обозначим через Tk(n) сумму произведений по k чисел от 1 до n. Например,

T2(4) = 1 · 2 + 1 · 3 + 1 · 4 + 2 · 3 + 2 · 4 + 3 · 4.

а) Найдите формулы для T2(n) и T3(n).

б) Докажите, что Tk(n) является многочленом от n степени 2k.

в) Укажите метод нахождения многочленов Tk при k = 2, 3, 4,... и примените его для отыскания многочленов T3 и T4.

270. Пусть АВ и СD — две хорды окружности, а точки K и H построены так, что все четыре угла KAB, KCD, HBA и HDC прямые. Докажите, что прямая KH проходит через центр окружности и точку пересечения прямых AD и BC.

271. Для всякого ли натурального n можно расставить первые n натуральных чисел в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, расположенных между ними?

272. Даны две касающиеся внешним образом окружности с радиусами r и R. Найдите наименьшую возможную длину боковой стороны трапеции, обе боковые стороны которой касаются обеих окружностей, а каждое из оснований касается одной из них.

273. На отрезке [0; 1] задана функция f. Эта функция во всех точках неотрицательна, f (1) = 1, наконец, для любых двух неотрицательных чисел x1 и x2, сумма которых не превосходит 1, величина f (x1 + x2) не превосходит суммы величин f (x1) и f (x2).

а) Докажите для любого числа x отрезка [0; 1] неравенство f (x£ 2x.

б) Для любого ли числа х отрезка [0; 1] должно быть верно неравенство f (x£ 1,9x?

274. Найдите наименьшее число вида а) ½11k – 5n½; б) ½36k – 5n½; в) ½53k – 37n½, где k и n — натуральные числа.

275. а) На плоскости даны n векторов, длина каждого из которых равна 1. Сумма всех n векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех k = 1, 2,..., n выполнялось следующее условие: длина суммы первых k векторов не превышает 3.

б) Докажите аналогичное утверждение для n векторов с суммой 0, длина каждого из которых не превосходит 1.

в) Можно ли заменить число 3 в пункте а) меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в пункте б).

276. Дан квадрат ABCD. Точки Р и Q лежат соответственно на сторонах АВ и ВС, причём BP = BQ. Пусть Н — основание перпендикуляра, опущенного из точки В на отрезок РС. Докажите, что угол DНQ прямой.

277. Задано несколько красных и несколько синих точек. Некоторые из них соединены отрезками. Назовём точку «особой», если более половины из соединённых с ней точек имеют цвет, отличный от её цвета. Если есть хотя бы одна особая точка, то выбираем любую особую точку и перекрашиваем в другой цвет. Докажите, что через конечное число шагов не останется ни одной особой точки.

278. а) Длина каждой из сторон выпуклого шестиугольника больше 1. Обязательно ли длина хотя бы одна из диагоналей больше 2?

б) В выпуклом шестиугольнике АВСDЕF длины диагоналей АD, ВЕ и СF больше 2. Обязательно ли длина хотя бы одной из сторон больше 1?

279. На n карточках, выложенных по окружности, записаны числа, каждое из которых равно 1 или –1. За какое наименьшее число вопросов можно наверняка определить произведение всех n чисел, если за один вопрос разрешено узнать произведение чисел на а) любых трёх карточках; б) любых трёх карточках, лежащих подряд? (Здесь n — натуральное число, большее 3).

280. Точки A', B' и C' — соответственно, середины сторон BC, AC и AB треугольника ABC, площадь которого равна 1. Точки K, L и M лежат на отрезках AB', CA' и BC' соответственно. Какую максимальную площадь может иметь пересечение треугольников A'B'C' и KLM?

281. Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого имеют одинаковую длину?

282. В клетках прямоугольной таблицы записаны натуральные числа. За один ход разрешено удвоить все числа одной строки или же вычесть единицу из всех чисел одного столбца. Докажите, что за несколько ходов можно добиться, чтобы все числа стали равны нулю.

283. Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все его стороны отодвинуть на единицу во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному. Докажите, что в этот многоугольник можно вписать окружность.

284. Сумма 100 натуральных чисел, каждое из которых не больше 100, равна 200. Докажите, что из них можно выбрать несколько чисел, сумма которых равна 100.

285. Прямоугольный лист бумаги разрезан на прямоугольные полоски, у каждой из которых длина одной из сторон равна 1. Докажите, что длина хотя бы одной из сторон листа бумаги — целое число.

286. На плоскости расположены N точек. Отметим все середины отрезков с концами в этих точках. Какое наименьшее количество точек плоскости могут оказаться отмеченными?

287. Существует ли такая последовательность натуральных чисел, что любое натуральное число можно представить в виде разности двух чисел этой последовательности единственным образом?

288. На конгрессе собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что никакие двое ученых, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Докажите, что найдётся учёный, у которого ровно один друг.

289. N гирь, масса каждой из которых — целое число граммов, разложены на K равных по массе куч. Докажите, что можно не менее чем K разными способами убрать одну из гирь так, что оставшиеся (N – 1) гири уже нельзя будет разложить на K равных по массе куч.

290. Для каких n существует такая замкнутая несамопересекающаяся ломаная из n звеньев, что любая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит ещё хотя бы одно её звено?

291. На сторонах A2A3, A3A1 и A1A2 треугольника A1A2A3 во внешнюю сторону построены квадраты с центрами O1, O2 и O3 соответственно. Докажите, что

а) отрезки O1O2 и A3O3 равны по длине и взаимно перпендикулярны;

б) середины отрезков A3A1, O1O2, A3A2 и A3O3 являются вершинами квадрата;

б) площадь этого квадрата в 8 раз меньше площади квадрата с центром O3.

292. На доске выписаны числа от 1 до 50. Разрешено стереть любые два числа и вместо них записать одно число — модуль их разности. После 49-кратного повторения указанной процедуры на доске останется одно число. Какое это может быть число?

293. Рассмотрим треугольник OC1C2. Проведём в нём биссектрису C2C3, затем в треугольнике OC2C3 проведём биссектрису C3C4, и так далее. Докажите, что последовательность величин углов OCnCn+1 стремится к некоторому пределу и найдите этот предел, если величина угла C1OC2 равна α.

294. Если a, b, c, d, x, y, z, t — вещественные числа, причём abcd > 0, то произведение (ax + bu)(av + by)(cx + dv)(cu + dy) не меньше произведения (acuvx + bcuxy + advxy + bduvy)(acx + bcu + adv + bdy). Докажите это.

295. Сечения выпуклого многогранника тремя параллельными плоскостями p0, p1 и p2, где p1 расположена между p0 и p2 на одинаковом расстоянии h от той и другой, имеют площади S0, S1 и S2 соответственно. Между p0 и p1 нет ни одной вершины многогранника.

а) Докажите, что квадратный корень из S1 не меньше среднего арифметического квадратных корней из S0 и S2.

б) Когда неравенство пункта а) обращается в равенство?

в) Найдите площадь St сечения многогранника плоскостью, параллельной плоскости p0 и расположенной на расстоянии th от p0 и на расстоянии (2 – t)h от p2. (Разумеется, 0 £ t £ 2.)

г) Найдите объём части многогранника, заключённой между плоскостями p0 и p0.

296. В таблицу n×n записаны n2 чисел, сумма которых неотрицательна. Докажите, что можно переставить столбцы таблицы так, что сумма n чисел по диагонали, идущей из левого нижнего угла в правый верхний, будет неотрицательна.

297. На плоскости заданы 12 точек, являющихся вершинами квадратов A1B1A2C1, A2C2A3B2, A3B3A4C3 и A4C4A1B4 (вершины каждого квадрата перечислены по часовой стрелке). Докажите, что B1B2B3B4 и C1C2C3C4 — конгруэнтные параллелограммы, один из которых получается из другого поворотом на 90° (эти параллелограммы могут быть вырожденными: четыре вершины каждого из них в этом случае лежат на одной прямой).

298. Запишем все несократимые дроби pq, где 0 £ p £ q £ m, в порядке возрастания (m — данное натуральное число). Например, при m = 5 получим последовательность 0⁄1, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 1⁄1. Докажите для любых двух соседних дробей pq < rs такой последовательности равенство qr – ps = 1.

299. При каких n правильный n-угольник можно разместить на листе бумаги в линейку так, чтобы все вершины лежали на линиях? (Линии — параллельные прямые, расположенные на одинаковых расстояниях друг от друга.)

300. Алфавит состоит из трёх букв: a, b, c. Назовём словом последовательность любой длины, состоящую из этих букв. При образовании слов некоторые буквосочетания (из двух и более букв) запрещены. Докажите, что если в списке запрещённых буквосочетаний все слова разной длины, то существует сколь угодно длинное слово, не содержащее запрещённых буквосочетаний.

1975 год

301. На плоскости заданы 2n точек — синих и красных, причём никакие три точки не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести n отрезков так, что у каждого отрезка один конец — синяя точка, другой — красная, а никакие два отрезка не пересекаются.

302. Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD с основаниями AB и CD, а точки A' и B' симметричны соответственно точкам A и B относительно биссектрисы угла AOB. Докажите равенство углов ACA' и BDB'.

303. Прямоугольник размером 300×1000 разрезан на квадраты 1×1, и в некоторых 30 вершинах квадратов помещены одинаковые гирьки. Докажите, что можно выбрать две непересекающиеся группы гирек — не более чем по 10 в каждой — так, что их центры тяжести совпадут.

304. Будем обозначать звёздочкой некоторую операцию, применимую к любым двум целым неотрицательным числам a и b и дающую в результате тоже целое неотрицательное число a  b. Пусть операция  удовлетворяет следующим условиям:

  • a b = b a;
  • если a  b = c, то b  c = a;
  • если a b > c, то b + c < a или a c < b.

а) Найдите 0  0, 0  1, 1  1 и 0  2.

б) Докажите равенство 0  a = a и докажите, что 1  a = a + 1, если a чётно, и a – 1, если a нечётно.

в) Существует не более чем одна такая операция. Докажите это.

г) Такая операция существует. Докажите это и укажите правило, позволяющее по заданным a и b вычислять a  b.

305. а) На хордах AB и A'B' окружности выбрано по точке C и C' так, что прямые AA', BB' и CC' пересекаются в одной точке P. Обозначим AP · PA' = t, AC · CB = s, A'C' · C'B' = S, CP = q, C'P = Q. Докажите, что если q то квадратный корень из отношения S ⁄ s равен отношению Q ⁄ q, S ⁄ s, отношению (S + Q2) ⁄ t и отношению t ⁄ (q2 + s).

б) Через точку P, не лежащую на данной сфере, и каждую точку некоторой окружности, лежащей на этой сфере, проведена прямая. Докажите, что вторые точки пересечения проведённых прямых со сферой также лежат на некоторой окружности.

Замечание. Пункт б) можно решить при помощи утверждения пункта а), поэтому они и объединены под одним номером. Подумайте, однако, как решить пункт б) при помощи инверсии.

306. Из шахматной доски удалена одна угловая клетка. На какое наименьшее число равновеликих (одинаковых по площади) треугольников можно разрезать оставшуюся часть доски?

307. Плоскость разбита на одинаковые шестиугольные комнаты. В некоторых стенах проделаны двери так, что для любой вершины, в которой сходятся три стены (стороны шестиугольников), двери имеются ровно в двух стенах. Докажите, что любой замкнутый путь по такому лабиринту проходит через чётное число дверей.

308. Если при любом x сумма чисел a1cos x, a2cos 2x,..., ancos nx больше или равна –1, то сумма a1 + a2 + ... + an не превышает n. Докажите это утверждение для а) n = 2; б) n = 3; в) любого натурального n.

309. а) При каких n многочлен x2n + xn + 1 делится на x2 + x + 1?

б) При каких n на 37 делится число 100...00100...001, где как между первой и второй, так и между второй и третьей единицами стоит по n нулей?

310. Для любого натурального числа n среди n-значных чисел существует более 8n таких, в десятичной записи которых никакая группа цифр (в частности, никакая цифра) не встречается два раза подряд. Докажите это.

311. Из одной бактерии получилось 1000 следующим образом: вначале бактерия разделилась на две, затем одна из двух получившихся бактерий разделилась на две, затем одна из трёх получившихся бактерий разделилась на две и так далее. Докажите, что в некоторый момент существовала такая бактерия, число потомков которой среди 1000 бактерий, получившихся в конце, заключено между 334 и 667.

312. В параллелограмм вписан параллелограмм, в который вписан другой параллелограмм, причём стороны третьего параллелограмма соответственно параллельны сторонам первого. Докажите, что длина хотя бы одной стороны третьего параллелограмма не меньше половины длины соответствующей стороны первого.

313. Рассмотрим множество четвёртых вершин параллелограммов ONML, вершины N и L которых лежат на сторонах данного угла с вершиной O, а площадь равна данной величине. (Это множество — ветвь гиперболы.) Докажите, что на биссектрисе этого угла и на её продолжении существуют такие точки F1 и F2, что разность расстояний F1M и F2M одна и та же для всех точек M.

Можно доказать, что F1O = OF2 и существуют перпендикулярные биссектрисе данного угла такие прямые d1 и d2 (директрисы гиперболы), что отношение длины отрезка F1M (или F2M) к расстоянию от точки M до прямой d1 (соответственно, d2) одно и то же для всех точек M.

314. Среди всех 9-значных чисел, в десятичной записи которых нет цифры 0, найдите такое, для которого разность между самим числом и произведением его цифр а) наименьшая; б) наибольшая.

в) Каков ответ для n-значных чисел при любом n?

315. На каждом ребре выпуклого многогранника поставлена стрелка так, что в каждую вершину многогранника входит и из каждой выходит хотя бы одна стрелка. Докажите, что существуют по крайней мере две грани многогранника, каждую из которых можно обойти по периметру, двигаясь в соответствии с направлениями стрелок на её сторонах.

316. а) Сумма квадратов k последовательных натуральных чисел не может быть квадратом целого числа, если k равно 3, 5, 7 или 9. Докажите это.

б) Придумайте 11 последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых есть квадрат целого числа.

317. На некоторой планете каждая страна граничит не более чем с 7 другими. В каждой стране имеется запас золота. Требуется распределить золото так, чтобы каждые две страны, граничащие друг с другом, отличались по количеству золота не более чем в 13 раз. Докажите, что распределение золота можно организовать так, чтобы каждая страна лишилась не более половины имевшегося у неё золота.

318. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и CE. Докажите, что CE · AB = AD · BC тогда и только тогда, когда AB = BC или величина угла ABC равна 60°.

319. На плоскости заданы окружность γ и точка P внутри неё. Рассмотрим тетраэдры ABCD, у каждого из которых все грани равны, причём треугольник ABC вписан в окружность γ так, что его медианы пересекаются в точке P.

а) При каком положении точки P внутри γ такие тетраэдры существуют?

б) Докажите, что вершина D любого такого тетраэдра расположена в одной из двух фиксированных точек пространства (симметричных относительно данной плоскости).

320. Какие выпуклые n-угольники можно разбить на треугольники так, чтобы никакие два из треугольников разбиения не имели общих (полностью совпадающих) сторон? (На рисунке показано, что треугольник так разбить можно.)

321. Для любого прямоугольного стола и для любого положительного числа ε можно указать такую систему покрывающих этот стол прямоугольных салфеток, края которых параллельны краям стола, что любая её подсистема, состоящая из неперекрывающихся салфеток, имеет площадь, меньшую ε.

322. а) Фигура, состоящая более, чем из одной точки, является пересечением N кругов. Докажите, что границу этой фигуры можно представить в виде объединения 2N – 2 дуг окружностей.

б) В алфавите N букв. Несколько букв выписано по окружности так, что никакая буква не встречается два раза подряд и для любых двух различных букв a и b можно провести прямую так, что все буквы a будут по одну сторону от прямой, а буквы b — по другую. Докажите, что выписано не более 2N – 2 букв.

323. Любую функцию, определённую на всей числовой прямой, можно представить в виде суммы двух функций, график каждой из которых имеет центр симметрии. Докажите это.

324. Имеется несколько куч камней. Двое играют в игру, ход которой состоит в том, что игрок разбивает каждую кучу, состоящую более чем из одного камня, на две меньшие кучи. Ходы делают поочередно, пока во всех кучках не останется по одному камню. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. Как должен играть начинающий, если сначала в каждой кучке было от 80 до 120 камней?

325. В некотором треугольнике верхнее число равно 1, крайние числа в каждой строке — тоже 1, а каждое из остальных чисел не меньше суммы двух чисел, стоящих над ним (в частности, этому условию удовлетворяет треугольник Паскаля). Натуральное число a, большее 1, встретилось в этом треугольнике k раз. Докажите неравенство 2k < a2 .

326. Хорда окружности удалена от центра на расстояние h. В каждый из сегментов, стягиваемых хордой, вписано по квадрату так, что две соседние вершины квадрата лежат на дуге, две другие — на хорде. Чему равна разность длин сторон этих квадратов?

327. В компании n человек. Каждому из них нравятся ровно k человек из этой компании. При каком наименьшем k можно утверждать, что обязательно найдутся два человека из этой компании, нравящиеся друг другу?

328. По правильному тетраэдру ползают два паука и муха. Муха ползает только по рёбрам, а пауки — по всей поверхности. Максимальная скорость мухи в 2 раза больше максимальной скорости пауков.

а) Докажите, что при любом начальном расположении пауки могут поймать муху.

б) Верно ли это, если максимальная скорость мухи более чем в 2 раза превосходит максимальную скорость пауков?

в) Как изменится ответ, если разрешить паукам ползать только по рёбрам тетраэдра? по всему объёму тетраэдра?

329. Среди вершин любого выпуклого n-угольника, расположенного внутри квадрата со стороной 1, обязательно есть такие три вершины, что площадь треугольника с вершинами в них меньше числа 8 ⁄ n2 . Докажите это.

330. На плоскости расположены два выпуклых многоугольника M0 и M1. Обозначим буквой M множество середин отрезков, один конец каждого из которых принадлежит M0, а другой — M1. Докажите, что M — выпуклый многоугольник.

а) Сколько сторон может иметь M, если M0 имеет n0, а M1 — n1 сторон?

б) Каким может быть периметр многоугольника M, если периметр M0 равен P0, а периметр M1 равен P1?

в) Какой может быть площадь многоугольника M, если площадь многоугольника M0 равна S0, а площадь M1 равна S1?

331. а) Треугольник A'B'C' получен из треугольника ABC поворотом вокруг центра описанной окружности на некоторый угол, меньший 180°. Докажите, что точки пересечения пар прямых: AB и A'B', BC и B'C', CA и C'A' — являются вершинами треугольника, подобного треугольнику ABC.

б) Четырёхугольник A'B'C'D' получен из вписанного в окружность четырёхугольника ABCD поворотом вокруг центра окружности на угол, меньший 180°. Докажите, что точки пересечения соответствующих прямых: AB и A'B', BC и B'C', CD и C'D', DA и D'A' — являются вершинами параллелограмма.

332. При каких k можно составить куб с ребром k из белых и чёрных единичных кубиков так, чтобы для каждого кубика ровно два из его соседей были бы того же цвета, что и сам кубик? (Два кубика считаем соседними, если они имеют общую грань.)

333. Три мухи ползают по сторонам треугольника АВС так, что центр тяжести образуемого ими треугольника остаётся на одном месте. Докажите, что он совпадаёт с центром тяжести треугольника АВС, если известно, что одна из мух проползла по всей границе треугольника. (Центр тяжести треугольника — это точка пересечения его медиан.)

334. Дан многочлен P с а) натуральными; б) целыми коэффициентами. Для каждого натурального числа n обозначим сумму цифр десятичной записи числа |P(n)| через an. Докажите существование числа, которое встречается в последовательности a1, a2, a3, ... бесконечно много раз.

335. а) В квадрате размером 7×7 клеток отмечены центры k клеток. При этом никакие четыре отмеченные точки не являются вершинами прямоугольника со сторонами, параллельными сторонам квадрата. При каком наибольшем k это возможно?

б) Решите ту же задачу для квадрата размером 13×13 клеток.

336. На плоскости дано конечное множество многоугольников, каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что существует прямая, которая имеет общую точку с каждым из этих многоугольников.

337. Дан равносторонний треугольник АВС со стороной 1. Первый игрок выбирает точку Х на стороне АВ, второй — точку Y на стороне ВС, затем первый — точку Z на стороне AC.

а) Цель первого игрока — получить треугольник XYZ как можно большей площади, второго — как можно меньшей площади. Какую наибольшую площадь может обеспечить первый?

б) Цель первого игрока — получить треугольник XYZ как можно меньшего периметра, второго — как можно большего периметра. Какой наименьший периметр может обеспечить первый?

338. На доске написано несколько нулей, единиц и двоек. Разрешено стереть две неравные цифры и вместо них написать одну цифру, отличную от стёртых (2 вместо 0 и 1, 1 вместо 0 и 2, 0 вместо 1 и 2). Докажите, что если в результате нескольких таких операций на доске останется одна-единственная цифра, то она не зависит от порядка, в котором производились стирания.

339. Дана горизонтальная полоса на плоскости, края которой — параллельные прямые, и n прямых, пересекающих эту полосу. Каждые две из этих n прямых пересекаются внутри полосы; никакие три не проходят через одну точку. Рассмотрим все пути, начинающиеся на нижней кромке полосы, идущие по данным прямым и заканчивающиеся на верхней кромке, обладающие такими свойствами: идя по такому пути, мы всё время поднимаемся вверх; дойдя до точки пересечения прямых, мы обязаны перейти на другую прямую. Докажите, что среди таких путей есть путь,

а) состоящий не менее чем из n отрезков;

б) проходящий не более чем по n⁄2 + 1 прямым;

в) проходящий по всем n прямым.

340. В каждую клетку прямоугольной таблицы записано вещественное число. Некоторую клетку таблицы называем её седловой клеткой, если стоящее в ней число не меньше остальных чисел её столбца и не больше остальных чисел её строки.

а) Пусть про таблицу T известно, что любая таблица размером 2×2, получающаяся в пересечении двух столбцов и двух строк таблицы T, имеет седловую клетку. Докажите, что тогда таблица Т также имеет седловую клетку.

б) Пусть a1, a2,..., am, b1, b2,..., bn — произвольные числа, p1, p2,..., pm, q1, q2,..., qn — положительные числа. Докажите, что таблица размером m×n, на пересечении i-й строки и j-го столбца которой стоит число (ai + bj) ⁄ (pi + qj), имеет седловую клетку.

Одно из решений пункта б) можно получить, используя пункт а). Подумайте, однако, как можно решить эту задачу другим способом.

341. В чемпионате мира участвуют 20 команд. Среди них k европейских команд, результаты встреч между которыми на чемпионате мира идут в зачёт чемпионата Европы. Чемпионат проводится в один круг. При каком наибольшем k может оказаться, что европейская команда, набравшая строго наибольшее количество очков в чемпионате Европы, наберёт строго наименьшее количество очков в чемпионате мира, если это чемпионат по а) хоккею (допускаются ничьи); б) волейболу (ничьих не бывает)? Каковы ответы на эти вопросы, если команд не 20, а n?

342. а) Из цифр 1 и 2 можно составить 2n+1 чисел, каждое из которых 2n-значно и каждые два из которых различаются не менее чем в 2n–1 разрядах. Докажите это.

б) Более 2n+1 таких 2n-значных чисел составить нельзя. Докажите это.

343. В некотором государстве города соединены дорогами. Длина любой дороги меньше 500 км, и из любого города в любой другой можно попасть, проехав по дорогам менее 500 км. Когда одну дорогу закрыли на ремонт, выяснилось, что из любого города можно проехать в любой другой по оставшимся дорогам. Докажите, что это можно сделать, проехав не более 1500 км.

344. На шахматной доске отмечены центры всех 64 полей. Можно ли провести на доске 13 прямых так, чтобы в каждой из частей, на которые эти прямые делят доску, оказалось не более одной отмеченной точки? (Прямые не должны проходить через центры полей.)

345. В последовательности 197523... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр. Встретятся ли в этой последовательности подряд а) четыре цифры 1, 2, 3, 4; б) вторично цифры 1, 9, 7, 5; в) цифры 8, 1, 9, 7?

346. Точка K — середина стороны AB квадрата ABCD, а точка L делит диагональ AC в отношении 3 : 1. Докажите, что угол KLD прямой.

347. Двое играют в такую игру. Первый загадывает два числа от 1 до 25, а второй должен их угадать. Он может назвать любые два числа от 1 до 25 и узнать у первого, сколько из названных им чисел — 0, 1 или 2 — совпадают с загаданными. За какое минимальное число вопросов он сможет наверняка определить загаданные числа?

348. В таблицу размером 10×10 записаны числа от 1 до 100 по порядку. Затем в каждой строке и в каждом столбце ровно у половины чисел поставлен знак минус. Докажите, что сумма чисел полученной таблицы равна нулю.

349. Какому условию должны удовлетворять длины сторон треугольника, чтобы треугольник, составленный из а) высот; б) медиан; в) биссектрис данного треугольника, был подобен данному?

350. С белого углового поля шахматной доски размера n×m (числа n и m больше 1) начинает двигаться слон. Дойдя до края доски, слон поворачивает под прямым углом. Попав в угол, он останавливается.

а) При каких n и m слон обойдёт все белые поля доски?

б) Сколько всего полей он обойдёт на доске n×m?

Рассмотрите в качестве примеров доски размерами 10×15, 10×25 и 15×25.

351. Восстановите треугольник, если на плоскости отмечены три точки: O — центр описанной окружности, Р — центр тяжести и Н — основание одной из высот этого треугольника.

352. Целая часть тридцатой степени числа, являющегося суммой числа 45 и квадратного корня из 1975, является нечётным числом. Докажите это. Решение М352.

353. Пусть ABCD — произвольный тетраэдр. Докажите, что:

а) сумма величин всех двугранных углов тетраэдра, рёбрами которых являются AB, BC, CD и DA, меньше 360°;

б) сумма величин всех двугранных углов тетраэдра больше 360°, но меньше 540°;

в) сумма косинусов всех двугранных углов тетраэдра положительна и не превосходит 2, причём эта сумма равна 2 в том и только в том случае, когда все грани тетраэдра — равные треугольники;

г) если AB + CD = BD + DA, то сумма величин двугранных углов, рёбрами которых являются АВ и CD, равна сумме величин двугранных углов тетраэдра, рёбрами которых являются ВС и AD.

354. Можно ли расставить числа 1, 2, 3,..., 4n + 2 в вершинах и серединах сторон правильного (2n + 1)-угольника так, чтобы сумма трёх чисел, стоящих в концах и середине каждой стороны, была для всех сторон одинаковой? (Рассмотрите в качестве примеров случаи n = 3 или 8.)

355. N ребят перекидываются N мячами. В начале игры каждый из них бросает свой мяч кому-нибудь из своих товарищей и сам ловит брошенный кем-нибудь мяч (он может подбросить и поймать свой собственный мяч) так, что снова у всех оказывается по мячу. Затем ребята снова бросают мячи тем же, кому они бросали их в первый раз, и так далее. Игра останавливается, когда все мячи вернулись к своим владельцам (чтобы мячи не перепутались, будем считать их разноцветными). Докажите, что:

а) для любого участника мяч вернётся к нему не более чем через N бросаний;

б) игра обязательно закончится;

в) для 5, 10 и 15 участников она может закончиться самое большее через соответственно 6, 30 и 105 бросаний (а какова максимально возможная длительность игры для N = 7, 8 или 20?);

г) длительность игры является делителем числа N! = 1 · 2 · ... · N;

д) длительность игры не может превышать числа 3N/3.

356. Из точки M, взятой внутри треугольника A1B1C1, опущены перпендикуляры MA2, MB2 и MC2 на прямые B1C1, A1C1 и A1B1 соответственно. Затем из той же точки M опущены перпендикуляры MA3, MB3 и MC3 на прямые B2C2, A2C2 и A2B2, и так далее. Докажите, что треугольник A4B4C4 подобен треугольнику A1B1C1 и, следовательно, для любого натурального n треугольник A3n+1B3n+1C3n+1 подобен треугольнику A1B1C1.

357. Если x + 1⁄y = y + 1⁄z = z + 1⁄x, то x = y = z или x2y2z2 = 1. Докажите это.

358. В любом многоугольнике, кроме треугольника, есть хотя бы одна диагональ, целиком лежащая внутри него. Докажите это. Для каждого n выясните, какое наименьшее число таких диагоналей может иметь n-угольник.

359. Маленький шарик движется внутри биллиарда, имеющего форму эллипса с фокусами A и B, упруго отражаясь от его бортов, по ломаной P1P2P3P4..., где P1, P2, P3, P4, ... — точки эллипса. Докажите, что если звено P1P2 не пересекает отрезок AB, то

а) ни одно из следующих звеньев P2P3, P3P4, P4P5, ... не пересекает отрезок AB;

б) все эти звенья касаются одного и того же эллипса. (Подумайте, как построить этот эллипс.)

360. Последовательность a1, a2, a3,... обладает тем свойством, что |a1 | = 1 и |ak+1 | = |ak + 1| для любого натурального k. Найдите наименьшее возможное значение суммы |a1 + a2 +... + an|, если а) n = 1975; б) n = 1976.

1976 год

361. Двое играют в следующую игру. Сначала на клетчатой бумаге выделяют прямоугольник размером m×n клеток. Ходят по очереди. Каждым ходом игрок вычёркивает все клетки какого-то горизонтального или вертикального ряда, в котором ещё остались невычеркнутые клетки. Побеждает тот, кто делает последний ход, то есть вычёркивает последние клетки. Кто может обеспечить себе выигрыш: начинающий или его партнёр? (Ответ, конечно, зависит от m и n).

362. Разделим каждую сторону выпуклого четырёхугольника ABCD на три равные части и соединим отрезками соответствующие точки на противоположных сторонах. Докажите, что площадь «среднего» четырёхугольника в 9 раз меньше площади четырёхугольника ABCD.

363. Две параболы с параллельными осями пересекаются в точках A0 и B0. На первой параболе взяты точки A1, A2,..., A2n, а на второй — точки B1, B2,..., B2n так, что прямая AkAk+1 параллельна прямой BkBk+1 для любого целого неотрицательного числа k < 2n. Докажите, что прямая A0B2n параллельна прямой B0A2n.

364. Из 16 космонавтов нужно выбрать 4-х — экипаж космического корабля. Тренировки проводятся с 4-мя экипажами по 4 человека в каждом. Можно ли составить расписание тренировок таким образом, чтобы любые два космонавта побывали в одном экипаже ровно один раз?

365. а) Сумма нескольких чисел равна единице. Может ли сумма их кубов быть больше единицы?

б) Тот же вопрос для чисел, каждое из которых меньше единицы.

в) Может ли случиться, что некоторый ряд a1 + a2 + a3 + ... сходится, а ряд a13 + a23 + a33 + ..., образованный кубами его членов, расходится?

Ряд x1 + x2 + x3 + ... называют сходящимся, если последовательность его частичных сумм Sn = x1 + x2 + ... + xn стремится к некоторому конечному пределу.

366. Можно ли расположить на плоскости несколько треугольников так, чтобы две вершины каждого из них лежали на сторонах (но не в вершинах) других треугольников?

367. Может ли произведение а) трёх; б) четырёх последовательных натуральных чисел равняться некоторой степени некоторого натурального числа (квадрату, кубу,...)?

368. Пересечение трёх прямых круговых цилиндров, оси которых взаимно перпендикулярны (но не обязательно пересекаются), а радиусы равны 1, содержится в некотором шаре, радиус которого равен квадратному корню из числа 1,5. Докажите это.

369. Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Окружность с центром H лежит внутри треугольника. Постройте треугольник A'B'C', описанный около неё и вписанный в треугольник ABC.

370. Рассмотрим тройку неотрицательных чисел: a, bc. Рассмотрим абсолютные величины разностей этих чисел: ½ab½, ½bc½,½ca½. Затем из этой тройки по тому же правилу образуем следующую, затем следующую и так далее. Обязательно ли среди полученных таким образом чисел встретится 0, если исходные числа а) целые; б) действительные?

371. В каждой клетке шахматной доски написано целое число от 1 до 64, причём в разных клетках — разные числа. За один вопрос можно, указав любое множество полей, узнать множество чисел, стоящих на этих полях. За какое наименьшее число вопросов можно узнать числа во всех клетках?

372. Дан треугольник ABC. Докажите, что величина угла ACB не меньше 120° в том и только том случае, когда для любой точки P сумма длин отрезков AP, BP и CP не меньше суммы длин отрезков AC и BC.

373. а) Все натуральные числа (записанные в десятичной системе) разбиты на два класса. Докажите, что любую бесконечную десятичную дробь можно разрезать на такие конечные куски, чтобы все они, кроме, быть может, первого куска, принадлежали одному классу.

б) Та же задача, но натуральные числа разбиты не на два, а на несколько классов.

374. Числа a, b, c — положительные, a > c и b > c. Докажите, что сумма квадратных корней из чисел c(a – c) и c(b – c) не превосходит квадратного корня из числа ab.

375. Внутри выпуклого многогранника объёмом 1 отмечены 3(2n – 1) точки. Докажите, что из него можно вырезать выпуклый многогранник объёмом 1 ⁄ 2n, не содержащий внутри себя ни одной отмеченной точки.

376. а) В ряд расположено 30 клеток. На самой правой клетке стоит белая фишка, на самой левой — чёрная. Каждый из двух играющих по очереди передвигает свою фишку на одно поле — вперёд или назад. (Пропускать ход нельзя.) Проигравший — тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает: начинающий или его партнёр?

б) Решите задачу, заменив в условии 30 на n.

377. Дан треугольник АВС. Найдите на стороне АС такую точку D, чтобы периметр треугольника АВD равнялся длине стороны ВС.

378. Существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде а) x3 + y3 + z3, где x, y, z — целые числа; б) x1n + x2n + ... + xnn, где x1, x2,..., xn — целые числа. Докажите это.

в) Любое рациональное число представимо в виде суммы кубов трёх рациональных чисел. Докажите это.

379. На каждом из нескольких кусков бумаги произвольной формы поставлена клякса (произвольной формы). Назовём промокашку подходящей для данного куска, если её можно разместить внутри этого куска так, что она закроет кляксу. Пусть набор промокашек, имеющих форму кругов разных радиусов, обладает таким свойством: для любых двух данных кусков найдётся промокашка, подходящая для каждого из них. Докажите, что тогда в этом наборе найдётся одна промокашка, подходящая для всех кусков.

380. а) На плоскости дана выпуклая фигура и внутри неё — точка O. К каждой прямой l, проходящей через точку О, проведём перпендикуляр в точке О и на нём по обе стороны от точки О отложим два равных отрезка, длины которых равны длине отрезка, получающегося при пересечении данной фигуры с прямой l. Объединение всех этих отрезков — новая фигура с центром симметрии О. Будет ли полученная фигура выпуклой?

б) В пространстве дано выпуклое центрально-симметричное тело с центром O. К каждой плоскости α, проходящей через точку O, проведём перпендикуляр в точке O и на нём по обе стороны от точки O отложим два отрезка, длины которых равны площади сечения данного тела плоскостью α. Объединение всех этих отрезков — новое тело с тем же центром симметрии О. Докажите, что полученное тело тоже выпуклое.

381. 6 активистов класса образовали 30 различных комиссий. Каждые две комиссии отличаются составом, но обязательно «пересекаются», то есть имеют общего члена. Докажите, что можно образовать ещё одну комиссию, пересекающуюся с каждой из этих 30 комиссий.

382. Если ни одно из значений многочлена с целыми коэффициентами в нескольких последовательных целых точках не делится на количество этих целых точек, то многочлен не имеет ни одного рационального корня. Докажите это.

383. Если произведение двух натуральных чисел чётно, то сумму их квадратов можно представить в виде разности квадратов натуральных чисел, а если нечётно, то нельзя. Докажите это.

384. Если квадраты OABC и OA'B'C' одинаково ориентированы, то прямые AA', BB' и CC' проходят через одну точку. Докажите это. (Два многоугольника называем одинаково ориентированными, если обход одного из них происходит в ту же сторону, что аналогичный обход другого, то есть оба по часовой стрелке или оба — против.)

385. На клетчатой бумаге нарисован выпуклый многоугольник с вершинами в узлах (то есть углах клеток). Выберем какую-нибудь вершину O многоугольника F и обозначим через nF многоугольник, полученный из F растяжением в n раз относительно точки O (число n — натуральное). Обозначим через N(F) количество узлов, которые лежат внутри или на границе F, а через M(F) — количество узлов, лежащих на границе многоугольника F. Через S(F) обозначим площадь многоугольника F (площадь одной клетки равна 1). Докажите, что

а) N(nF) является многочленом от n;

б) 2S(F) = N(2F) – 2N(F) + 1;

в) S(F) = N(F) – M(F) ⁄ 2 +1;

г) для любых двух выпуклых многоугольников F и G с вершинами в узлах N(nF + mG) является многочленом от m и n (имеется в виду сумма Минковского, о которой рассказано, например, в статье Н.Б. Васильева «Сложение фигур» в «Кванте» номер 4 за 1976 год). В трёхмерном пространстве рассмотрим выпуклый многогранник F, координаты всех вершин которого целые. Обозначим через nF многогранник, полученный из F гомотетией с коэффициентом n и центром в начале координат; через N(F) — количество точек с целыми координатами, расположенных внутри или на границе многогранника F; M(F) — количество точек с целыми координатами, расположенных на границе многогранника; V(F) — объём многогранника.

д) Не существует формулы, которая выражает V(F) через N(F) и M(F). Докажите это.

е) Придумайте формулу, которая (для некоторого k) выражает V(F) через N(F), N(2F),..., N(kF).

ж) Придумайте формулу, выражающую V(F) через N(F), N(2F), M(F) и M(2F).

з) Докажите формулы, полученные при решении пунктов е) и ж).

и) N(nF) является многочленом от n. Докажите это.

386. Квадратная комната разгорожена перегородками на несколько меньших квадратных комнат. Длина стороны каждой комнаты — целое число. Докажите, что сумма длин всех перегородок делится на 4.

387. Существует ли такое натуральное число, что если приписать его само к себе, то получится точный квадрат?

388. а) На плоскости отмечено конечное число точек. Докажите, что среди них найдётся точка, у которой не более трёх ближайших (то есть находящихся на наименьшем от нее расстоянии; таких точек, вообще говоря, может быть несколько).

б) Существует ли на плоскости конечное множество точек, у каждой из которых в этом множестве ровно три ближайших?

389. Можно ли бесконечный лист клетчатой бумаги разбить на «доминошки» (каждая доминошка покрывает две клетки) так, чтобы каждая прямая, идущая по линии сетки, разрезала пополам лишь конечное число доминошек?

390. Существует бесконечно много таких натуральных чисел n, что сумма цифр десятичной записи числа 2n больше суммы цифр десятичной записи числа 2n + 1. Докажите это.

391. а) В последовательности x0, x1, x2, ... числа x0 и x1 — натуральные и меньшие 1000, а каждое следующее вычисляем по формуле xn+2 = |xn+1 – xn|. Докажите, что хотя бы один из первых 1 500 членов последовательности равен 0.

б) В последовательности y0, y1, y2, ... числа y0 и y1 — натуральные и меньшие 100 00, а каждое следующее равно наименьшей из абсолютных величин разностей некоторых двух предыдущих чисел. Докажите равенство x20 = 0.

392. По трём прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.

393. Найдите сумму f (0) + f (1 ⁄ n) + f (2 ⁄ n) + ... + f (n – 1 ⁄ n) + f (1), где f (x) = 4x⁄ (4x + 2).

394. а) На плоскости даны четыре вектора, сумма которых равна нулю. Рассмотрим суммы первого из них с каждым из остальных трёх, вычислим длины полученных сумм. Докажите, что сумма длин полученных трёх векторов не меньше суммы длин исходных четырёх векторов.

Докажите аналогичное неравенство для б) четырёх чисел, сумма которых равна нулю; в) четырёх векторов трёхмерного пространства, сумма которых равна нулю.

395. В вершинах правильного n-угольника с центром в точке O расставлены числа 1 и –1. За один шаг разрешено изменить знак у всех чисел, стоящих в вершинах правильного k-угольника с центром O (при этом разрешены и «двуугольники» — отрезки с серединой в точке O). Докажите существование такого первоначального расположения единиц и минус единиц, что из него ни за какое число шагов нельзя невозможно получить набор из одних только 1, при а) n = 15; б) n = 30; в) n — любое натуральное число, n > 2.

г) Выясните для произвольного n, сколько существует типов расстановок, то есть каково наибольшее количество элементов в множестве расстановок чисел 1 и –1, ни одну из которых нельзя получить ни из какой другой расстановки этого множества при помощи интересующих нас операций. Например, докажите, что для n = 2100 существует 2480 таких расстановок.

396. Треугольник, все стороны которого больше 1, назовём большим. Докажите, что а) из треугольника Δ, длины всех сторон которого равны 5, можно вырезать 1000 больших треугольников; б) треугольник Δ можно разрезать на 1000 больших треугольников; в) треугольник Δ можно триангулировать на 1000 больших треугольников, то есть разбить его так, чтобы любые два треугольника либо не имели общих точек, либо имели только общую вершину, либо имели общую сторону; г) решите пункты б)и в) для равностороннего треугольника со стороной длины 3.

397. На плоскости даны три окружности одинакового радиуса. Докажите, что если они а) пересекаются в одной точке, как показано на левом рисунке, то сумма величин отмеченных дуг AK, CK и EK равна 180°; б) расположены так, как показано на правом рисунке, то сумма величин отмеченных дуг AB, CD и EF равна 180°.

398. На окружности расположены n чисел, сумма которых равна нулю. Одно из этих чисел равно 1.

а) Существуют соседние числа, различающиеся не менее чем на 4⁄n. Докажите это.

б) Если n > 2, то хотя бы одно из чисел отличается от среднего арифметического своих соседей не менее чем на 8⁄n2. Докажите это.

в) Оценку, предложенную в предыдущем пункте, можно улучшить — заменить в ней число 8 каким-нибудь большим числом так, чтобы утверждение этой задачи по-прежнему выполнялось для всех натуральных чисел.

г) Докажите, что для n = 30 на окружности есть число, отличающееся от среднего арифметического двух своих соседей не менее чем на 2⁄113. Приведите пример набора 30 чисел на окружности, в котором ни одно число не отличается от среднего арифметического двух своих соседей более чем на 2⁄113.

д) Найдите точную оценку разности между числом и средним арифметическим его соседей для любого n > 2.

399. На отрезке длиной 7 можно расставить 5 точек так, чтобы для любого m = 1, 2, 3,..., 7 нашлись две отмеченные точки на расстоянии m. Обозначим через k наименьшее количество точек, которые нужно поставить на отрезке длиной n так, чтобы для любого натурального m £ n, нашлись две отмеченные точки на расстоянии m.

а) Найдите k для n = 1, 2, 3,..., 13.

б) Докажите неравенства 8n + 1 £ (2k – 1)2 и (k + 1)2 £ 4n + 5.

400. Последовательность натуральных чисел a1, a2,..., ak назовём универсальной для данного n, если из неё можно получить вычёркиванием части членов любую перестановку чисел от 1 до n, то есть любую последовательность из n чисел, в которую каждое из чисел от 1 до n входит по одному разу. Приведите пример универсальной последовательности из а) n2; б) n2 – n + 1 членов.

в) Любая универсальная последовательность состоит не менее чем из n(n + 1) ⁄ 2 членов. Докажите это.

г) При n = 4 кратчайшая универсальная последовательность состоит из 12 членов. Докажите это.

д) Для каждого натурального n постарайтесь указать как можно более короткую универсальную последовательность.

401. Внутри остроугольного треугольника ABC расположена такая точка P, что величины углов APB, BPC и CPA на 60° больше соответственно величин углов ACB, BAC и CBA. Докажите, что точки пересечения продолжений отрезков АР, ВР, СР (за точку Р) с окружностью, описанной вокруг треугольника АВС, лежат в вершинах равностороннего треугольника.

402. Строго возрастающая последовательность a1, a2, a3, ... целых неотрицательных чисел, для каждых натуральных m и n удовлетворяющая равенству amn = am + an, не существует. Докажите это.

403. Если в выпуклом многограннике из каждой вершины выходит чётное число рёбер, то любое сечение плоскостью, не проходящей ни через одну из вершин, является многоугольником с чётным числом сторон. Докажите это.

404. На полке стоят первые n томов энциклопедии, где n > 3. Позволено взять любые три рядом стоящих тома и поставить их между любыми двумя томами или же в начало или в конец ряда, не меняя при этом порядка этих трёх томов. Всегда ли можно, применив несколько раз указанную операцию, расставить их в порядке возрастания номеров томов (независимо от первоначальной расстановки томов)?

405. На шахматной доске размером 99×99 отмечена фигура Ф. В каждой клетке фигуры Ф сидит жук. В какой-то момент жуки взлетели и сели снова в клетки той же фигуры Ф; при этом в одну клетку могли сесть несколько жуков. После перелёта любые два жука, занимавшие соседние клетки, оказались снова в соседних клетках или попали на одну клетку. (Соседними называем клетки, имеющие общую сторону или общую вершину.)

а) Пусть Ф — «центральный крест». Докажите, что в таком случае какой-то жук вернулся на место или перелетел на соседнюю клетку.

б) Верно ли это утверждение, если Ф — «оконная рама»?

в) А если Ф — вся доска?

406. Квадрат ABCD вписан в окружность радиуса R. Докажите для любой точки M этой окружности равенство AM4 + BM4 + CM4 + DM4 = 24R4.

407. m и n — натуральные числа, причём n > m. Докажите, что n представимо в виде суммы двух натуральных чисел, одно из которых — делитель числа m, а другое взаимно просто с ним, то есть не имеет с m ни одного общего делителя, кроме единицы. Решение М407.

408. Из 30 равных прямоугольников составлен прямоугольник, подобный исходным. Каким может быть отношение длин сторон этого прямоугольника?

409. В строку подряд написано 1000 чисел. Под каждым числом a первой строки напишем число, указывающее, сколько раз число a встречается в первой строке. Из полученной таким образом второй строки аналогично получаем третью: под каждым числом второй строки пишем, сколько раз оно встречается во второй строке. Затем из третьей строки так же получаем четвёртую, из четвёртой — пятую, и так далее.

а) Докажите, что некоторая строчка совпадает со следующей.

б) Докажите, что 11-я строка совпадает с 12-й.

в) Приведите пример такой первоначальной строчки, для которой 10-я строка не совпадает с 11-й.

410. На сфере с радиусом 1 проведена окружность большого круга, которую мы будем называть экватором. Будем использовать и другие географические термины: полюс, меридиан, параллель.

а) Зададим на этой сфере функцию f, значение которой в каждой данной точке M равно квадрату расстояния от M до плоскости экватора. Проверьте для любых трёх концов X, Y, Z трёх взаимно перпендикулярных радиусов сферы равенство f (X) + f (Y) + f (Z) = 1.     ()

В следующих пунктах f — произвольная неотрицательная функция на сфере, которая равна 0 во всех точках экватора и обладает свойством ().

б) Пусть M и N — точки одного меридиана, расположенные между северным полюсом и экватором. Докажите, что если точка M расположена дальше от плоскости экватора, чем N, то f (M³ f (N).

в) Докажите, что функция f совпадает с функцией, описанной в пункте а).

411. Три отрезка с концами на сторонах треугольника, параллельные его сторонам, проходят через одну точку и имеют одинаковую длину х. Выразите х через длины a, b и c сторон треугольника.

412. В городе на каждую площадь выходит не менее трёх улиц. На всех улицах введено одностороннее движение так, что с любой площади можно проехать на любую другую. Докажите, что можно запретить движение по одной из улиц (на участке между двумя площадями) так, что по-прежнему с любой площади можно будет проехать на другую.

413. Для каких положительных чисел a верно следующее утверждение: для любой функции f, определённой на отрезке [0; 1], непрерывной в каждой точке этого отрезка и такой, что f (0) = f (1) = 0, уравнение f (x + a) = f (x) имеет решение?

а) Рассмотрите сначала случай a = 1⁄2.

б) Для a = 1⁄n, где n — натуральное число, докажите сформулированное утверждение.

в) Для остальных положительных a утверждение ложно. Докажите это.

При решении задачи может пригодиться такое свойство непрерывных функций: если функция g определена на отрезке [ab], непрерывна в каждой точке этого отрезка и на концах его принимает значения разных знаков, то между a и b найдётся такая точка c, что g (c) = 0.

414. а) Из пяти треугольников, отсекаемых от данного выпуклого пятиугольника его диагоналями, площади четырёх равны S, а площадь пятого — 3S ⁄ 2. Найдите площадь x этого пятиугольника.

б) Если S1, S2, S3, S4 и S5 — площади пяти таких треугольников, то x2 – (S1 + S2 + S3 + S4 + S5)x + S1S2 + S2S3 + S3S4 + S4S5 + S5S1 = 0.

415. Какое наибольшее число королей можно расставить на торической шахматной доске n×n, чтобы они не били один другого? Торическую шахматную доску получаем из обычной доски, склеивая её верхнюю горизонталь с нижней, а левую вертикаль с правой. На торической доске с каждого поля король может пойти на любое из восьми соседних полей.

416. В пространстве даны n точек, никакие четыре из которых не лежат на одной прямой. Какое наибольшее число отрезков с концами в этих точках можно провести так, чтобы не получилось ни одного треугольника с вершинами в этих точках?

417. На поверхности куба с ребром 1 расположена замкнутая ломаная линия. На каждой грани куба находится по крайней мере одна её точка. Докажите, что длина ломаной не меньше 3 квадратных корней из двух.

418. Для любого натурального n докажите, что сумма обратных величин первых n натуральных чисел не меньше произведения числа n и разности корня n-й степени из n + 1 и числа 1 и не больше суммы числа 1 и произведения числа n на разность числа 1 и числа, обратного корню n-й степени из n.

419. В круге радиусом 16 расположены 650 точек. Докажите существование кольца с внутренним радиусом 2 и внешним радиусом 3, в котором лежат не менее 10 из данных точек.

420. а) Из дроби ab, где a ≠ 0, разрешено получить любую из трёх дробей (a – b)⁄b, (a + b)⁄b и ba. (В том числе при a £ 0; таким образом, мы рассматриваем дробь лишь как пару чисел, допуская в знаменатель ноль и отрицательные числа.) Можно ли такими преобразованиями из дроби 1⁄2 получить дробь 67⁄91?

б) Из пары дробей (abcd) разрешено получить любую из пар ((a + b)⁄b; (c + d)⁄d), ((a – b)⁄b; (c – d)⁄d), (badc) (в том числе при a = 0 или с = 0). Можно ли из пары дробей (1⁄2; 5⁄7) получить следующие пары: (1⁄3; 2⁄9), (1⁄4; 3⁄8), (4⁄5; 7⁄8), (5⁄19; 13⁄50) и (39⁄50; 60⁄77)?

в) Постарайтесь выяснить, какие вообще «дроби» (соответственно, пары «дробей» с возможно равными нулю знаменателями) можно получить из данных в пунктах а) и б).

1977 год

421. При каких натуральных m и n, где m £ n, можно закрасить некоторые клетки бесконечного листа клетчатой бумаги таким образом, чтобы любой прямоугольник размером m×n содержал ровно одну закрашенную клетку? (Начните с частных случаев m = 2 и n = 3, 4 или 5.)

422. Разбейте произвольный треугольник на семь равнобедренных треугольников, из которых три равны между собой.

423. Для любых вещественных чисел x, y и z докажите, что произведение (x2 + y2 – z2)(x2 + z2 – y2)(y2 + z2 – x2) не превосходит квадрата произведения (x + y – z)(x + z – y)(y + z – x). Докажите это.

424. Через каждую вершину тетраэдра проведена плоскость, содержащая центр окружности, описанной около противоположной грани, и перпендикулярная противоположной грани. Докажите, что эти четыре плоскости пересекаются в одной точке.

425. Существует ли такое натуральное n, что каждое рациональное число между нулём и единицей представимо в виде суммы n чисел, обратных натуральным?

1 2 3 4    ...   n – 1 n 2 3 4    ...   n – 1 n 1 3 4    ...   n – 1 n 1 2 4    ...   n – 1 n 1 2 3    ...   n – 1 n 1 2 3 4  ...   n – 1 n 1 2 3 4  ...   n – 1 n 1 2 3 4       n – 1 n 1 2 3 4    ... n – 1 n 1 2 3 4    ... n – 2 n 1 2 3 4    ... n – 2 n – 1

426. Таблица размером n×n заполнена числами от 1 до n, как показано на рисунке. При каких n в ней можно выбрать n клеток так, чтобы никакие две клетки не принадлежали одной строке или одному столбцу и чтобы все числа в выбранных клетках были разные?

427. Докажите следующие утверждения.

а) Существует такое нечётное число n, что ни для какого чётного k ни одно из чисел kk + 1, kkk + 1, kkkk + 1, kkkkk + 1, ... не делится на n.

б) Для любого натурального n существует такое натуральное k, что все члены последовательности kk + 1, kkk + 1, kkkk + 1, kkkkk + 1, ... делятся на n.

428. В олимпиаде участвуют (m – 1) · n + 1 человек. Докажите, что среди них найдутся m участников, попарно незнакомых между собой, либо найдётся участник, знакомый не менее чем с n участниками олимпиады. Останется ли верным утверждение задачи, если количество участников олимпиады уменьшится на единицу? (Отношение знакомства считаем симметричным: если Дутин знаком с Жутиным, то и Жутин знаком с Дутиным.)

429. а) Сколько решений имеет уравнение [x] – 1977{x} = 1978?

б) Если p не равно 0, то для любого q уравнение [x] + p{x} = q имеет [|p|] или [|p|] + 1 решений. Докажите это.

430. а) Любую выпуклую плоскую фигуру площади S можно поместить в прямоугольник площади 2S. Докажите это.

б) Любое выпуклое тело объёма V можно поместить в прямоугольный параллелепипeд объёма 6V. Докажите это.

431. В лесу растут деревья цилиндрической формы. Связисту нужно протянуть по лесу провод из точки А в точку В, расстояние между которыми равно l. Докажите, что для этой цели достаточно иметь провод длиной 1,6 l.

432. Существует ли натуральное число, сумма цифр десятичной записи квадрата которого равна а) 1977; б) 1978?

в) Какие натуральные числа являются суммами цифр десятичной записи квадрата целого числа?

433. Сторона ВС выпуклого пятиугольника ABCDE параллельна диагонали AD, сторона CD — диагонали ВЕ, сторона DE — диагонали AC, а сторона АЕ — диагонали BD. Докажите, что сторона АВ параллельна диагонали СЕ.

434. Для каждого натурального n представим сумму дробей вида 2k ⁄ k, где k = 1, 2, ..., n, в виде несократимой дроби p ⁄ q. Докажите следующие утверждения.

а) Все числа p1, p2, p3, ... чётные.

б) Если n > 3, то pn делится на 8.

в) Для любого натурального k существует такое n, что все числа pn, pn+1, pn+2, ... делятся на 2k.

435. В таблице размером m×n записаны действительные числа, в каждой клетке по числу. Пусть k £ m и l £ n. В каждом столбце подчеркнём k наибольших чисел, а в каждой строке — l наибольших чисел. Докажите, что по крайней мере kl чисел подчёркнуты дважды. Разберите случаи а) k = l = 2; б) k = l = 3; в) k и l — любые.

436. Даны 20 чисел a1, a2, a3,..., a10, b1, b2,..., b10. Докажите, что набор из 100 чисел (не обязательно различных), получаемых сложением одного из чисел ak с одним из чисел bm, можно так разбить на 10 подмножеств, по 10 чисел в каждом, чтобы сумма элементов подмножества была одна и та же для всех подмножеств.

437. Нечётное число, являющееся произведением n различных простых чисел, представимо в виде разности квадратов двух натуральных чисел ровно 2n–1 способами. Докажите это. (Например, число 5 · 13 можно представить двумя способами: 65 = 92 – 42 = 332 – 322.)

438. В данный сегмент вписываем всевозможные пары касающихся окружностей. Для каждой пары окружностей через точку касания проводим касающуюся их прямую. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.

439. а) Уравнение axk + bxl + cxm = 1, где a, b и c — действительные, а k, l и m — натуральные числа, имеет не более трёх положительных корней. Докажите это.

б) Уравнение, в левой части которого находится сумма n слагаемых вида axk, где k — натуральное число, а a — действительное число, имеет не более n положительных корней. Докажите это.

в) Уравнение axk(x + 1)p + bxl(x + 1)q + cxm(x + 1)r = 1, где a, b и c — действительные, а k, l, m, p, q и r — натуральные числа, имеет не более 14 положительных корней. Докажите это.

440. Куб 100×100×100 составлен из миллиона единичных кубиков. Назовём шампуром прямую, проходящую через центры кубиков и параллельную рёбрам куба.

а) При каком наименьшем k можно провести k непересекающихся шампуров так, чтобы к ним нельзя было добавить ещё один не пересекающий их шампур?

б) При каком наибольшем k можно провести 3k непересекающихся шампуров так, чтобы среди них было k шампуров каждого направления?

441. Внутри выпуклого 2n-угольника взята произвольная точка Р. Через каждую вершину и точку Р проведена прямая. Докажите, что найдётся сторона многоугольника, с которой ни одна из проведённых прямых не имеет общих точек (кроме, быть может, концов стороны).

442. Пусть p — простое число, p > 2. Для каждого натурального числа k < p вычислим остаток от деления числа kp на p2. Докажите, что сумма вычисленных остатков равна половине разности p3 – p.

443. Рассмотрим таблицу размером n×n, все клетки которой заполнены нулями. Разрешено произвольно выбрать n чисел, стоящих в разных строках и разных столбцах, и увеличить каждое из них на 1.

а) Можно ли за несколько шагов получить таблицы, изображённые на рисунках?

1 2 3 4    ...   n – 1 n 2 3 4    ...   n – 1 n 1 3 4    ...   n – 1 n 1 2 4    ...   n – 1 n 1 2 3    ...   n – 1 n 1 2 3 4  ...   n – 1 n 1 2 3 4  ...   n – 1 n 1 2 3 4       n – 1 n 1 2 3 4    ... n – 1 n 1 2 3 4    ... n – 2 n 1 2 3 4    ... n – 2 n – 1   1 2 3 4    ...   n – 1 n 2 3 4    ...   n – 1 n n + 1 3 4    ...   n – 1 n n + 1 n + 2 4    ...   n – 1 n n + 1 n + 2 n + 3    ...   n – 1 n n + 1 n + 2 n + 3 n + 4  ...   n – 1 n n + 1 n + 2 n + 3 n + 4  ...   n – 1 n n + 1 n + 2 n + 3 n + 4       n – 1 n n + 1 n + 2 n + 3 n + 4    ... n – 1 n n + 1 n + 2 n + 3 n + 4    ... 2n – 2 n n + 1 n + 2 n + 3 n + 4    ... 2n – 2 2n – 1

б) Можно ли получить таблицу, ни одно число которой не равно никакому другому?

в) Какие вообще таблицы можно получить через t шагов?

444. На рисунке четыре прямые разбивают плоскость на 11 областей: четырёхугольник, два треугольника, три угла, четыре «бесконечных треугольника» (области, ограниченные каждая отрезком и двумя лучами) и «бесконечный четырёхугольник» (область, ограниченная двумя отрезками и двумя лучами).

а) Верно ли сказанное для любых четырёх прямых на плоскости, среди которых нет параллельных и нет троек прямых, проходящих через одну точку?

б) Три больших круга, не проходящих через одну точку, разбивают круг на 8 треугольников. На какие области разбивают сферу четыре больших круга, никакие три из которых не проходят через одну точку? (Большим кругом на сфере называют окружность, являющуюся пересечением сферы с плоскостью, проходящей через её центр.)

в) На какие области могут разбить сферу 5 больших кругов, никакие три из которых не проходят через одну точку?

445. Центры одинаковых непересекающихся окружностей находятся в центрах правильных шестиугольниках, покрывающих плоскость так, как показано на рисунке. Пусть M — многоугольник с вершинами в центрах окружностей. Окрасим те окружности или их дуги, которые лежат внутри M, как показано на рисунке. Докажите, что сумма величин окрашенных дуг равна 180°·n, где n — натуральное число, и дайте этому геометрическую интерпретацию.

446. Окружность радиуса 1 катится снаружи по окружности, квадрат длины которой равен 2. В начальный момент времени точка касания окружностей отмечена липкой красной краской. При качении любая покрашенная точка красит любую точку, с которой соприкасается. Сколько разных точек неподвижной окружности будут запачканы к тому моменту, когда подвижная окружность сделает 100 оборотов вокруг неподвижной?

447. В остроугольном треугольнике ABC отрезки BO и CO, где O — центр описанной окружности, продолжены до пересечения в точках D и E со сторонами AC и BC. Найдите величины углов треугольника ABC и докажите равенства AE = ED, CE = CB и CD = CO, если величины углов BDE и CED равны 50° и 30° соответственно.

448. Центр любого эллипса, вписанного в данный четырёхугольник, лежит на прямой, проходящей через середины диагоналей этого четырёхугольника. Докажите это.

449. а) По одной прямой двигаются n одинаковых шариков. Какое максимальное число соударений между ними может произойти?

б) Тот же вопрос для трёх шариков массами m1, m2 и m3.

в) Если по одной прямой двигаются n различных шариков, то общее число столкновений между ними конечно. Докажите это.

В этих задачах шарики — это материальные точки, сталкивающиеся друг с другом абсолютно упруго, то есть с сохранением суммарных импульса и энергии, причём предполагаем, что все происходящие столкновения — только парные: три или более шарика в одной точке одновременно не оказываются.

450. Система прямоугольников из n этажей построена следующим образом. Начиная с нижнего прямоугольника, образующего первый этаж, верхнюю сторону каждого прямоугольника делим в отношении 1 : 2 : 3; на трёх полученных отрезках как на основаниях строим прямоугольники той же высоты, что и первоначальный, и так — до самого верхнего этажа. Из полученного множества прямоугольников выбрано некоторое подмножество, состоящее из попарно неравных прямоугольников (одно такое подмножество на рисунке выделено). Докажите существование вертикальной прямой, пересекающей не более двух из выбранных прямоугольников.

451. На плоскости отмечено несколько точек, не лежащих на одной прямой, и около каждой написано число. Для любой прямой, проходящей через две или более отмеченные точки, сумма всех чисел, написанных около этих точек, равна 0. Докажите, что все числа равны 0.

452. В окружность вписаны треугольники T1 и T2, причём вершины треугольника T2 являются серединами дуг, на которые окружность разбивается вершинами треугольника T1. Докажите, что диагонали шестиугольника, являющегося пересечением треугольников T1 и T2, соединяющие его противоположные вершины, параллельны сторонам треугольника T1 и пересекаются в одной точке.

453. Множество состоит из n положительных чисел. Для каждого его непустого подмножества выпишем сумму его элементов. Докажите, что все 2n – 1 выписанных сумм можно так разбить на n множеств, что в каждом из них отношение наибольшего числа к наименьшему не превзойдёт числа 2.

454. За круглым столом сидят 7 гномов. Перед каждым стоит кружка. В некоторые из этих кружек налито молоко. Один из гномов разливает всё своё молоко в кружки остальных поровну. Затем его сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа и так далее. После того как седьмой гном разлил всем остальным своё молоко, в каждой кружке оказалось столько же молока, сколько было в ней вначале. Во всех кружках вместе молока 3 литра. Сколько молока было первоначально в каждой кружке?

455. Мы будем рассматривать многочлены от одной переменной со старшим коэффициентом 1. Будем говорить, что два таких многочлена P и Q коммутируют, если многочлены P(Q(х)) и Q(Р(х)) тождественно равны (то есть после раскрытия скобок и приведения к стандартному виду все коэффициенты этих многочленов совпадают).

а) Для любого числа α найдите все многочлены степени не выше третьей, коммутирующие с многочленом x2 – α.

б) Пусть P — многочлен степени 2, k — натуральное число. Докажите, что существует не более одного многочлена степени k, коммутирующего с P.

в) Найдите все многочлены степени 4 или 8, коммутирующие с данным многочленом P степени 2.

г) Если два многочлена коммутируют с одним и тем же многочленом второй степени, то они коммутируют между собой. Докажите это.

д) Существует бесконечная последовательность многочленов P1, P2, P3,..., каждые два члена которой коммутируют, а P2(x) = x2 — 2. Докажите это.

456. В каждой вершине выпуклого многогранника сходятся 3 ребра, а каждая его грань является многоугольником, вокруг которого можно описать окружность. Докажите, что вокруг этого многогранника можно описать сферу.

457. На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая ломаная, никакие три вершины которой не лежат на одной прямой. Назовём пару несоседних звеньев особенной, если продолжение одного из них пересекает другое. Докажите, что число особенных пар чётно.

458. Напишем многочлен десятой степени, старший коэффициент которого равен 1, как и его свободный член. Остальные 9 коэффициентов этого многочлена заменим на звёздочки. Пусть теперь двое играют в такую игру. Сначала первый заменяет одну из звёздочек некоторым числом, затем второй заменяет числом любую из оставшихся звёздочек, затем снова первый заменяет одну из звёздочек числом и так далее (всего 9 ходов). Если у полученного многочлена не будет действительных корней, то выигрывает первый игрок, а если будет хотя бы один корень — выигрывает второй. Может ли второй игрок выиграть при любой игре первого?

459. В некоторой стране из каждого города в другой можно проехать, минуя остальные города. Известна стоимость каждого такого проезда. Составлены два маршрута поездок по городам страны. В каждый из этих маршрутов каждый город входит ровно по одному разу. При составлении первого маршрута руководствовались следующим принципом: начальный пункт маршрута выбрали произвольно, а на каждом следующем шаге среди городов, через которые маршрут ещё не прошёл, выбирали тот, поездка в который из предыдущего города имеет наименьшую стоимость (если таких городов несколько, то выбирали любой из них), и так до тех пор, пока не пройдены все города. При составлении второго маршрута начальный город тоже выбрали произвольно, а на каждом следующем шаге среди городов, через которые маршрут ещё не прошёл, выбирали тот, поездка в который из предыдущего города имеет наибольшую стоимость. Докажите, что общая стоимость проезда по первому маршруту не больше общей стоимости проезда по второму маршруту.

460. Пусть А — 2n-значное число (первая цифра не нуль). Будем называть число А особым, если как оно само, так и числа, образованные его первыми n цифрами и его последними n цифрами, являются квадратами целых чисел; при этом второе число может начинаться с цифры 0, но не должно быть равно нулю.

а) Найдите все двузначные и четырёхзначные особые числа.

Существует б) хотя бы одно 20-значное особое число; в) не более 10 особых 100-значных чисел; г) хотя бы одно 30-значное особое число. Докажите это.

461. На столе стоят чашечные весы и n гирь различных масс. Гири по очереди ставим на чашки весов (на каждом шаге со стола берём любую гирю и добавляем на ту или другую чашку весов).

а) Докажите, что гири можно ставить в таком порядке, чтобы сначала перевесила левая чашка, затем правая, потом снова левая, снова правая и так далее.

Этой последовательности результатов взвешиваний сопоставим слово из букв L и R: LRLRLRLR... Здесь буква L (left) означает, что перевесила левая чашка, а буква R (right) означает, что перевесила правая чашка.

б) Для любого слова длиной n из букв L и R можно в таком порядке ставить гири на чашки весов, чтобы это слово соответствовало последовательности результатов взвешиваний.

462. Плоскость пересекает боковые ребра правильной четырёхугольной пирамиды в точках, отстоящих от вершины на расстояния a, b, с и d. Докажите равенство 1⁄a + 1⁄c = 1⁄b + 1⁄d.

463. Если сумма натуральных чисел x1, x2,..., xm равна сумме натуральных чисел y1, y2,..., yn и эта сумма меньше mn, то можно вычеркнуть часть слагаемых так, чтобы равенство осталось верным. Докажите это.

464. На плоскости даны 1000 квадратов со сторонами, параллельными осям координат. Пусть М — множество центров этих квадратов. Докажите, что можно отметить часть квадратов так, чтобы каждая точка множества М попала не менее чем в один и не более чем в четыре отмеченных квадрата.

465. Имеется тысяча билетов с номерами 000, 001,..., 999 и сто ящиков с номерами 00, 01,..., 99. Билет разрешено опустить в ящик, если номер ящика можно получить из номера этого билета вычёркиванием одной из цифр. Докажите, что а) можно разложить все билеты в 50 ящиков; б) нельзя разложить все билеты менее, чем в 40 ящиков; в) нельзя разложить все билеты менее, чем в 50 ящиков.

Пусть вообще имеется 10k билетов с k-значными номерами (от 00...0 до 99...9). Билет разрешено опустить в ящик, номер которого можно получить из номера этого билета вычёркиванием некоторых k – 2 цифр. г) Докажите, что при k = 4 все 10 000 четырёхзначных билетов можно разложить по 34 ящикам.

д) Найдите минимальное количество ящиков, в которое можно разложить k-значные билеты. Попробуйте решить эту задачу для k = 4, 5, 6, ...

466. Среди 1977 монет 50 фальшивых. Каждая фальшивая монета отличается от настоящей на один грамм (в ту или в другую сторону). Имеются чашечные весы со стрелкой, показывающей разность масс грузов на чашках. За одно взвешивание про одну выбранную монету нужно узнать, фальшивая она или настоящая. Научитесь это делать!

467. Точки D и E делят стороны AC и AB правильного треугольника ABC в отношениях AD : DC = BE : EA = 1 : 2. Прямые BD и CE пересекаются в точке О. Докажите, что угол АОС прямой.

468. Точки A, B, C и D таковы, что для любой точки M скалярное произведение векторов MA и MB равно скалярному произведению векторов MC и MD. Верно ли обратное утверждение?

469. а) Если уравнение x4 + ax3 + bx + c = 0 имеет четыре различных вещественных корня, то ab < 0. Докажите это.

б) Если уравнение xn + an–1xn–1 + ... + ak+1xk+1 + ak–1xk–1 + ... + a0 = 0 имеет n различных вещественных корней, то ak+1ak–1 < 0. Докажите это.

470. Докажите следующие утверждения.

а) Сумма выражений вида (–1)k⁄ Cnk, где 0 £ k £ n, равна числу (n + 1)((–1)n + 1) ⁄ (n + 2).

б) Сумма выражений вида 1 ⁄ Cnk, где 0 £ k £ n, равна сумме чисел вида 2k⁄ k, где 1 £ k £ n, умноженной на (n + 1) и делённой на 2n+1.

471. Две пересекающиеся окружности вырезают из плоскости три ограниченные непересекающиеся области. Докажите, что не существует окружности, делящей пополам площадь каждой из этих трёх областей.

472. Внутри куба расположен выпуклый многогранник, проекция которого на каждую из граней совпадает с этой гранью. Докажите, что объём многогранника не меньше 1⁄3 объёма куба.

473. Даны две группы по n гирь, в каждой из которых гири расположены в порядке возрастания масс. Докажите, что

а) 2n – 1 взвешиваниями можно расположить и все 2n гирь в порядке возрастания их масс;

б) меньшим 2n – 1 числом взвешиваний это сделать, вообще говоря, нельзя. (За одно взвешивание сравнивают массы двух гирь; массы всех гирь разные.)

474. Натуральное число называют совершенным, если оно равно половине суммы своих делителей. Докажите, что число несовершенно, если оно а) при делении на 4 даёт остаток 3; б) при делении на 6 даёт остаток 5.

Числа 6 = 1 + 2 + 3 и 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 совершенные. До сих пор неизвестно, существует ли нечётное совершенное число.

475. а) Равносторонний треугольник нельзя нарисовать на клетчатой бумаге так, чтобы его вершины попали в узлы сетки (вершины клеток). Докажите это.

б) На клетчатой бумаге со стороной клетки, равной 1, можно для любого положительного числа ε нарисовать равносторонний треугольник, вершины которого находятся на расстоянии меньше ε от трёх различных узлов бумаги. Докажите это.

в) Для любого ли многоугольника M и любого ли положительного числа ε можно нарисовать на клетчатой бумаге многоугольник, подобный M, каждая вершина которого находится на расстоянии меньше ε от ближайшего и своего для каждой вершины узла?

476. а) Если все вершины выпуклого многоугольника лежат в узлах клетчатой бумаги, а ни внутри, ни на его сторонах других узлов нет, то n < 555. Докажите это.

б) Пространство разбито тремя семействами параллельных плоскостей на одинаковые кубы. Вершины кубов назовём узлами. Докажите, что если все n вершин выпуклого многогранника лежат в узлах, а на его рёбрах, гранях и в его внутренности других узлов нет, то n < 9.

477. Дан многочлен P с целыми коэффициентами такой, что для каждого натурального x верно неравенство x < P(x) . Определим последовательность формулами b1 = 1 и bk+1 = P(bk) для каждого натурального k. Докажите, что если для любого натурального числа d хотя бы один из членов последовательности делится на d, то P(x) = x + 1.

478. В волейбольном турнире каждые две команды сыграли по одному матчу.

а) Если для любых двух команд найдётся третья, которая выиграла у этих двух, то число команд не меньше семи. Докажите это.

б) Постройте пример такого турнира семи команд.

в) Если для любых трёх команд найдётся такая, которая выиграла у этих трёх, то число команд не меньше 15. Докажите это.

479. Существуют ли а) 6; б) 1000 таких различных натуральных чисел, что для любых двух из них сумма этих двух чисел делится на их разность?

480. Докажите следующие утверждения.

а) В последовательности, заданной начальным членом c1 = 2 и рекуррентной формулой cn+1 = [3cn ⁄ 2], бесконечно много чётных чисел и бесконечно много нечётных чисел.

б) Последовательность остатков от деления на 2 чисел c1, c2, c3, ... непериодическая.

в) Существует такое число γ, что для любого натурального числа n число cn является наименьшим натуральным числом, большим произведения числа γ и n-й степени числа 3 ⁄ 2.

1978 год

481. Каждый член последовательности натуральных чисел, кроме первого, равен сумме квадратов цифр десятичной записи предыдущего члена этой последовательности. Докажите, что каким бы ни был первый член, в последовательности обязательно встретится число 1 или число 89. (Например, если первый член равен 1978, то второй равен 12 + 92 + 72 + 82 = 195, третий равен 12 + 92 + 52 = 107, четвёртый — 50, пятый — 25, шестой — 29, седьмой — 85, а восьмой — 89.)

482. Сечение правильного тетраэдра — четырёхугольник. Докажите, что периметр этого четырёхугольника больше 2a, но меньше 3a, где a — длина ребра тетраэдра.

483. а) Отношение квадрата радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника к сумме квадратов длин медиан, проведённых из острых углов, не превосходит 1⁄20. Докажите это.

б) Найдите наибольшее значение, которое может принимать это отношение.

484. При каких n существует выпуклый n-угольник, который можно разрезать на несколько правильных многоугольников (не обязательно одинаковых)?

485. а) Для любого натурального n число e заключено между числами an и bn, где an — это число (n + 1)/n, возведённое в n-ю степень, а bn — это число (n + 1)/n, возведённое в (n + 1)-ю степень. Докажите это. (Число e — это предел последовательности a1, a2, a3, ...)

б) Последовательность сn = an + an : (4n) возрастает, а последовательность dn = an + an : (2n) монотонно убывает. Докажите это.

в) Разделим отрезок [anbn] на четыре равных по длине отрезка. В каком из них лежит число e?

г) Разделим отрезок [anbn] на восемь равных частей. В какой из них лежит e?

д) А если отрезок [anbn] разделить на 2k равных частей, где n > 2k?

486. Какое из чисел больше: а) 2323 или 3232; б) 232... или 323..., где в обоих выражениях n «этажей»?

487. На данных окружностях γ1 и γ2 постройте по хорде так, чтобы они были гомотетичны с заданным центром A, принадлежащим γ1, и чтобы длина хорды окружности γ2 равнялась данной величине a.

488. Рассмотрим последовательность многочленов P0, P1, P2, ..., определённые формулами P0(x) = 1, P1(x) = x и Pn+1 = xPn(x) – Pn–1(x) для любого натурального n. Докажите следующие утверждения.

а) Рассмотрим последовательность, определённую своим первым членом a1 = x и рекуррентной формулой an+1 = x – 1⁄an. Для любого натурального числа n верно равенство anPn–1 = Pn.

б) sin (n + 1)x = Pn(cos x) sin x.

в) tn+1 – tn–1 = (t – t–1)P(t + t–1), если t ≠ 0.

г) Pn(x) — это произведение разностей между числом x и удвоенных косинусов углов вида πk ⁄ (n + 1), где 1 £ k £ n.

д) Pn(x) — это сумма произведений числа сочетаний из n – k по k на (–x)k, где 0 £ 2k £ n.

е) Произведение удвоенных косинусов углов вида πk ⁄ (2n + 1), где 1 £ k £ n, равно 1.

ж) Придумайте аналогичные равенства для последовательности многочленов, определённой тем же рекуррентным соотношением, но начинающейся не с многочленов 1 и x, а с многочленов 2 и x.

489. Даны три числа a, b и c. Построим последовательности по формулам a1 = a, b1 = b, c1 = c, an+1 = (bn + cn) ⁄ 2, bn+1 = (cn + an) ⁄ 2 и сn+1 = (bn + an) ⁄ 2 для любого натурального n. Докажите, что эти три последовательности имеют общий предел, найдите его.

490. Для любого простого нечётного числа p и любых p – 1 целых чисел, не делящихся на p, можно, заменив некоторые из этих чисел на противоположные, получить p – 1 чисел, сумма которых делится на p. Докажите это.

491. Рассмотрим геометрическую прогрессию, все члены которой — целые числа. (Например, 16, 24, 36, 54, 81.)

а) Докажите, что сумма квадратов трёх последовательных членов прогрессии делится на сумму этих членов.

б) При каких натуральных n сумма квадратов n последовательных членов прогрессии обязательно делится на сумму этих n членов?

492. На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC лежат соответственно точки C', A' и B' так, что отрезки AA', BB' и CC' пересекаются в одной точке P, то прямые, соединяющие середины сторон AB и A'B', BC и B'C', CA и C'A', пересекаются в одной точке, причём эта точка, центр тяжести треугольника ABC и точка P лежат на одной прямой.

493. Для любого натурального числа n сумма квадратных корней из чисел n2 – 1, n2 – 2,..., n2 – (n – 1)2 больше числа 0,785n2 – n и меньше числа 0,79n2. Докажите это.

494. Внутри квадрата со стороной 1 расположены n2 точек. Докажите, что существует ломаная, содержащая эти точки, длина которой меньше а) 3n; б) 2n.

495. В космическом пространстве вокруг планеты O по трём круговым орбитам с центром O равномерно вращаются три спутника. Угловые скорости спутников равны соответственно ω1, ω2 и ω3, а их начальные положения могут быть произвольными. Обязательно ли найдётся момент времени, когда все три спутника и точка O лежат в одной плоскости, если а) ω1 = ω2 = ω3 = 1; б) ω1 = ω2 = 1 и ω3 = 2; в) ω1 = 2, ω2 = 3 и ω3 = 4? Попробуйте выяснить, каков ответ при других соотношениях угловых скоростей.

496. Каких шестизначных чисел больше: представимых в виде произведения двух трёхзначных чисел или не представимых?

497. На сторонах BC, CA и AB остроугольного треугольника ABC взяты произвольные точки A', B' и C' соответственно. На отрезках AA', BB' и CC' как на диаметрах построены окружности. Докажите, что три общие хорды пар этих окружностей пересекаются в точке пересечения высот треугольника ABC.

498. Для каждого натурального n укажите наименьшее k такое, что любые n точек плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно разделить k прямыми. (Прямые разделяют данные точки, если для любых двух из этих точек найдётся прямая, от которой они лежат по разные стороны.)

499. Назовём число уравновешенным, если в его десятичной записи некоторое начало совпадает с некоторым концом (например, числа 1971, 19219 уравновешены, а число 1415145 — нет). Докажите, что существует число, которое после приписывания к нему любой из 10 цифр становится уравновешенным.

500. N первоклассников выстроены в одну шеренгу (плечом к плечу). По команде «нале-Во» все одновременно повернулись на 90°, некоторые — налево, а некоторые — направо. Ровно через секунду каждый, оказавшийся лицом к лицу со своим соседом, поворачивается «кру-ГОМ» — на 180°. Ещё через секунду каждый, оказавшийся теперь лицом к лицу с соседом, снова поворачивается на 180°, и так далее.

а) Докажите, что движение когда-нибудь прекратится.

б) Какое наибольшее число раз может повернуться «кру-ГОМ» один человек?

в) Сколь долго может не затихать движение в строю?

г) Пусть шеренга бесконечна в обе стороны, и по команде «нале-ВО» только конечное множество первоклассников повернулись направо, а остальные — налево. Тогда по правилу задачи движение продолжалось бы бесконечно долго. Докажите, однако, что движение прекратится через конечное время, если это правило заменить таким: первоклассник поворачивается на 180°, только если первый (его сосед) и третий из стоящих перед ним обращены к нему лицом.

501. Выберем из последовательности степеней тройки 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, ..., все числа, начинающиеся с цифры 9; пусть эти числа (по порядку) суть 3f (1), 3f (2), 3f (3), ... (в частности, f (1) = 2, так как первое из этих чисел 32 = 9).

а) Найдите f (2) и f (3) — номера второго и третьего таких чисел.

б) Таких чисел бесконечно много. Докажите это.

в) Если n > 1 и n — натуральное число, то разность f (n) – n нечётна, а число f (n) отличается от отношения числа n – lg 9 к числу 1 – lg 9 меньше чем на единицу; этими двумя условиями функция f определена однозначно. Докажите это.

502. Отрезки AA', BB' и CC' параллельны и не лежат в одной плоскости; M — точка пересечения плоскостей ABC', AB'C и A'BC; N — точка пересечения плоскостей AB'C', A'BC' и A'B'C. Докажите, что отрезок MN параллелен трём первоначальным.

503. Последовательность a0, a1,..., a2n выпукла вверх, то есть каждый её член, кроме первого и последнего, не меньше среднего арифметического двух соседних. Докажите, что среднее арифметическое её членов с чётными номерами не превышает среднего арифметического её членов, номера которых нечётны; выясните, для каких последовательностей эти средние арифметические равны.

504. На шахматную доску размером n×n уложены k доминошек — плиток размером 1×2, причём положить (k + 1)-ю доминошку, не перемещая уже имеющиеся доминошки, нельзя. Докажите, что свободных клеток осталось не более чем а) (n2 + n + 1) ⁄ 3; б) (n2 + 2) ⁄ 3; в) n2 ⁄ 3. г) Можно ли для какого-нибудь n получить более точную оценку?

505. а) На прямой размещены n материальных точек одинаковой массы. Рассмотрим произвольный отрезок длиной 2r, содержащий хотя бы одну из его точек, и найдём центр тяжести O1 всех попавших в него точек. Рассмотрим отрезок длиной 2r с серединой O1 и найдём центр тяжести O2 всех точек, попавших на отрезок. Затем найдём центр тяжести O3 всех точек, попавших в отрезок длиной 2r с серединой O2, и так далее. Докажите, что, начиная с некоторого номера, все точки последовательности O1, O2, O3, ... совпадают.

б) На плоскости размещены n материальных точек одинаковой массы. Рассмотрим произвольный круг радиуса r, содержащий хотя бы одну из его точек; обозначим через O1 центр тяжести всех попавших в него точек и построим последовательность O1, O2, O3,..., где On+1 — центр тяжести точек, попавших в круг радиуса r с центром On. Верно ли, что, начиная с некоторого номера, все точки этой последовательности совпадают?

506. Для любых положительных чисел a, b, c и d сумма a2b2 + a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 + c2d2 не превосходит суммы a4 + b4 + c4 + d4 + 2abcd. Докажите это.

507. Выберем произвольно n, где n > 5, чисел из первых 2n – 1 натуральных чисел. Для каждых двух из них вычислим наибольший общий делитель. Докажите, что хотя бы один из рассматриваемых наибольших общих делителей не меньше ушестерённой суммы числа 1 и целой части половины числа n.

508. Точка С лежит на отрезке АВ. Докажите, что радиус окружности, касающейся трёх полуокружностей с диаметрами АВ, АС и ВС, вдвое меньше расстояния от её центра до прямой АВ.

509. Решите в натуральных числах уравнения: а) 2x + 1 = 3y; б) zx + 1 = (z + 1)2; в) zx + 1 = (z + 1)y.

510. В книге «Венгерские математические олимпиады» есть задача №148: «Для любого положительного α < π докажите неравенство 6sin α + 3sin 2α + 2sin 3α > 0.» Докажите следующее обобщение этого неравенства: для любого положительного α < π и для любого натурального n сумма частных от деления числа sin kα на k, где 1 £ k £ n, положительна.

511. Внутри четырёхугольника ABCD отмечена точка M так, что ABMD — параллелограмм. Докажите, что если величина угла CBM равна величине угла CDM, то величина угла ACD равна величине угла BCM.

512. Пусть f (x) = x3 – x + 1. Для любого натурального m > 1 числа m, f (m), f (f (m)), f (f (f (m))), ... попарно взаимно просты. Докажите это.

513. Существует такое число А, что в график функции y = A sin x можно вписать 1978 попарно неравных квадратов. Докажите это. (Квадрат называем вписанным, если все его вершины принадлежат графику.)

514. Существует такая ограниченная бесконечная последовательность x1, x2, x3, ..., что для любых различных натуральных чисел m и n произведение модуля разности чисел m и n на модуль разности чисел xm и xn не меньше 1. Докажите это.

515. Рассмотрим конечное множество K0. К нему добавим все точки вида ZA(B), где A, B принадлежат K0, а Z — центральная симметрия. Полученное множество обозначим K1. Аналогично из множества K1 получаем K2, из K2 — K3, и так далее.

а) Пусть множество K0 состоит из двух точек A и B на расстоянии 1 друг от друга. При каком наименьшем n в множестве Kn найдётся точка, находящаяся на расстоянии 10 000 от точки A?

б) Пусть K0 состоит из трёх вершин треугольника площади 1. Найдите площадь наименьшего выпуклого многоугольника, содержащего Kn (то есть площадь его выпуклой оболочки).

В следующих пунктах K0 — множество вершин тетраэдра, объём которого равен 1.

в) Рассмотрим наименьший выпуклый многогранник, содержащий K1. Сколько граней у этого многогранника и какие они?

г) Чему равен объём этого многогранника?

д) Найдите объём наименьшего выпуклого многогранника, содержащего множество Kn.

516. Три автомата печатают на карточках пары натуральных чисел. Автоматы работают следующим образом. Первый автомат, прочитав карточку (ab), выдаёт новую карточку (a + 1; b + 1); второй, прочитав карточку (ab), выдаёт карточку (a/2; b/2) (он работает только когда a и b чётные); третий по двум карточкам (ab) и (bc) выдаёт карточку (ac). Автоматы возвращают все прочитанные карточки.

Пусть первоначально имеется одна карточка с парой чисел (5; 19). Можно ли, используя автоматы в любом порядке, получить карточку а) (1; 50); б) (1; 100)?

в) Пусть первоначально имеется одна карточка (ab), где a < b, а мы хотим получить карточку (1; n). При каких n это можно сделать?

517. В окружность с радиусом R вписан n-угольник площади S. На каждой стороне n-угольника отмечено по точке. Докажите, что периметр n-угольника с вершинами в отмеченных точках не меньше 2S / R.

518. Для любых n чисел отрезка [ab], где 0 < a < b, произведение суммы этих чисел на сумму их обратных величин не превосходит частного от деления произведения (a + b)2n2 на 2ab. Докажите это.

519. Даны две кучки спичек. Вначале в одной кучке m спичек, в другой — n спичек, причём m > n. Два игрока по очереди берут из кучки спички. За один ход игрок берёт из одной кучки любое (отличное от нуля) число спичек, кратное числу спичек в другой кучке. Выигрывает игрок, взявший последнюю спичку в одной из кучек.

а) Если m > 2n, то игрок, делающий первый ход, может обеспечить себе выигрыш. Докажите это.

б) При каких α верно следующее утверждение: если m > αn, то игрок, делающий первый ход, может обеспечить себе выигрыш?

520. Обозначим буквами a и b квадратные корни из 2 и 3 соответственно. Для каждого натурального числа n пусть qnrnsntn — такие целые числа, что число (1 + a + b)n равно сумме qn + rna + snb + tnab. Найдите предел при стремлении n к бесконечности частного от деления rn на qn, а также частного от деления sn на qn и частного от деления tn на qn. Решение М520.

521. Обозначим через an целое число, ближайшее к квадратному корню из n. Найдите сумму обратных величин чисел a1, a2,..., a1980.

522. На плоскости задано несколько непересекающихся отрезков, никакие два из которых не лежат на одной прямой. Мы хотим провести ещё несколько отрезков, соединяющих концы данных отрезков так, чтобы все отрезки вместе образовали одну несамопересекающуюся ломаную. Всегда ли это можно сделать?

523. Фишка стоит в углу шахматной доски размером n×n. Каждый из двух играющих по очереди передвигает её на соседнее поле (имеющее общую сторону с тем, на котором стоит фишка). Второй раз ходить на поле, на котором фишка уже побывала, нельзя. Проигрывает тот, кому некуда ходить.

а) Если n чётно, то начинающий может добиться выигрыша, а если n нечётно, то выигрывает второй. Докажите это.

б) Кто выигрывает, если первоначально фишка стоит не на угловом поле, а на соседнем с ним?

524. Ни при каком натуральном m число 1978m – 1 не делится на 1000m – 1. Докажите это.

525. Для любого тетраэдра существуют такие две плоскости, что отношение площадей проекций тетраэдра на эти плоскости не меньше квадратного корня из 2.

526. а) Площадь выпуклого четырёхугольника со сторонами a, b, c, d и углом φ между диагоналями, отличном от прямого, равна четверти произведения |a2 – b2 + c2 – d2| tg φ. Докажите это.

б) Можно ли выразить S через a, b, c и d, если φ = 90°?

527. x1, x2,..., xn — действительные числа, лежащие на отрезке [0; 1]. Докажите, что величина x1 + x2 +... + xnx1x2 – x2x3 –... – xn–1xnxnx1 не превосходит а) 1 при n = 3; б) 2 при n = 4; в) [n⁄2] при любом n > 2.

528. На каждой клетке шахматной доски стоит по фишке. Фишки нужно переставить так, чтобы расстояние между любыми двумя фишками не уменьшилось по сравнению с расстоянием между ними при первоначальном расположении. Сколькими способами это можно сделать? (Расстоянием между фишками называем расстояние между соответствующими центрами клеток.)

529. а) Многоугольник M' — образ выпуклого многоугольника M при гомотетии с коэффициентом k = –1⁄2. Докажите существование такого параллельного переноса T, что T(M') содержится в M.

б) При каких коэффициентах гомотетии k верно аналогичное утверждение?

530. На прямоугольном клетчатом листе бумаги некоторые клетки закрашены. Затем происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: клетка, имевшая чётное число окрашенных соседей, становится неокрашенной, а имевшая нечётное число окрашенных соседей — окрашенной. (Соседними считаем клетки, имеющие общую сторону.)

а) Докажите, что если множество B окрашенных клеток при перекрашивании не меняется, то количество элементов множества M чётно.

б) Пусть при перекрашивании множество B1 окрашенных клеток переходит в B2, B2 — в B3,..., Br–1 — в Br, а Br — в B1. Докажите, что сумма |B1| + |B2| + ... + |Br| чётна.

531. Из пунктов А и В не одновременно выехали навстречу друг другу автомобилист и велосипедист. Встретившись в точке С, они тотчас развернулись и поехали обратно (с теми же скоростями). Доехав до своих пунктов А и В, они опять развернулись и второй раз встретились в точке D; здесь они вновь развернулись, и так далее. В какой точке отрезка АВ произошла их 1978-я встреча?

532. Для любого натурального n а) целая часть суммы квадратных корней из n и из n + 1 равна целой части числа 4n + 2; б) разность между суммой квадратных корней из n и из n + 1 и квадратным корнем из 4n + 2 положительна, а её квадрат не превосходит частного от деления числа 1 на 256n3. Докажите это.

533. Назовём выпуклый многоугольник особым, если некоторые три диагонали пересекаются в одной внутренней точке. Докажите, что хотя бы одна вершина A особого семиугольника обладает следующим свойством: для любого положительного ε вершину A можно, не меняя остальных вершин, сдвинуть на расстояние, меньшее ε, получив неособый семиугольник.

534. Три прямые, параллельные сторонам треугольника АВС и проходящие через одну точку, отсекают от треугольника АВС по трапеции. Три диагонали этих трапеций, не имеющие общих концов, делят треугольник на семь частей, из которых четыре — треугольники. Докажите, что сумма площадей трёх из этих треугольников, прилежащих к сторонам треугольника АВС, равна площади четвёртого.

535. На плоскости заданы три бесконечные в обе стороны последовательности точек Ak, Bk и Ck, где k — целое число. Назовём такую систему триграммой, если для любых целых k и m точка Bk+m лежит на прямой AkCm.

а) Проверьте, что изображённая на рисунке система является триграммой.

б) Для любых трёх различных прямых a, b и c существует такая триграмма, что для любого целого k точка Ak лежат на прямой a, точка Bk — на b, а Ck — на c. Докажите это.

в) Если для любого целого k точка Ak лежит на прямой a, а Bk — на прямой b, то и все точки вида Ck лежат на одной прямой. Докажите это.

Указание. Пункты б) и в) решите сначала для случая a || b.

г) Придумайте ограниченную триграмму (то есть триграмму, все точки которой лежат внутри некоторого круга).

536. а) Любой прямоугольник размером m×2n можно замостить в два слоя костяшками домино таким образом, чтобы каждая плитка верхнего слоя опиралась на две нижние. Докажите это.

б) Пусть прямоугольник размером 2m×2n уже замощён в один слой. Докажите, что можно выложить второй слой доминошек так, чтобы выполнялось то же самое условие (то есть чтобы никакие плитки из разных слоёв не совпадали).

537. Окружность касается внутренним образом окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника АВС, а также равных сторон АВ и АС этого треугольника в точках Р и Q соответственно. Докажите, что середина отрезка РQ является центром окружности, вписанной в треугольник АВС.

538. Множество всех натуральных чисел представлено в виде объединения непересекающихся возрастающих последовательностей f (1) < f (2) < f (3) < ... и g(1) < g(2) < g(3) < ..., причём g(n) = f (f (n)) + 1 для любого натурального n. Вычислите f (240).

539. Р — данная точка внутри данной сферы, а А, В, С — такие три точки этой сферы, что отрезки РА, РВ и РС взаимно перпендикулярны; Q — диагонально противоположная точке Р вершина параллелепипеда с рёбрами РА, РВ и РС. Найдите множество точек Q.

540. Международное общество состоит из 1978 граждан шести различных стран, занумерованных числами от 1 до 1978. Докажите, что существует хотя бы один член общества, номер которого равен сумме номеров двух членов из его страны или удвоенному номеру некоторого члена из его страны.

1979 год

541. В компании из n человек у каждого ровно трое друзей.

а) Докажите, что n чётно.

б) Всякую ли такую компанию можно разбить на пары так, чтобы люди в каждой паре были друзьями?

542. Дан прямоугольный треугольник A0A1A2 с катетами A0A2 = a и A1A2 = b. Муравей ползёт по бесконечной ломаной A2A3A4A5..., где AnAn+1 — высота треугольника An–2An–1An. Найдите длину пути (состоящего из бесконечного числа отрезков).

б) Постройте предельную точку L, к которой приближается муравей. На каких расстояниях от катетов она находится?

543. Обозначим через ρ(x;y) частное от деления модуля разности |x – y| чисел x и y на квадратный корень из произведения чисел (1 + x2) и (1 + y2). Докажите для любых вещественных чисел a, b и c неравенство ρ(a;c£ ρ(a;b) + ρ(b;c).

544. Какое наибольшее число вершин, из которых нельзя провести ни одной диагонали, лежащей целиком внутри многоугольника, может иметь невыпуклый n-угольник? Решите эту задачу сначала для n = 4, 5, 6, 7.

545. На плоскости задано n точек. Нужно разместить в этих точках n прожекторов, каждый из которых освещает угол величиной 360°⁄n так, чтобы осветить всю плоскость. Докажите, что это возможно при любом расположении данных точек, если а) n = 3; б) n = 4; в) n — любое натуральное число.

г) Пусть теперь прожекторы освещают углы, сумма величин которых равна 360°, и составлены в одну точку так, что они освещают всю плоскость. Докажите, что можно параллельно перенести в каждую из данных точек по одному прожектору так, чтобы вся плоскость была по-прежнему освещена.

546. Из произвольной точки М окружности, описанной около прямоугольника, опустили перпендикуляры МР и МQ на две его противоположные стороны и перпендикуляры MR и MT — на продолжения двух других сторон. Докажите, что прямые PR и QT перпендикулярны, а точка их пересечения принадлежат диагонали прямоугольника.

547. Чтобы уравнение 1⁄x – 1⁄y = 1⁄n, где n — натуральное число, имело единственное решение в натуральных числах x и y, необходимо и достаточно, чтобы n было простым. Докажите это.

548. а) На окружности расположены 4 точки. Для каждой пары этих точек через середину соединяющей их хорды проведём прямую, перпендикулярную хорде, соединяющей две другие точки. Докажите, что все шесть построенных прямых проходят через одну точку.

б) На окружности расположены 5 точек. Через центр тяжести трёх из них (точку пересечения медиан треугольника с вершинами в этих точках) проведём прямую, перпендикулярную хорде, соединяющей остальные точки. Докажите, что все десять построенных прямых проходят через одну точку.

в) Обобщите эти утверждения на случай n точек.

549. Рассмотрим натуральное число. Выпишем все его делители и для каждого из них выясним, сколько делителей оно имеет. С полученными выполним две операции: сложим их кубы и найдём квадрат их суммы. Докажите, что получим равные результаты. Например, число 6 имеет 4 делителя: 1, 2, 3 и 6; при этом τ(1) = 1, τ(2) = 2, τ(3) = 2, τ(6) = 4 и (1 + 2 + 2 + 4)2 = 13 + 23 + 23 + 43.

550. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно d км, должны добраться n велосипедистов, у которых имеется m велосипедов. Каждый может идти пешком со скоростью u км/ч или ехать на велосипеде со скоростью v км/ч. За какое наименьшее время все n велосипедистов смогут попасть из А в В? (Время считаем по последнему прибывшему. Велосипеды можно оставлять на дороге без присмотра.) Рассмотрите частный случай: m = 2, n = 3.

551. а) Какое наименьшее число точек достаточно отметить внутри выпуклого пятиугольника, чтобы внутри любого треугольника с вершинами в вершинах пятиугольника содержалась хотя бы одна отмеченная точка?

б) Тот же вопрос для выпуклого n-угольника.

552. а) Найдите хотя бы одну пару (pq) целых чисел, отличных от 0, для которых все корни каждого из трёхчленов x3 + px + q и x3 + qx + p целые.

б) Найдите все такие пары.

553. Дан треугольник ABC, причём BC < AC < AB. На лучах BA и CA отложены отрезки BD и CE так, что BD = CE = BC. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника АDЕ, равен расстоянию между центрами окружности, описанной около треугольника АВС, и окружности, вписанной в него.

554. Назовём натуральное число n хорошим, если существуют (не обязательно различные) такие натуральные числа, что их сумма равна n, а сумма обратных величин равна 1. Известно, что все числа между 33 и 73 — хорошие. Докажите, что все числа, большие 73, тоже хорошие.

555. Рассмотрим пересечение а) двух; б) трёх цилиндров одинакового радиуса r, оси которых взаимно перпендикулярны и проходят через одну точку. Сколько плоскостей симметрии имеет это пересечение? Каков его объём?

556. Обязательно ли конгруэнтны два остроугольных равнобедренных треугольника, имеющих равные по длине боковые стороны и равные радиусы вписанных окружностей?

557. Среди любых n попарно взаимно простых чисел, больших 1 и меньших (2n – 1)2, есть хотя бы одно простое число. Докажите это.

558. В круге расположено k > 1 чёрных секторов, угол каждого из которых меньше 180° ⁄ (k2 – k + 1). Докажите, что круг можно повернуть вокруг центра O так, что все чёрные секторы перейдут в белую часть круга.

559. Если a, b, c — длины сторон треугольника, то сумма отношений a ⁄ b, b ⁄ c и c ⁄ a отличается от суммы отношений b ⁄ ac ⁄ b и a ⁄ c менее чем на 1. Докажите это.

560. В дне ящика есть дырка. Нужно сделать выпуклую заслонку наименьшей площади, при любом положении которой на дне ящика дырка будет закрыта. Решите эту задачу, если

а) дно ящика — квадрат 4×4, а дырка размером 1×1 расположена так, как показано на рисунке;

б) дно ящика — квадрат n×n, где n нечётно, а дырка 1×1 расположена в центре;

в) попробуйте решить аналогичную задачу для каких-либо других случаев, когда дно и дырка — выпуклые фигуры.

561. Треугольники A1B1C1 и A2B2C2 площадей S1 и S2 расположены так, что лучи A1B1 и A2B2, B1C1 и B2C2, C1A1 и C2A2 соответственно параллельны, но противоположно направлены. Найдите площадь треугольника с вершинами в серединах отрезков A1A2, B1B2 и C1C2.

562. На отрезке [0; 1] задано такое множество, являющееся объединением нескольких отрезков, что расстояние между двумя точками множества M не равно 0,1. Докажите, что сумма длин отрезков, составляющих M, меньше а) 0,55; б) 0,5.

563. Функция f определена на отрезке [ab] длиной 4 и имеет на нём непрерывную производную. Докажите, что внутри отрезка [ab] существует такая точка x, что производная функции f в точке x меньше суммы числа 1 и квадрата значения функции f в точке x.

564. Для каких точек M стороны BC треугольника ABC верно утверждение: треугольник MPQ подобен треугольнику ABC, если точки P и Q являются для треугольников ABM и ACM

а) центрами описанных окружностей;

б) центрами тяжести (то есть точками пересечения медиан);

в) ортоцентрами (точками пересечения высот).

565. a1, a2,..., an — положительные числа; bk — среднее арифметическое всевозможных произведений по k данных чисел, где 1 £ k £ n. Докажите неравенства

а) b12³ b2;

б) bk2³ bk–1bk+1 при 1 < k £ n;

в) bkk+1³ bk+1k при 1 < k £ n.

566. Какое наименьшее значение может иметь отношение площадей двух равнобедренных прямоугольных треугольников, три вершины одного из которых лежат соответственно на трёх сторонах другого?

567. Натуральные числа q и p взаимно просты. Отрезок [0; 1] разбит на p + q одинаковых отрезков. Докажите, что в каждом из этих отрезков, кроме двух крайних, лежит ровно одно из p + q – 2 чисел 1⁄p, 2⁄p,..., (p – 1)⁄p, 1⁄q, 2⁄q,..., (q – 1)⁄q.

568. Диагонали выпуклого четырёхугольника АВСD пересекаются в точке О. Докажите, что

а) если радиусы окружностей, вписанных в треугольники АОВ, ВОС, СОD и DОА, равны между собой, то АВСD — ромб;

б) если радиусы окружностей, вписанных в треугольники АВС, ВСD, СDА и DАВ, равны между собой, то АВСD — прямоугольник.

569. В тетради написаны несколько чисел. К этим числам разрешено приписать число, равное среднему арифметическому двух или нескольких из них, если оно отлично от всех уже написанных чисел. Докажите, что начав с чисел 0 и 1, таким образом можно получить: а) число 1⁄5; б) любое рациональное число, расположенное между 0 и 1.

570. Задан набор квадратов, сумма площадей которых равна 4. Докажите, что ими можно покрыть квадрат площади 1.

571. Убывающая последовательность положительных чисел такова, что если для каждого натурального n разделить на n её n2-й член, то получим ряд, сумма которого не превосходит 1. Докажите, что а) если для каждого натурального n разделим на n её n-й член, то получаем ряда, сумма членов которого не превосходит 2; б) в условии пункта а) число 2 нельзя заменить ни на какое меньшее число.

572. Кенгуру прыгает по точкам координатной плоскости Охy, обе координаты которых неотрицательны, следующим образом: из точки (xy) кенгуру может прыгнуть в точку (x + 1; y – 1) или в точку (x – 5; y + 7), причём прыгать в точки, у которой есть отрицательная координата, нельзя. Из каких начальных точек (xy) кенгуру не может попасть в точку, находящуюся на расстоянии больше 1000 от начала координат? Нарисуйте множество всех таких точек и найдите его площадь.

573. Через точку O а) на плоскости; б) в пространстве проведено 1979 прямых, никакие две из которых не перпендикулярны друг другу. На первой прямой l1 взята произвольная точка A1, отличная от O. Докажите, что на остальных прямых l2, l3,..., l1979 можно выбрать точки A2, A3,..., A1979 соответственно так, что прямая lk перпендикулярна прямой Ak–1Ak+1 для любого k = 2, 3,..., 1978, прямая l1979 перпендикулярна прямой A1978A1, а прямая l1 перпендикулярна прямой A1979A2.

574. Конечная последовательность a1, a2,..., an состоит из нулей и единиц и удовлетворяет следующему условию: для любого целого k от 0 до n – 1 сумма a1ak+1 + a2ak+2 + ... + an–kan нечётна.

а) Придумайте такую последовательность для n = 25.

б) Докажите существование такой последовательности хотя бы для одного n > 1000.

575. На прямой по порядку расположены точки A0, A1, A2,..., An так, что длины отрезков A0A1, A1A2,..., An–1An не превосходят 1. Требуется отметить k – 1 из точек A1, A2,..., An–1 красным цветом так, чтобы длины любых двух из k частей, на которые отрезок A0An разбивается красными точками, отличались не более чем на 1. Докажите, что это можно сделать для а) k = 3; б) любого натурального k < n.

576. На плоскости дано несколько точек. Для некоторых пар (A,B) этих точек взяты векторы AB, причём так, что в каждой точке оканчивается столько же векторов, сколько в ней заканчивается. Докажите, что сумма всех выбранных векторов равна нулю.

577. Какое наименьшее число фишек нужно поставить на поля шахматной доски размерами а) 8×8; б) n×n, чтобы на каждой прямой, проходящей через центр произвольного поля и параллельной какой-либо стороне или диагонали доски, стояла хотя бы одна фишка? (Фишки ставим в центры полей.)

578. a и b — данные числа. Найдите все такие пары чисел x и y, что произведение числа a и квадратного корня из числа 1 – x2 + y2 равно разности между числом x и произведением числа y на квадратный корень из числа x2 – y2, а произведение числа b и квадратного корня из числа 1 – x2 + y2 равно разности между числом y и произведением числа x на квадратный корень из числа x2 – y2.

579. Учетверённая сумма квадратов нескольких чисел отрезка [0; 1] не превосходит квадрата суммы числа 1 и суммы этих чисел. Докажите это.

580. В парламенте у каждого его члена не более трёх врагов. Докажите, что парламент можно разбить на две палаты так, что у любого парламентария в одной с ним палате будет не более одного врага. (Считаем, что отношение вражды симметрично: если А — враг В, то В — враг А.)

581. а) Существует ли трёхзначное число, куб которого оканчивается на три семёрки?

б) Для любого ли набора цифр, последняя из которых — не 0, существует куб, оканчивающийся этим набором цифр?

582. В окружность с центром О вписан четырёхугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями. Докажите, что расстояние от точки О до любой его стороны равно половине длины противоположной стороны.

583. Рассмотрим набор камней, масса каждого из которых не больше 2 кг, а общая масса набора — 50 кг. Из такого набора выберем несколько камней, сумма масс которых отличается от 10 кг на наименьшее возможное для данного набора число D. Какое наибольшее значение может принять число D?

584. Можно ли представить всё пространство в виде объединения прямых, каждые две из которых — скрещивающиеся (то есть не лежат в одной плоскости)?

585. На химической конференции присутствовали N учёных — химиков и алхимиков, причём химиков было больше, чем алхимиков. На любой вопрос химики отвечают правдиво, а алхимики иногда говорят правду, иногда лгут. Оказавшийся на конференции математик про каждого учёного должен выяснить, химик тот или алхимик. Для этого он любому учёному может задать вопрос: «Кем является такой–то — химиком или алхимиком?» (В частности: «Кто Вы?») Докажите, что математик может выяснить всё, что требуется, а) за 4N вопросов; б) за 2N – 2 вопроса; в) постарайтесь придумать способ, позволяющий установить, кто — химик, а кто — алхимик, за меньшее число вопросов. (Авторам известен довольно громоздкий способ, позволяющий сделать это за [3N⁄2] вопросов.)

586. Биссектрисы AD и CE треугольника ABC, величина угла B которого равна 60°, пересекаются в точке I. Докажите равенство DI = IE.

587. Дана тройка положительных чисел 2, a, b, где a2 = 2 и ab =1. Разрешено любые два из них заменить вот какими: их суммой, делённой на a, и их разностью, также делённой на a. Можно ли, проделав эту процедуру несколько раз, получить тройку чисел 1, a, 1 + a?

588. а) Через точку, взятую внутри произвольного тетраэдра, параллельно его рёбрам проведены отрезки с концами на гранях тетраэдра. Докажите, что сумма всех шести отношений длин этих отрезков к длинам параллельных им рёбер равна трём.

б) Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для треугольника (на плоскости).

589. На плоскости дан набор из n векторов, длина каждого из которых не превосходит 1. Докажите, что, заменив некоторые векторы этого набора на противоположные, можно получить такой набор n векторов, длина суммы которых не превосходит квадратного корня из а) n; б) 2.

590. а) Найдите наименьшее значение выражения |cos x| + |cos 2x|.

Докажите, что для любого числа x и любого натурального n сумма |cos x| + |cos 2x| + |cos 4x| + ... + |cos 2nx| не меньше б) n⁄4; в) n⁄2.

591. Из суммы всевозможных дробей, числители которых равны 1, а знаменатели — нечётные числа от 1 до 1319, вычтем сумму всевозможных дробей, числители которых равны 1, а знаменатели — чётные числа от 2 до 1318. Докажите, что числитель полученной дроби делится на 1979. (Число 1979 — простое.)

592. Для любого треугольника проекция диаметра описанной окружности, перпендикулярного одной стороне треугольника, на прямую, содержащую вторую сторону, равна по длине третьей стороне. Докажите это.

593. Внутри окружности γ расположены n кругов. Докажите, что длина границы объединения этих кругов не превосходит длины окружности γ, если а) n = 2; б) центры всех n кругов лежат на одном диаметре окружности γ; в) все n кругов содержат центр окружности γ.

594. Найдите все действительные числа a, для которых существуют такие действительные неотрицательные числа x1, x2, x3, x4 и x5, что x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = a, x1 + 8x2 + 27x3 + 64x4 + 125x5 = a2 и x1 + 32x2 + 243x3 + 1024x4 + 3125x5 = a3.

595. Пусть A и E — противоположные вершины правильного восьмиугольника. В вершине A находится лягушка. Из любой вершины восьмиугольника, кроме вершины E, лягушка может прыгнуть в любую из двух соседних вершин. Попав в вершину E, лягушка останавливается и остаётся там. Пусть an — количество способов, которыми лягушка может попасть из вершины A в вершину E ровно за n прыжков. Докажите для любого натурального n, что a2n–1 = 0 и a2n равно делённой на корень из числа 2 разности (n – 1)–х степеней следующих двух чисел: два плюс корень из двух и два минус корень из двух.

596. Дана пятиугольная призма с основаниями A1A2A3A4A5 и B1B2B3B4B5. Каждое ребро оснований и все отрезки AjBk, где 1 £ jk £ 5, окрашены в красный или в зелёный цвет так, что в каждом треугольнике с вершинами в вершинах призмы, стороны которого окрашены, есть стороны разного цвета. Докажите, что все десять рёбер оснований окрашены одинаково.

597. Для каждого натурального числа n обозначим через xn сумму обратных величин первых n натуральных чисел.

а) Докажите существование предела разности xn – ln n при стремлении n к бесконечности. Обозначим этот предел буквой γ.

б) Для любых натуральных чисел m и n докажите неравенства 0 < xm + xn – xmn £ 1.

в) Найдите γ с точностью до 0,01.

598. Дана плоскость α, точка P на этой плоскости и точка Q вне этой плоскости. Найдите все точки R на плоскости α, для которых частное от деления суммы длин отрезков QP и PR к длине отрезка QR максимально возможно.

599. а) Сколькими нулями оканчивается число 456 + 654?

б) Укажите наибольшую степень числа 1979, на которую делится число 197819791980 + 198019791978. (Число 1979 — простое.)

600. Два велосипедиста едут по двум пересекающимся окружностям. Каждый едет по своей окружности с постоянной скоростью. Выехав одновременно из одной из точек их пересечения и сделав по одному обороту, велосипедисты вновь встретились в этой точке. Докажите, что на плоскости, в которой лежат окружности, существует такая неподвижная точка, расстояния от которой до велосипедистов всё время равны, если они едут а) в одном направлении (против часовой стрелки); б) в разных направлениях.

1980 год

601. Середина стороны BC любого треугольника ABC лежит на отрезке, соединяющем точку пересечения высот треугольника ABC с точкой описанной окружности треугольника ABC, диаметрально противоположной вершине A, и делит этот отрезок пополам. Докажите это.

602. В седьмой строке треугольника Паскаля есть три подряд стоящих числа, образующих арифметическую прогрессию. (Седьмая строка состоит из восьми чисел. Самую верхнюю строку треугольника Паскаля, состоящую из одной лишь единицы, принято считать строкой номер 0.)

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1...................

а) В какой следующей строке это повторится?

б) Какие строки треугольника Паскаля содержат арифметическую прогрессию из трёх подряд идущих чисел?

603. Решите систему уравнений: (3 – x)(x2 + y2) = 3x – y и y(x2 + y2) = x + 3y.

604. а) Андрей, Виктор и Сергей, плавающие под водой, одновременно вынырнули в точках A0, B0 и C0 и тут же нырнули снова, причём Андрей решил проплыть за минуту треть пути до Виктора, Виктор — треть пути до Сергея, а Сергей — треть пути до Андрея. Через минуту они вынырнули вновь (точки A1, B1 и C1 на рисунке) и повторили манёвр уже за полминуты, потом за четверть минуты и так далее. Где и когда они встретились?

б) Внутри сферы радиусом 1 км расположен миллион точек, занумерованных числами от 1 до миллиона. Каждую секунду одновременно каждая точка двигается к следующей по номеру на 1⁄3 расстояния до этой точки; последняя точка точно так же движется к первой. Докажите, что через некоторое время все точки соберутся внутри сферы радиусом 1 мм.

605. На плоскости отмечены 2n + 1 различных точек. Занумеруем их первыми 2n + 1 натуральными числами и рассмотрим следующее преобразование плоскости: сначала выполняем симметрию относительно первой точки, затем — относительно второй, третьей и так далее вплоть до (2n + 1)-й точки.

а) Докажите, что у этого преобразования есть единственная неподвижная точка (то есть точка, которая переходит в себя).

Рассмотрим всевозможные нумерации данных 2n + 1 точек числами от 1 до 2n + 1. Каждой такой нумерации соответствует своя композиция центральных симметрий и своя неподвижная точка. Рассмотрим множество F всех таких неподвижных точек.

б) Найдите множество F для n = 1.

в) Какое максимальное и какое минимальное количество точек может содержать множество F при каждом данном n = 1, 2, 4, 5, 6, 7, ...?

606. Функция f такова, что для любого действительного числа x сумма чисел f (x + 1) и f (x – 1) в корень квадратный из двух больше числа f (x). Докажите, что f — периодическая функция.

607. На равнобедренные трапеции можно разрезать а) квадрат; б) равнобедренный прямоугольный треугольник; в) любой треугольник. Докажите это.

608. На клетчатой бумаге (сторона клетки 1) нарисован n-угольник, все стороны которого лежат на линиях сетки и имеют нечётную длину.

а) Докажите, что n делится на 4.

б) Докажите, что при n = 100 площадь этого n-угольника обязательно нечётна. Выясните, какова чётность площади при других n.

609. а) Площадь многоугольника не превосходит произведения длин его проекций на две взаимно перпендикулярные прямые.

б) Объём многогранника не превосходит произведения длин его проекций на три взаимно перпендикулярные прямые.

в) Квадрат объёма выпуклого многогранника не превосходит произведения площадей его проекций на три взаимно перпендикулярные плоскости.

Докажите эти утверждения.

0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 2 0 1 2 0 2 2 1 2 2 2 2 2 0 0 3 0 1 3 0 2 3 0 3 3 1 1 3 1 2 3 1 3 3 2 3 3 3 3 3 610. Фиксируем натуральное число k.

а) Рассмотрим множество всех таких наборов целых неотрицательных чисел a1, a2, ..., ak, что a£ a£ ... £ ak; обозначим количество таких наборов буквой N. Рассмотрим среди них те наборы, в которых ak = k; обозначим их количество буквой M. Докажите равенство N = 2M.

б) Наложим на рассматриваемые наборы дополнительное ограничение: сумма a1 + a2 + ... + ak должна делиться на k. Обозначим соответствующие количества буквами n и m. Докажите равенство n = 2m. (Например, при k = 3 имеем M = 9, N = 18, m = 4 и n = 8.)

611. На хорде АВ окружности с центром О берём произвольную точка М. Через точки А, М и О проведём окружность, пересекающую первую окружность в точках А и С. Докажите равенство MB = MC.

612. Возрастающая последовательность натуральных чисел такова, что каждый следующий её член не более чем вдесятеро превосходит предыдущий. Докажите, что если все числа этой последовательности записать подряд без пробелов и запятых, то полученная последовательность цифр не будет периодической.

613. На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены подобные между собой треугольники ADB, BEC и CFA (а именно, AD : DB = BE : EC = CF : FA = k; величины углов ADB, BEC и CFA равны α). Докажите, что:

а) середины отрезков АС, DC, ВС и EF — вершины параллелограмма;

б) величины двух углов этого параллелограмма равны α, а отношение длин сторон равно k.

614. Для каждого натурального n через S(n) обозначим сумму цифр натуральных чисел от 1 до n. Например, S(1) = 1, S(2) = 1 + 2 = 3, S(3) = S(2) + 3 = 6,..., S(9) = 45, S(10) = S(9) + 1 + 0 = 46, S(11) = S(10) + 1 + 1 = 48, S(12) = S(11) + 1 + 2 = 51.

а) Найдите S(100).

б) Докажите равенство S(10k – 1) = 45k · 10k–1 для любого натурального k.

в) Для любого двузначного числа 10a + b, где a и b — цифры, величина S(10a + b) равна сумме числа 5a2 + ab + 41a и половины числа b(b + 1).

г) Найдите аналогичную формулу для трёхзначных чисел.

д) Вычислите S(1980).

615. Периметр любого сечения треугольной пирамиды плоскостью не превосходит наибольшего из периметров её граней. Докажите это.

616. Можно ли числа 1, 2,..., 30 разбить на группы по а) пять; б) шесть чисел так, чтобы суммы чисел во всех группах были одинаковыми?

в) При каких n и k числа 1, 2,..., nk можно разбить на n групп по k чисел так, чтобы суммы чисел во всех группах были одинаковыми?

617. Внутри треугольника расположены окружности α, β, γ и δ одинакового радиуса так, что каждая из окружностей α, β и γ касается двух сторон треугольника и окружности δ. Докажите, что центр окружности δ принадлежит прямой, проходящей через центры вписанной в данный треугольник окружности и окружности, описанной около него.

618. а) Существует бесконечно много таких натуральных чисел n, что n! делится на n2 + 1. Докажите это.

б) Для любого положительного числа α существует бесконечно много таких натуральных чисел n, что [αn]! делится на n2 + 1. Решение М618.

619. Если для вписанного четырёхугольника ABCD выполнено равенство CD = AD + BC, то биссектрисы его углов А и В пересекаются на стороне СD. Докажите это.

620. Пусть x1, x2,..., xn — действительные числа, сумма квадратов которых равна 1. Докажите, что сумма 2n модулей чисел ±x1 ± x2 ± ... ± xn (со всевозможными комбинациями знаков «+» и «–») не превосходит 2n.

621. Вокруг окружности описан n-угольник. Произвольная точка Р внутри окружности соединена со всеми его вершинами и точками касания. Образовавшиеся 2n треугольников окрашены попеременно в красный и синий цвет. Докажите, что произведение площадей красных треугольников равно произведению площадей синих треугольников.

622. Количество решений уравнения x2 + y2 = z2 + t2 + 1 в натуральных числах, не превосходящих 1 0000 000, меньше количества решений уравнения x2 + y2 = z2 + t2 в натуральных числах, не превосходящих 1 0000 000. Докажите это.

623. а) Сколько осей симметрии имеет куб? Правильная треугольная пирамида?

б) Если некоторый правильный многогранник имеет k осей симметрии, где k > 0, то k нечётно. Докажите это.

624. Найдите последовательность, первый член a1 которой равен 1, а каждый следующий таков, что для любого натурального числа n сумма чисел (–1)n ⁄ dad равна числу –1.

625. На координатной плоскости заданы четыре точки с рациональными координатами, не лежащие в вершинах параллелограмма, причём никакие три из них не принадлежат одной прямой. Разрешено проводить прямую через любые две уже полученные точки и отмечать точку пересечения любых двух проведённых прямых. Докажите, что множество точек, которые можно получить таким образом,— это множество всех точек плоскости с рациональными координатами, если четыре точки — вершины а) трапеции; б) произвольного четырёхугольника.

626. Каждая сторона выпуклого четырёхугольника разделена на 8 равных частей. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены друг с другом, и полученные клетки раскрашены в шахматном порядке. Докажите, что сумма площадей чёрных клеток равна сумме площадей белых клеток.

627. В каждой клетке бесконечного листа клетчатой бумаги записано натуральное число.

а) Пусть каждое из этих чисел встречается ровно один раз. (Приведите примеры такой расстановки чисел!) Докажите, что для любого заданного m найдутся две соседние (имеющие общую сторону) клетки, разность чисел которых не меньше m.

б) Пусть каждое натуральное число n встречается ровно n раз (то есть 1 — единожды, 2 — дважды и так далее). Укажите наибольшее число k такое, что обязательно найдутся две соседние клетки, разность чисел в которых не меньше k.

628. На сфере построен треугольник, одна «сторона» которого имеет величину 120°. Докажите, что «медиана», опущенная на эту «сторону», делится каждой из двух других «медиан» на две равные части. («Медианы» и «стороны» — дуги больших окружностей.)

629. Докажите следующие утверждения.

а) Число 22n–1 – 9n2 + 21n – 14 делится на 27 при любом натуральном n.

б) Если a, b, m — натуральные числа, а числа a + b и a2 + b2 делятся на m, то an + bn делится на m для любого натурального n.

в) Если a, b0, b1,..., bk, m — натуральные числа, а число f (n) = an + b0 + b1n + ... + bknk делится на m при n = 1, 2,..., k + 1, k + 2, то f (n) делится на m при любом натуральном n.

630. На плоскости даны окружность γ и точка K. Проведём через произвольные точки P, Q окружности γ и точку K окружность. Пусть М — точка пересечения прямой PQ с касательной к этой окружности, проведённой в точке K. Какое множество заполняют точки М?

631. Двузначные числа от 19 до 80 выписали подряд. Делится ли полученное число 1920212223...7980 на 1980?

632. Груз, упакованный в контейнеры, нужно доставить на орбитальную космическую станцию «Салют». Число контейнеров не меньше 35, общая масса груза 18 тонн. Имеется семь транспортных кораблей «Прогресс», каждый из которых может доставить на орбиту 3 тонны груза. Известно, что эти корабли могут одновременно доставить любые 35 из имеющихся контейнеров. Докажите, что они могут доставить на орбиту сразу весь имеющийся груз.

633. На диаметре АС некоторой окружности дана точка Е. Проведите через неё хорду ВD так, чтобы площадь четырёхугольника АВСD была наибольшей.

634. Обозначим через S(n) сумму всех цифр натурального числа n.

а) Существует ли такое натуральное n, что n + S(n) = 1980?

б) Хотя бы одно из любых двух последовательных натуральных чисел представимо в виде n + S(n) для некоторого третьего натурального числа n. Докажите это.

635. Коротышки, проживающие в Цветочном городе, вдруг стали болеть гриппом. В один день несколько коротышек простудились и заболели, и хотя потом уже никто не простужался, здоровые коротышки заболевали, навещая своих больных друзей. Известно, что каждый коротышка болеет гриппом ровно день, причём после этого у него по крайней мере ещё один день есть иммунитет, то есть он здоров и заболеть опять в этот день не может. Несмотря на эпидемию, каждый здоровый коротышка ежедневно навещает всех своих больных друзей. Когда началась эпидемия, коротышки забыли о прививках и не делают их. Докажите, что

а) если до первого дня эпидемии какие-нибудь коротышки сделали прививку и имели в первый день иммунитет, то эпидемия может продолжаться сколь угодно долго;

б) если же в первый день иммунитета ни у кого не было, то эпидемия рано или поздно кончится.

636. Множество А состоит из натуральных чисел, его наименьший элемент равен 1, а наибольший элемент равен 100. Каждый элемент множества А, кроме 1, равен сумме двух (возможно, равных) чисел, принадлежащих А. Укажите среди всех множеств А, удовлетворяющих этим условиям, множество с минимальным числом элементов.

637. Дан равносторонний треугольник АВС. Некоторая прямая, параллельная прямой АС, пересекает прямые АВ и ВС в точках М и Р соответственно. Точка D — центр треугольника РМВ, точка Е — середина отрезка АР. Определите углы треугольника DЕС.

638. Некоторые клетки бесконечного листа клетчатой бумаги выкрашены в красный цвет, остальные — в синий, причём так, что каждый прямоугольник из 6 клеток размером 2×3 содержит в точности две красные клетки. Сколько красных клеток может содержать прямоугольник из 99 клеток размером 9×11?

639. Рёбра AC и CB тетраэдра ABCD перпендикулярны. Перпендикулярны и рёбра AD и DB. Докажите, что косинус угла между прямыми АС и ВD меньше отношения CD/AB.

640. Число x лежит на отрезке [0; 1] и записано в виде бесконечной десятичной дроби. Переставив её первые 5 цифр после запятой, получаем новую бесконечную десятичную дробь, отвечающую некоторому новому числу x1. Переставив в десятичной записи числа x1 цифры со второй по шестую (после запятой), получаем десятичную запись числа x2. Вообще, десятичную запись числа xk получаем, переставляя в десятичной записи числа xk – 1 цифры с k-й по (k + 4)-ю (после запятой).

а) Докажите, что как бы ни переставляли цифры на каждом шаге, получаемая последовательность x1, x2, x3, ... всегда имеет некоторый предел.

б) Выясните, из каких рациональных чисел х можно ли с помощью такого процесса получить иррациональное число. Выясните, из каких рациональных чисел х можно с помощью такого процесса получить иррациональное число.

в) Придумайте такое число x, для которого описанный процесс всегда приводит к иррациональному числу, каковы бы ни были перестановки пятёрок цифр на каждом шаге.

641. Дан правильный шестиугольник АВСDEF с центром О. Точки M и N — середины сторон CD и DE. Прямые АМ и BN пересекаются в точке L. Докажите, что

а) площади треугольника АВL и четырёхугольника DMLN равны;

б) величины углов АLO и OLN равны 60°;

в) угол O и OLN равны 60°.

642. Каждое натуральное число представимо в виде a0 + 2a1 + ... + 2nan, где каждое из чисел a0, a1,..., an равно –1, 0 или 1, причём произведение любых двух соседних чисел последовательности a0, a1,..., an равно 0. Докажите это и докажите, что такое представление единственно. (Например, 1 = 1, 2 = 2, 3 = 4 – 1, 5 = 4 + 1, 6 = 8 – 2, 7 = 8 – 1, 9 = 8 + 1, 10 = 8 + 2, 11 = 16 – 4 – 1, 12 = 16 – 4 и 13 = 16 – 4 + 1.)

643. Карточки с числами 1, 2,..., 31, 32 сложены в стопку по порядку. Разрешено снять сверху любое число карточек и вложить их между некоторыми из оставшихся или под ними, не меняя порядка тех и других, а в остальном произвольно. Эту операцию назовём перемешиванием. Докажите, что за 5 перемешиваний можно

а) переложить карточки в обратном порядке;

б) разложить карточки в любом порядке.

в) Не всякий порядок карточек можно получить за 4 перемешивания. Докажите это.

644. а) Существует выпуклый 1980-угольник со сторонами длины 1, 2,..., 1980, величины всех углов которого равны. Докажите это.

б) Существует ли такой 1981-угольник?

645. В подвале три коридора, все выходы из которых закрыты. OA = OB = OC = 1. В подвале находятся инспектор Варнике и преступник. Варнике замечает преступника, если расстояние между ними не превосходит r. Он знает, что максимальная скорость преступника в два раза меньше его собственной максимальной скорости. В начальный момент инспектор находится в точке O и не видит преступника. Как должен действовать Варнике, чтобы наверняка поймать преступника, если а) r = l⁄3; б) r = l⁄4; в) r > l⁄5; г) r > l⁄7. Шириной коридоров и размерами людей пренебречь. (Варнике должен придумать такой план действий, чтобы, даже если преступник о нём заранее знает, преступник всё равно не мог ускользнуть.)

646. От точки на плоскости отложено чётное число векторов длины 1. Они раскрашены попеременно в красный и синий цвета. Докажите, что длина разности суммы красных векторов и суммы синих векторов не превосходит 2.

647. Для любых a и b, где 1⁄2 £ a £ b, квадрат половины разности квадратов чисел b и a не меньше разности квадратного корня из среднего арифметического чисел a2 и b2 и средним арифметическим чисел a и b. Докажите это.

648. Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то середины его сторон и основания перпендикуляров, опущенных из точки пересечения его диагоналей на стороны, лежат на одной окружности. Докажите это.

649. Обозначим через cn сумму обратных челичин первых n натуральных чисел. Докажите, что для любого натурального числа n сумма квадратов разностей чисел вида cn – ck, где k < n, равна половине разности числа n и квадрата числа cn.

650. Существует ли такая последовательность

а) натуральных чисел, что любое натуральное число единственным образом представимо в виде суммы нескольких её членов (сумма может состоять и из одного только слагаемого);

б) натуральных чисел, что число 1 не принадлежит последовательности, а любое другое натуральное число единственным образом представимо в виде суммы нескольких её членов (сумма может состоять и из одного только слагаемого);

в) целых чисел, что 0 не принадлежит последовательности и не является суммой никакого множества её членов, а любое целое число, отличное от 0, единственным образом представимо в виде суммы нескольких её членов (сумма может состоять и из одного только слагаемого);

г) целых чисел, что ни 0, ни 1 не принадлежат последовательности и не являются суммами никакого множества её членов, а любое целое число, отличное от 0 и 1, единственным образом представимо в виде суммы нескольких её членов (сумма может состоять и из одного только слагаемого)?

651. Дама сдавала в багаж диван, чемодан, саквояж, корзину, картину, картонку и маленькую собачонку. Диван весил столько же, сколько чемодан и саквояж, вместе взятые, и столько же, сколько корзина, картина и картонка, вместе взятые. Картина, корзина и картонка весили поровну, и каждая из них больше, чем собачонка. Когда выгружали багаж, дама заявила, что собака не той породы. При проверке оказалось, что собака перевешивает диван, если с ней на весы добавить саквояж или чемодан. Докажите, что претензия дамы была справедлива.

652. Женя разрезал выпуклый картонный многогранник на грани (по рёбрам) и послал этот набор граней по почте Вите. Витя склеил из всех этих граней выпуклый многогранник. Могло ли случиться, что многогранники Жени и Вити не конгруэнтны?

653. Имеется линейка с двумя делениями. С помощью линейки можно проводить произвольные прямые и откладывать отрезки определённой длины. Постройте с её помощью

а) какой-нибудь прямой угол;

б) прямую, перпендикулярную данной прямой.

654. Верно ли такое утверждение: из любых шести натуральных чисел можно выбрать три числа, любые два из которых не имеют общих делителей, больших 1, или можно выбрать три числа, имеющие общий делитель, больший 1?

655. На столе у чиновника Министерства околичностей лежат n томов Британской энциклопедии, сложенной в несколько стопок. Каждый день, придя на работу, чиновник берёт из каждой стопки по одному тому и складывает взятые тома в новую стопку, затем располагает стопки по количеству томов (в невозрастающем порядке) и заполняет ведомость, в которой указывает количество томов в каждой стопке. Кроме этого, чиновник никогда ничего не делает.

а) Какая запись будет сделана в ведомости через месяц, если общее количество томов n = 3, 6 или 10? (Начальное расположение произвольно.)

б) Если общее число томов имеет вид k(k + 1) ⁄ 2, где k — натуральное число, то начиная с некоторого дня ведомость будет заполняться одинаковыми записями. Докажите это.

в) Исследуйте, что будет через много дней работы при других значениях величины n.

656. В пространстве имеются 30 ненулевых векторов. Докажите, что среди них найдутся два, величина угла между которыми меньше 45°.

657. В квадратной таблице, заполненной числами, все строки различны. Докажите, что из таблицы можно вычеркнуть некоторый столбец так, что в оставшейся таблице все строки также будут различны.

658. В квадрате со стороной 1 проведено конечное количество отрезков, параллельных его сторонам. Отрезки могут пересекать друг друга. Сумма длин проведённых отрезков равна 18. Докажите, что среди частей, на которые квадрат разбивается этими отрезками, найдётся такая, площадь которой не меньше 0,01.

659. Докажите следующие свойства последовательности Фибоначчи, первые два члена которой равны 1, а каждый следующий равен сумме двух предыдущих: φ1 = φ2 = 1 и φn+2 = φn+1 + φn для любого натурального n.

а) Каждое натуральное число является числом Фибоначчи или суммой двух или более разных чисел Фибоначчи.

б) Количество таких представлений любого данного натурального числа в виде суммы чётного числа слагаемых отличается от количества таких представлений в виде суммы нечётного числа слагаемых не более чем на 1.

в) Если перемножить несколько подряд стоящих двучленов из последовательности 1 – x, 1 – x2, 1 – x3, 1 – x5,..., 1 – xφn, ..., то все коэффициенты полученного многочлена равны –1, 0 или 1.

г) Любое натуральное число, начиная с числа 2, можно, причём единственным образом, представить в виде суммы различных чисел Фибоначчи, которая вместе с каждым слагаемым содержит хотя бы одно из двух предшествующих чисел Фибоначчи (если хоть одно такое существует): 2 = φ2 + φ1, 3 = φ3 + φ1, 4 = φ3 + φ2 + φ1, 5 = φ4 + φ2 + φ1, 6 = φ4 + φ3 + φ1, 7 = φ4 + φ3 + φ2 + φ1, 8 = φ5 + φ3 + φ1, 9 = φ5 + φ3 + φ2 + φ1, 10 = φ5 + φ4 + φ2 + φ1, ... (Известные нам доказательства утверждений б) и в) опираются именно на это утверждение.)

660. На окружности расставлены синие и красные точки. Разрешено добавить одну точку и одновременно поменять цвет обеих её соседних точек, либо убрать красную точку и поменять цвет обеих её бывших соседок. Первоначально было всего две красные точки. Меньше двух точек оставлять нельзя. Можно ли несколькими такими операциями получить на окружности а) две точки — синюю и красную; б) 8 красных точек; в) 8 красных точек; г) одну красную и 6 синих точек?

1981 год

661. На берегу круглого озера четыре пристани K, L, P и Q. От пристани K отплывает катер, от L — лодка. Если катер поплывёт прямо в P, а лодка — прямо в Q, то они столкнутся в некоторой точке X озера. Докажите, что если катер поплывёт в Q, а лодка в P, то они достигнут этих пристаней одновременно.

662. В копилке собрано четыре рубля медными монетами (по 1, 3 и 5 копеек). Докажите, что этими монетами можно заплатить три рубля без сдачи.

663. Найдите все такие простые числа p, что число 2p + p2 тоже простое.

664. Дан четырёхугольник ABCD. Обозначим точки пересечения высот треугольников ABC, BCD, CDA и DAB буквами N, K, L и M соответственно. Докажите равенство площадей четырёхугольников NKLM и ABCD.

665. Световое табло состоит из нескольких ламп, каждая из которых может находиться в двух состояниях (гореть или не гореть). На пульте несколько кнопок, при нажатии каждой из которых одновременно меняется состояние некоторого набора ламп (для каждой кнопки — своего). Вначале лампы не горят.

а) Докажите, что число различных узоров, которые можно получить на табло,— степень двойки.

б) Сколько различных узоров можно получить на табло, состоящем из mn лампочек, расположенных в форме прямоугольника размером m×n, если кнопками можно переключить как любой горизонтальный, так и любой вертикальный ряд ламп? (Проверьте ваш ответ для небольших значений m и n.)

в) Придумайте другие примеры табло и наборов (переключаемых кнопками), в которых можно найти число узоров.

666. Наименьшее общее кратное любых n натуральных чисел a1 < a2 < ... < an не меньше na1. Докажите это.

667. Постройте треугольник AВС, если заданы его наименьший угол A и отрезки с длинами d = AB – BC и e = AC – BC.

668. Последовательность x1, x2, x3,... определена условиями x1 = 1, x2 = 0, x3 = 2, xn+1 = xn–2 + 2xn–1. Докажите, что для любого натурального m существуют два соседних члена этой последовательности, каждый из которых кратен m.

669. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Докажите, что

а) отрезок, соединяющий середины дуг AB и CD, перпендикулярен отрезку, соединяющему середины дуг BC и AD;

б) центры окружностей, вписанных в треугольники АВС, ВСD, СDA и DAB, являются вершинами прямоугольника.

670. Дано несколько точек, некоторые пары которых соединены линиями (точки таких пар называем соседями). Число соседей у каждой точки нечётно. В начальный момент все точки раскрашены в два цвета — красный и синий. Затем каждую минуту происходит одновременное перекрашивание точек по следующему правилу: каждая точка, у которой большинство соседей имеет отличный от неё цвет, меняет свой цвет; в противном случае её цвет сохраняется. а) Докажите, что наступит момент, начиная с которого у некоторых точек цвет не будет меняться, а у некоторых будет меняться каждую минуту.

б) Останется ли это утверждение верным, если не предполагать, что у каждой точки число соседей нечётно?

671. Во вписанном четырёхугольнике одна диагональ делит вторую пополам. Докажите, что квадрат длины первой диагонали равен половине суммы квадратов длин всех сторон четырёхугольника.

672. Пусть a — такое натуральное число, что 2a – 2 делится на a (например, a = 3). Рассмотрим последовательность, первый член которой равен x1 = a, а каждый следующий член xn+1, где n = 1, 2, 3,..., получаем, вычитая единицу из числа 2, возведённого в степень xn. Докажите, что для любого натурального n число xn является делителем числа 2xn – 2.

673. На плоскости в вершинах треугольника лежат три шайбы A, B и C. Хоккеист выбирает одну из них и бьёт по ней так, что она проходит между двумя другими и останавливается в какой-то точке.

а) Покажите, как после пяти ударов шайба сможет вернуться на своё место, а шайбы A и B поменяться местами.

б) Могут ли все три шайбы A, B и C вернуться на свои прежние места после 25 ударов?

674. На сторонах BC, CA и AB остроугольного треугольника взяты точки A', B' и С' соответственно. Центр описанной окружности треугольника ABC совпал с точкой пересечения высот треугольника A'B'C'. Докажите подобие треугольников ABC и A'B'C'.

675. Системой разновесов назовём множество натуральных чисел, из которого нельзя извлечь два различных подмножества с одинаковой суммой (например, числа 24, 23, 22, 20, 17, 11 образуют систему разновесов, а числа 1, 2, 3, 4, 5, 8 не образуют: 2 + 3 + 4 = 1 + 8). Докажите, что из чисел, меньших 1000, можно выделить систему разновесов из а) 10; б) 11 чисел.

в) Докажите, что 14 чисел из них выбрать нельзя.

г) Докажите, что если числа образуют систему разновесов, то сумма их обратных величин не превосходит 5⁄2.

д) Выберите из чисел, меньших 700, систему разновесов из 11 чисел.

676. Для любого натурального m сумма цифр десятичной записи числа 1981m не меньше 19. Докажите это.

677. Внутри остроугольного треугольника АВС выбрана точка М, являющаяся точкой пересечения а) медиан; б) биссектрис; в) высот. Если радиусы окружностей, вписанных в треугольники АМВ, МВС, АМС, равны, то треугольник АВС равносторонний. Докажите это.

678. 2m-значное число назовём справедливым, если его чётные разряды содержат столько же чётных цифр, сколько и нечётные. Докажите, что в любом (2m + 1)-значном числе можно вычеркнуть одну из цифр так, чтобы полученное 2m-значное число было справедливым.

(Пример для числа 12345 показан на рисунке.)

679. а) На плоскости расположены четыре круга так, что первый касается второго в точке A, второй третьего — в точке B, третий четвёртого — в точке C, а четвёртый первого — в точке D. Докажите, что через четыре названные точки можно провести окружность или прямую.

б) В пространстве расположены четыре шара так, что первый касается второго в точке A, второй третьего — в точке В, третий четвёртого — в точке С, а четвёртый первого — в точке D. Докажите, что через четыре названные точки лежат в одной плоскости.

в) В пространстве расположены четыре шара так, что каждый касается трёх других. Докажите, что шесть точек касания принадлежат одной сфере или одной плоскости.

680. Два связиста играют в такую игру. Имеются n телефонных узлов, и связисты по очереди соединяют кабелем два из них по своему выбору. Выигрывает тот, после хода которого с любого узла можно будет дозвониться до любого другого (быть может, через несколько промежуточных; начало игры изображено на рисунке).

а) Выясните, кто выигрывает при n = 4, 5, 6, 7, 8 — начинающий или его партнёр?

в) Каков ответ при произвольном n?

в) Пусть игрок, связавший все узлы, проигрывает. Ответьте на вопросы пунктов а) и б) для этой новой игры.

г) Пусть вначале каждые два узла связаны кабелем, а связисты убирают по очереди по одному соединению. Игрок, нарушивший связность схемы, проигрывает. Вопрос тот же: кто выигрывает при правильной стратегии для n = 4, 5, 6, 7, 8? А для произвольного n?

Замечание. Можно было бы рассмотреть четвёртый вариант: считать, что в пункте г) игрок, нарушивший связность, выигрывает. Полное исследование этого варианта игры автору неизвестно.

681. а) Придумайте такие натуральные числа a, b, c и d, что числа a2 + b2, a2 + b2 + c2 и a2 + b2 + c2 + d2 — квадраты целых чисел.

б) Существует ли такая последовательность, состоящая из квадратов натуральных чисел, что при любом n сумма n её первых членов — квадрат целого числа?

682. Внутри треугольника нужно расположить другой треугольник так, чтобы у каждого из трёх квадратов, построенных на сторонах внутреннего треугольника во внешнюю сторону, две вершины лежали на разных сторонах исходного треугольника.

а) Докажите, что медианы исходного треугольника перпендикулярны сторонам внутреннего треугольника.

б) Для любого ли исходного остроугольного треугольника такое построение возможно?

683. Несколько одинаковых кругов положили на стол так, что никакие два не перекрываются. Докажите, что круги можно раскрасить в четыре цвета так, что любые два касающихся круга будут окрашены в разные цвета. Нарисуйте расположение кругов, при котором трёх цветов для такой раскраски недостаточно.

684. Двое играют в следующий вариант «морского боя». Один игрок располагает на доске n×n несколько непересекающихся «кораблей» n×1 (быть может, ни одного). Второй игрок наносит одновременно ряд ударов по полям доски и про каждое поле получает от противника ответ — попал или промахнулся. По какому минимальному числу полей следует нанести удары, чтобы по ответу противника можно было однозначно определить расположение всех его кораблей? Рассмотрите случаи, когда n равно а) 4; б) 10. в) А если n — любое натуральное число?

685. Два подмножества множества натуральных чисел называют конгруэнтными, если одно получается из другого сдвигом на целое число. (Например, множества чётных и нечётных чисел конгруэнтны.) Можно ли разбить множество натуральных чисел на бесконечное число (не пересекающих друг друга) бесконечных конгруэнтных подмножеств?

686. Для любого ли числа x, удовлетворяющего неравенству x ³ 1, целая часть квадратного корня из целой части квадратного корня числа x равна целой части квадратного корня из квадратного корня числа x?

687. а) В девятиугольной пирамиде все 9 боковых рёбер и все 27 диагоналей основания окрашены: некоторые — в красный цвет, остальные — в синий. Докажите, что существуют три вершины пирамиды, служащие вершинами треугольника, все стороны которого одного цвета.

б) Верно ли аналогичное утверждение для восьмиугольной пирамиды?

688. Ни одно из натуральных чисел a1, a2,..., an не превосходит своего номера; сумма всех их чётна. Докажите, что сумма нескольких из данных чисел равна сумме остальных данных чисел.

689. Из равнобедренных трапеций с основаниями 3 см и высотой 1 см нельзя составить прямоугольник. Докажите это.

690. а) Внутри выпуклого многоугольника с площадью S1 и периметром P1 расположен выпуклый многоугольник с площадью S2 и периметром P2. Докажите неравенство 2S1P2 > S2P1.

б) Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для выпуклых многогранников.

691. а) Найдите хотя бы одно такое k, что некоторое натуральное число можно представить как в виде произведения k последовательных чисел, бóльших 1, так и в виде произведения k + 2 таких чисел.

б) Никакое произведения двух последовательных натуральных чисел нельзя представить в виде произведения четырёх последовательных натуральных чисел. Докажите это.

692. Точки C1, A1 и B1 так взяты на сторонах, соответственно, АВ, ВС и СА треугольника ABC, что

АС1 : С1В = ВA1 : A1С = CB1 : BA1 = 1 : 3.

Докажите, что периметр Р треугольника AВС и периметр Р1 треугольника А1В1С1 связаны неравенствами а) 4Р1 < 3P; б) 2Р1 > P.

693. В некотором посёлке 1000 жителей. Ежедневно каждый из них делится узнанными накануне новостями со всеми своими знакомыми. Любая новость становится известной всем жителям посёлка. Докажите, что можно выбрать 90 жителей так, что если одновременно всем им сообщить какую-то новость, то через 10 дней её будут знать все жители посёлка.

694. В каждой вершине куба записано число. За один шаг к двум числам, размещённым на одном (любом) ребре, прибавляют по единице. Можно ли за несколько таких шагов сделать все восемь чисел равными между собой, если вначале числа были поставлены, как на а) левом; б) среднем; в) правом рисунке?

695. Можно ли все клетки какой-нибудь прямоугольной таблицы окрасить в белый и чёрный цвета так, чтобы чёрных и белых клеток было поровну, а в каждой строке и в каждом столбце было более 3⁄4 клеток одного цвета?

696. Можно ли таблицу 10×10 клеток заполнить различными натуральными числами так, чтобы для любого квадрата k×k клеток, где 2 £ k £ 10, а) суммы; б) произведения k чисел на его диагоналях были одинаковы?

697. Назовём пузатостью прямоугольника отношение его меньшей стороны к большей (пузатость квадрата равна 1). Докажите, что, как бы ни разрезать квадрат на прямоугольники, сумма их пузатостей будет не меньше 1.

698. На сторонах a, b, c и d вписанного в окружность четырёхугольника «наружу» построены прямоугольники размерами a×c, b×d, c×a и d×b. Докажите, что центры этих прямоугольников являются вершинами а) параллелограмма; б) прямоугольника.

699. Полукруг с диаметром АВ разрезан отрезком СD, перпендикулярным АВ, на два криволинейных треугольника АСD и ВСD, в которые вписаны окружности, касающиеся АВ в точках Е и F. Докажите, что а) AD = AF; б) DF — биссектриса угла BDC; в) величина угла ЕDF не зависит от выбора точки С на АВ.

700. Можно ли множество всех конечных десятичных дробей разбить на а) два; б) три класса так, чтобы ни в один из классов не попали два числа, разность которых — степень числа 10, то есть число вида 10n, где n — целое?

701. Люда, Марина и Наташа нарисовали остроугольный треугольник LMN. Затем Люда построила свой треугольник, у которого длины двух сторон равны LM и LN, а величина угла между ними на 60° больше величины угла L треугольника LMN. Аналогично Марина построила свой треугольник со сторонами длинами ML и MN, величина угла между которыми на 60° больше величины угла M, а Наташа — свой, у которого величина угла между сторонами длин NL и NM на 60° больше величины угла N. Докажите, что третьи (новые) стороны трёх построенных треугольников одинаковы.

702. Обозначим через Sn сумму первых n простых чисел: S1 = 2, S2 = 2 + 3 = 5, S3 = 2 + 3 + 5 = 10, S4 = S3 + 7 = 17 и так далее. Докажите, что для любого натурального n между Sn и Sn+1 есть хотя бы один точный квадрат.

703. Решите систему уравнений 3(x + 1⁄x) = 4(y + 1⁄y) = 5(z + 1⁄z),   xy + yz + zx = 1.

704. Вокруг квадрата описан параллелограмм (вершины квадрата лежат на разных сторонах параллелограмма). Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, тоже являются вершинами квадрата.

705. На прямоугольном листе клетчатой бумаги расположено несколько прямоугольных карточек, стороны которых лежат на линиях сетки. Карточки покрывают лист в два слоя (то есть каждую клетку листа покрывают в точности две карточки). Передвигать карточки нельзя.

а) Пусть карточки имеет размеры 1×2 клетки. Докажите, что можно выбрать часть карточек так, чтобы они покрыли лист в один слой.

Останется ли это верным, если карточки б) произвольных размеров; в) размера 1×3 клетки?

706. Из центра каждой из двух данных окружностей проведены касательные к другой окружности. Докажите, что длины хорд, соединяющих точки пересечения касательных с окружностями (на рисунке эти хорды показаны красным цветом), равны.

707. Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причём для любой пары учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдётся кружок, где занимаются не менее 2⁄3 учеников этого класса.

708. На сторонах выпуклого четырёхугольника площади S вне него построены квадраты, центры которых служат вершинами нового четырёхугольника площади S1.

а) Докажите неравенство S1³ 2S.

б) Докажите, что S1 = 2S тогда и только тогда, когда диагонали исходного четырёхугольника равны по длине и взаимно перпендикулярны.

709. Пол комнаты, имеющей форму правильного шестиугольника со стороной 10, заполнен плитками, имеющими форму ромба со стороной 1 и острым углом 60°. Разрешено вынуть три плитки, составляющие правильный шестиугольник со стороной 1, и заменить их расположение другим, как показано на рисунке. Докажите, что

а) из любого расположения плиток такими операциями можно получить любое другое;

б) это можно сделать не более чем за 1000 операций;

в) из расположения плиток нижнего левого рисунка нельзя получить расположение рисунка нижнего правого менее чем за 1000 операций.

710. Существует ли такая возрастающая последовательность натуральных чисел, ни один из членов которой не равен сумме нескольких остальных, что n-й член этой последовательности для любого натурального числа n не превосходит числа а) 2 · 3n/2; б) 10 · 1,5n; в) n10; г) 1000 · n7/2; д) 1000 · n3/2?

711. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность с центром O, взаимно перпендикулярны. Докажите, что ломаная АОС делит четырёхугольник на две части равной площади.

712. Любое положительное число можно представить в виде суммы девяти чисел, десятичные записи которых содержат только цифры 0 и до 7. Докажите это.

713. М — множество точек на плоскости. Точку О плоскости называем «почти центром симметрии» множества М, если из М можно выбросить одну точку так, что для оставшегося множества точка О является центром симметрии. Сколько «почти центров симметрии» может иметь конечное множество?

714. N друзей одновременно узнали N новостей, причём каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями. За один разговор можно передать сколько угодно новостей. Какое минимальное количество звонков необходимо, чтобы все узнали все новости? Рассмотрите три случая: а) N = 64; б) N = 55; в) N = 100.

715. Прямой угол разбит на одинаковые клетки. На некоторых клетках стоят фишки, причём расположение фишек можно преобразовывать так: если для некоторой фишки соседняя сверху и соседняя справа клетки свободны, то в эти клетки ставим по фишке, а старую фишку убираем. Вначале в угловую клетку ставим одну лишь фишку. Можно ли указанными операциями освободить от фишек уголки из а) трёх; б) шести; в) десяти клеток, показанные на рисунках?

716. Из точки P внутри данного треугольника АВС опущены перпендикуляры PA1, PB1 и PC1 на прямые ВС, АС и АВ. Для каких точек P внутри треугольника АВС сумма отношений BC/PA1, CA/PB1 и AB/PC1 принимает наименьшее значение?

717. Рассмотрим всевозможные подмножества множества {1, 2, ..., n}, состоящие из r чисел, и в каждом выберем наименьшее число. Докажите, что среднее арифметическое всех выбранных чисел равно (n + 1) / (r + 1). Например, при n = 3 и r = 2 получаем три подмножества {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, и среднее арифметическое равно (1 + 1 + 2) / 3 = 4⁄3.

718. Найдите наибольшее значение выражения вида m2 + n2 для таких всевозможных пар (mn) натуральных чисел, что m £ 1981, n £ 1981 и ½n2 – mn – m2½ = 1.

719. а) Для каких n ³ З существует множество из n последовательных натуральных чисел, обладающих следующим свойством: наибольшее из этих n чисел является делителем наименьшего общего кратного остальных n – 1 чисел?
б) При каких n ³ З существует единственное множество из n последовательных чисел, обладающих указанным свойством?

720. Функция f определена на множестве всех пар неотрицательных целых чисел (xy) и для любых неотрицательных целых x и y удовлетворяет равенствам

  • f (0; y) = y + 1,
  • f (x + 1; 0) = f (x; 1),
  • f (x + 1; y + 1) = f (x; f (x + 1; y)).

Вычислите f (4; 1981).

1982 год

721. Каждая сторона треугольника поделена на три равные части. Точки деления служат вершинами двух треугольников, пересечение которых — шестиугольник. Найдите отношение площади этого шестиугольника к площади исходного треугольника.

722. В вершинах n-угольника расставлены в некотором порядке первые n натуральных чисел.

а) Докажите, что сумма n модулей разностей соседних чисел не меньше 2n – 2.

б) Для какого количества расстановок эта сумма равна 2n – 2?

723. Существует ли такое бесконечное множество натуральных чисел, что ни одно из чисел этого множества и никакая сумма нескольких из них не является степенью натурального числа (ak, где a и k — натуральные числа, k > 1)?

724. По плоскости ползут несколько черепах, скорости которых равны по величине, но различны по направлению. Докажите, что как бы черепахи ни были расположены вначале, через некоторое время они окажутся в вершинах выпуклого многоугольника.

725. Пусть qn — сумма n-х степеней косинусов углов величиной 180°/7, 540°/7 и 900°/7. Найдите а) q1 и q2; б) q3 и q4. в) Докажите, что qn — рациональное число при любом натуральном n.

726. Точку внутри правильного 2n-угольника соединили с вершинами. Возникшие 2n треугольников раскрасили попеременно в голубой и красный цвет. Докажите, что сумма площадей голубых треугольников равна сумме площадей красных для а) n = 4; б) n = 3; в) любого натурального n.

727. Докажите неравенство a2 + b2 + c2 + 2abc < 2, где a, b, c — длины сторон треугольника периметра 2.

728. Пусть А, В, С — вершины параллелепипеда, соседние с его вершиной P, а Q — вершина, противоположная Р. Докажите, что

а) расстояния от точек А, В и С до прямой РQ являются длинами сторон некоторого треугольника;

б) площадь S этого треугольника, объём V параллелепипеда и длина d его диагонали PQ связаны соотношением V = 2dS.

729. Найдите натуральное число, обладающее свойством: если записать рядом его квадрат и его куб, а затем переставить написанные цифры в обратном порядке, получится шестая степень этого числа.

730. Последовательность a1, a2, a3,... определена условиями a1 = 0 и a2n+1 = a2n = n – an для любого натурального n. Например, a10 = 5 – a5 = 5 – (2 – a2) = 3 + (1 – a1) = 4:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 an 0 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6

а) Найдите a1982.

б) Каждое натуральное число входит в последовательность 2 или 4 раза. Докажите это. Сколько раз встретится в последовательности число 2k (при каждом натуральном k)?

в) Разность an – an–1 равна 1, если в разложение числа n на простые множители число 2 входит в нечётной степени, и 0 — в противном случае. Докажите это.

г) an = n⁄3 для бесконечного множества значений n. Докажите это.

д) Найдётся ли n такое, что разность ½an – n⁄3½ больше 1982?

е) Частное от деления an на n стремится к 1⁄3 при стремлении n к бесконечности. Докажите это.

731. Двое играют в такую игру: первый называет натуральное число от 2 до 9; второй умножает это число на произвольное натуральное число от 2 до 9; затем первый умножает результат на любое натуральное число от 2 до 9 и так далее; выигрывает тот, кто первым получит произведение больше а) тысячи; б) миллиона. Кто выигрывает при правильной игре — начинающий или его партнёр?

732. а) В треугольник ABC вписаны два разных прямоугольника так, что на основании AC лежат по две вершины каждого прямоугольника (а на сторонах AB и BC — по одной). Периметр каждого из прямоугольников равен 10. Найдите площадь треугольника ABC и докажите, что периметр любого вписанного в треугольник ABC прямоугольника, две вершины которого лежат на AC, тоже равен 10.

б) В четырёхугольник ABCD вписаны два прямоугольника с параллельными сторонами (так, что на каждой из сторон AB, BC, CD и DA лежит по одной вершине каждого прямоугольника). Периметр каждого из прямоугольников равен 10. Найдите площадь четырёхугольника ABCD и докажите, что для любой точки на любой из сторон четырёхугольника ABCD можно построить вписанный прямоугольник с вершиной в этой точке, стороны которого параллельны сторонам данного прямоугольникa и периметр которого также равен 10.

733. а) При каких натуральных m число 31m – 1 делится на 2m?

б) Для любого нечётного а и натурального m существует бесконечно много таких натуральных k, что ak – 1 делится на 2m. Докажите это.

в) Для любого нечётного а существует лишь конечное число таких натуральных m, что ak – 1 делится на 2m. Докажите это.

734. Биссектриса угла А треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке K. Докажите, что длина проекции отрезка AK на прямую AB равна полусумме длин сторон AB и AC.

735. а) Круг диаметром 1 нельзя покрыть несколькими бумажными полосами, сумма ширин которых меньше 1. Докажите это.

б) Назовём слоем толщины h часть пространства, заключённого между параллельными плоскостями, находящимися на расстоянии h друг от друга. Докажите, что шар диаметром 1 нельзя покрыть несколькими слоями, сумма толщин которых меньше 1.

736. Медиана ВK и биссектриса СL треугольника АВС пересекаются в точке Р. Докажите равенство

PC · BCAC · PL = PL · BC.

737. Обозначим через dk количество тех домов некоторого города, в которых живёт не меньше k жителей, а через cm — количество жителей в m-м по величине населения доме. Докажите равенства
а) c1 + c2 + c3 +... = d1 + d2 + d3 +...;
б) c12 + c22 + c32 +... = d1 + 3d2 + 5d3 +... + (2k – 1)dk +...;
в) d12 + d22 + d32 +... = c1 + 3c2 + 5c3 +... + (2k – 1)ck +...

738. а) Количество прямых различных направлений, на которые данный n-угольник даёт одинаковые по величине проекции, не превосходит 2n;

б) максимальное число таких прямых для любого многоугольника чётно;

в) для треугольника это число больше трёх тогда и только тогда, когда треугольник остроугольный.

Докажите эти утверждения.

739. а) При любом значении х, для которого левая часть равенства имеет смысл, докажите равенство tg x + tg (x + 60°) + tg (x + 120°) = 3tg x · tg (x + 60°) · tg (x + 120°).

б) Для любого нечётного натурального числа n существует такое число cn, что для любого числа x, для которого все нижеупомянутые тангенсы существуют, сумма тангенсов чисел вида x + πkn, где 0 £ k < n, равна произведению числа cn на произведение этих тангенсов.

в) Для каждого нечётного натурального числа n вычислите cn.

740. Серёжа насыпал в цилиндрическую кастрюлю немного пшена и спросил соседку тетю Люду:
— Сколько нужно налить воды, чтобы получилась вкусная каша?
— Это очень просто,— ответила соседка. — Наклони кастрюлю — вот так; постучи, чтобы крупа пересыпалась и закрыла ровно половину дна. Теперь заметь точку на кастрюле, ближайшую к краю, до которой поднялась крупа — и зажми её пальцем! До этого уровня и надо налить воду.
— Так ведь пшена можно насыпать побольше и поменьше, да и кастрюли бывают разные — широкие и узкие,— усомнился Серёжа.
— Всё равно, мой способ годится в любом случае!— гордо ответила тетя Люда.

а) Докажите, что тетя Люда права: отношение объёмов воды и пшена по её рецепту всегда одно и то же.

б) Чему равно это отношение?

741. а) Найдите хотя бы одно натуральное число, которое делится на 30 и имеет ровно 30 различных делителей (включая 1 и само число).

б) Укажите все такие числа.

742. На а) окружности; б) сфере радиусом 1 расположены n точек. Докажите, что сумма квадратов расстояний между ними не превышает n2.

743. В стране n городов.

а) Между любыми двумя городами имеется прямое сообщение самолетом или пароходом. Докажите, что, пользуясь лишь каким-то одним видом транспорта, из любого города можно попасть в любой другой (возможно, с пересадками).

б) Между любыми двумя городами имеется прямое сообщение самолетом, поездом или пароходом. Докажите, что можно выбрать не менее n⁄2 городов и один из трёх видов транспорта так, что, пользуясь им одним, из любого выбранного города можно попасть в любой другой выбранный город.

в) Приведите пример, доказывающий, что в утверждении б) заменить число n⁄2 бóльшим, вообще говоря, нельзя.

744. В треугольник АВС вписан подобный ему треугольник А1В1С1 (вершины А1, В1, С1 углов, равных по величине углам А, B и C, лежат соответственно на отрезках ВС, СА и АВ). Пусть А0, В0, С0 — точки пересечения прямых 1 и 1, АA1 и 1, BB1 и AA1. Докажите, что шесть окружностей, описанных около треугольников АВС0, ВСA0, АСB0, А1В1С0, A1C1B0 и B1C1A0, пересекаются в одной точке.

745. а) Ни одно из чисел d1, d2, d3,... не превосходит по абсолютной величине числа 1. Докажите, что существует такая последовательность s1, s2, s3,..., состоящая из чисел 1 и –1, что для всех натуральных n сумма чисел d1s1, d2s2,..., dnsn по абсолютной величине не превосходит 1.

б) Для каждого натурального n задана тройка чисел (anbncn), сумма которых an + bn + cn  равна нулю и ни одно из которых не превосходит по абсолютной величине числа 1. Построим новую последовательность троек (xnynzn), в которой x0 = y0 = z0 = 0, а каждая очередная тройка (xnynzn) получается из предыдущей тройки (xn–1, yn–1, zn–1) прибавлением к xn–1 одного из чисел anbn и cn по нашему выбору, к yn-1 — другого, к zn-1 — третьего. Можем ли мы всегда добиться того, что все числа xn, yn и zn будут по абсолютной величине не больше 1 или хотя бы ограничены некоторой константой?

в) Ответьте на аналогичный вопрос для последовательностей четвёрок чисел.

746. Бумажный квадрат складываем пополам по некоторой прямой l, проходящей через его центр, в невыпуклый девятиугольник. Как нужно провести прямую l, чтобы:

а) площадь полученного девятиугольника была максимальной?

б) в нём помещалась окружность наибольшего возможного радиуса?

747. а) Сумма n чисел равна 0, сумма их модулей равна a. Докажите, что разность между наибольшим и наименьшим из них не меньше 2a/n.

б) Внутри выпуклого n-угольника А1A2A3...An выбрана точка O так, что сумма векторов равна нулевому вектору, а сумма их длин равна d. Докажите, что периметр этого n-угольника не меньше 4d/n.

в) Можно ли улучшить эту оценку (при некоторых n)?

748. а) Можно ли разместить на плоскости конечное число парабол так, чтобы их внутренние области покрыли всю плоскость?

Внутренней областью параболы мы называем выпуклую фигуру, границей которой служит эта парабола.

б) В пространстве расположено несколько не пересекающих друг друга конусов. Докажите, что их нельзя переместить так, чтобы они покрыли всё пространство. (Конусом мы называем здесь неограниченную выпуклую фигуру, полученную в результате вращения некоторого угла вокруг его биссектрисы.)

749. По кругу выписаны n положительных чисел. Вычислив частное от деления каждого из них на сумму двух соседних, сложим все частные. Докажите, что

а) при n = 3 сумма не меньше 3⁄2 (и выясните, когда неравенство обращается в равенство);

б) при n > 3 сумма не меньше 2, причём равенство возможно только при n = 4;

в) при n > 4 число 2 нельзя заменить ни на какое большее число.

750. Докажите, что как бы ни раскрасить клетки бесконечного листа клетчатой бумаги в N цветов, найдутся

а) прямоугольник, вершины которого лежат в центрах клеток одного цвета, а стороны идут параллельно линиям сетки — по горизонтальным и вертикальным прямым;

б) l горизонтальных и m вертикальных прямых, которые пересекаются в центрах lm клеток одного цвета (l и m — любые натуральные числа);

в) равнобедренный прямоугольный треугольник, вершины которого — центры клеток одного цвета, при N = 2;

г) то же для N = 3.

751. На окружности намечены 3k точек, разделяющих её на 3k дуг, из которых k дуг имеют длину 1, ещё k дуг — длину 2, а остальные k дуг — длину 3. Докажите, что среди отмеченных точек есть две диаметрально противоположные.

752. Квадратная таблица n×n клеток заполнена целыми числами. При этом в клетках, имеющих общую сторону, записаны числа, отличающиеся друг от друга не больше, чем на 1. Докажите, что хотя бы одно число встречается в таблице не менее чем а) [n⁄2]; б) n раз.

753. Числа a, b и c лежат на интервале (0, p⁄2) и удовлетворяют равенствам: cos a = a, sin cos b = b и cos sin c = c. Расположите числа в порядке возрастания.

754. а) Существуют ли такие многочлены P, Q и R от переменных x, y и z, что выполнено тождество

(xy + 1)3 · P(x,y,z) + (yz – 1)3 · Q(x,y,z) + (z – 2x + 1)3 · R(x,y,z) = 1?

б) Тот же вопрос для тождества

(xy + 1)3 · P(x,y,z) + (yz – 1)3 · Q(x,y,z) + (zx + 1)3 · R(x,y,z) = 1.

755. Внутри тетраэдра выбрана некоторая точка. Докажите, что хотя бы одно ребро тетраэдра видно из неё под углом, косинус которого не больше числа –1⁄3.

756. В стране, кроме столицы, больше 100 городов. Столица страны соединена авиалиниями со 100 городами; каждый из остальных городов соединён авиалиниями ровно с 10 городами. Из любого города можно (быть может, с пересадками) перелететь в любой другой. Докажите, что можно так закрыть половину авиалиний, идущих из столицы, что возможность попасть из любого города в любой сохранится.

757. Из последовательности 1, 1⁄2, 1⁄3, 1⁄4, ... легко выделить трёхчленную арифметическую прогрессию: 1⁄2, 1⁄3 и 1⁄6. Можно ли из этой последовательности выбрать арифметическую прогрессию длиной а) 4; б) 5; в) k, где k — любое натуральное число?

758. Какое наименьшее количество чисел можно вычеркнуть из последовательности 1, 2, 3,..., 1982, чтобы ни одно из оставшихся чисел не равнялось произведению двух других оставшихся чисел?

759. Внутри выпуклого четырёхугольника, у которого сумма всех шести расстояний между вершинами (то есть сумма длин всех сторон и диагоналей) равна S1, расположен другой, для которого эта сумма равна S2.

а) Может ли величина S2 быть больше S1?

б) Докажите неравенство 3S2 < 4S1.

в) Если внутри тетраэдра с суммой длин рёбер S1 расположен другой, для которого эта сумма равна S1, то 3S2 < 4S1. Докажите это.

760. С замкнутой ломаной A1A2...Am, где m нечётно, проделываем такую операцию: середины её звеньев соединяем m отрезками через одну (середину A1A2 — с серединой A3A4, A2A3 — с A4A5,..., Am – 1Am — с A1A2, AmA1 — с A2A3). С полученной ломаной вновь проделываем эту же операцию. Так же действуем и далее. Докажите, что из любой m-звенной ломаной при а) m = 5 — через 2 шага; б) m = 7 — через 3 шага; в) любом нечётном m через некоторое (зависящее от m) число шагов получится ломаная, подобная (даже гомотетичная) первоначальной.

761. Через произвольную точку Р стороны АС треугольника АВС параллельно его медианам АК и СL проведены прямые, пересекающие стороны ВС и АВ в точках Е и F соответственно. Докажите, что медианы АК и СL делят отрезок ЕF на три равные части.

762. Для любых положительных чисел a, b, c докажите неравенства

2abc(a + b + c) £ ab(a2 + b2) + bc(b2 + c2) + ca(c2 + a2) £ 2(a4 + b4 + c4).

763. Дан параллелограмм ABCD, отличный от ромба. Прямая, симметричная прямой AB относительно диагонали AC, пересекает в точке Q прямую, симметричную прямой DC относительно диагонали DB. Найдите отношение QA : BD, если известно отношение QA : BD = k.

764. Уравнение а) x2 + y3 = z5; б) x2 + y3 + z5 = t7 имеет бесконечно много решений в натуральных числах. Докажите это.

765. Пусть В — конечное множество точек на плоскости, не лежащее на одной прямой.

а) Докажите, что найдутся три такие точки множества В, что проходящая через них окружность не содержит внутри себя других точек множества В.

б) Назовём триангуляцией множества В семейство треугольников с множеством вершин В, не налегающих друг на друга и в объединении дающих выпуклый многоугольник (триангуляцию множества В можно получить, соединяя его точки непересекающимися отрезками, пока это возможно). Докажите, что для любого В существует такая триангуляция, что окружность, описанная около любого треугольника этой триангуляции, не содержит внутри себя точек множества В. Укажите способ построения такой триангуляции.

в) Докажите, что если никакие четыре точки множества В не лежат на одной окружности, то описанная в пункте б) триангуляция единственна.

766. Сумма квадратов трёх последовательных целых чисел не может быть кубом натурального числа. Докажите это.

767. Прямая делит площадь выпуклого многоугольника пополам. Докажите, что отношение, в котором эта прямая делит проекцию многоугольника на перпендикулярную к ней прямую, не превосходит суммы числа 1 и квадратного корня из 2.

б) Каждая из трёх прямых делит площадь данной фигуры пополам. Докажите, что площадь части фигуры, заключённой в треугольнике между тремя прямыми, не превосходит 1⁄4 всей площади фигуры.

768. Сумма n чисел, ни одно из которых не превосходит по модулю 1, равна s. Докажите, что из них можно выбрать несколько чисел так, чтобы сумма выбранных чисел отличалась от s⁄3 не более чем на 1⁄3.

769. Биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке L, их продолжения пересекают описанную окружность треугольника в точках X, Y, Z соответственно. Пусть R — радиус описанной, r — радиус вписанной окружности треугольника АВС. Докажите равенства

а) LX · LZ = R · LB;

б) LA · LC = r · LY;

в) SABC : SXYZ = 2r : R.

770. В основании треугольной пирамиды PABC лежит правильный треугольник АВС. Докажите, что если величины углов PAB, PBS, PCA равны, то пирамида PABC правильная.

771. В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Вписанная в треугольник АВК и описанная около треугольника АВС окружности концентричны. Найдите величины углов треугольника АВС.

772. В мастерской пять разных станков. Обучение одного рабочего работе на одном станке стоит 1000 рублей. С какими наименьшими затратами можно обучить 8 рабочих так, чтобы при отсутствии любых трёх из них все станки могли быть одновременно использованы в работе? Каждый рабочий может одновременно работать только на одном станке.

773. Вписанная в треугольник ABC окружность касается его сторон BC, CA и AB в точках X, Y и Z соответственно. Докажите, что если сумма векторов AX, BY и CZ равна нулю, то треугольник АВС равносторонний.

774. Функция f (x), определённая на отрезке [0; 1], такова, что для любых чисел x и y отрезка [0; 1] значение функции в точке, являющейся полусуммой чисел x и y, не превосходит суммы значений функции f в точках x и y. Докажите, что

а) значения функции f во всех точках отрезка [0; 1] неотрицательны;

б) функция f равна нулю в бесконечном множестве точек отрезка [0; 1];

в) если существует такое число A, что значения функции f во всех точках отрезка [0; 1⁄2] не превосходят числа A, то и значения функции f во всех точках отрезка [0; 1] не превосходят числа A;

г) если функция f непрерывна хотя бы в одной точке отрезка [0; 1], то она тождественно равна 0;

д) существует функция f, удовлетворяющие условиям задачи и не во всех точках равная нулю.

775. Для каких натуральных n > 2 существуют такие различные натуральные числа a1, a2,..., an, ни одно из которых не превосходит числа n + 1, что все n чисел ½a1 – a2½, ½a2 – a3½,..., ½an–1 – an½, ½an – a1½ различны?

776. На диагоналях AC и CE правильного шестиугольника ABCDEF взяты такие точки M и N соответственно, что AM : AC = CN : CE = λ. Найдите λ, если точки B, M и N лежат на одной прямой.

777. Дано уравнение x3 – xy2 + y3 = n. Докажите, что

а) если натуральное n таково, что данное уравнение имеет целочисленное решение, то оно имеет по крайней мере три целочисленных решения;

б) при n = 2891 это уравнение не имеет целочисленных решений.

778. A1A2A3 — неравнобедренный треугольник; ak — его сторона, лежащая против вершины Ak; Mk — середина этой стороны; Tk — точка её касания с окружностью, вписанной в данный треугольник; Sk — точка, симметричная Tk относительно биссектрисы угла Ak треугольника (k = 1, 2, 3). Докажите, что прямые M1S1, M2S2 и M3S3 имеют общую точку.

779. Для невозрастающей последовательности положительных чисел, первый член которой равен 1, вычислим частное от деления квадрата каждого её члена на следующий член этой последовательности.

а) Докажите, что для любой исходной последовательности сумма некоторого набора таких частных не меньше 3,999.

б) Придумайте такую последовательность, что любая сумма таких частных меньше 4.

780. Дан квадрат K со стороной 100. Пусть L такая — несамопересекающаяся незамкнутая ломаная, лежащая в K, что для любой точки Р границы квадрата K найдётся точка ломаной L, расстояние которой от Р не больше 1⁄2. Докажите, что на ломаной найдутся такие две точки X и Y, что расстояние между ними не превышает 1, а длина части заключённой между ними ломаной не меньше 198.

1983 год

781. Постройте прямую, параллельную стороне AC данного треугольника ABC и пересекающую его стороны AB и BC в таких точках D и E соответственно, что AD = BE.

782. Если произведение двух натуральных чисел равна 30 030, то их произведение не делится на 30 030. Докажите это.

783. а) При каком наибольшем n существует такое число x, что его первая степень расположена на интервале (1; 2), вторая — на интервале (2; 3), третья — на интервале (3; 4),..., n-я — на интервале (nn + 1)?

б) Для каких n существуют такие две прогрессии — арифметическая a1, a2, a3,..., an+ 1 и геометрическая b1, b2, b3,..., bn, что a1 < b1 < a2 < b2 < a3 < ... < an < bn < an + 1?

784. Шарообразная планета движется по окружности вокруг звезды и вращается вокруг своей оси, причём ось суточного вращения наклонена к плоскости орбиты под углом α (для нашей Земли α = 66,5°). Угловая скорость вращения планеты по орбите много меньше угловой скорости вращения планеты вокруг её оси. Найдите зависимость продолжительности Т самого короткого дня в году в данном пункте на поверхности планеты от географической широты φ этого пункта. Нарисуйте эскиз графика функции Т(φ).

785. а) Про возрастающую последовательность положительных чисел a1, a2, a3,... известно, что для любого натурального числа k > 1 существует такое число bk, что akn £ bkan при всех n. Докажите, что существуют положительные числа c и α, для которых an £ cnα при всех n ³ 1. Останется ли верным это утверждение, если в условии

б) слово «любого» заменить на «некоторого»;

в) не требовать, чтобы последовательность an была возрастающей?

786. Для любого натурального k и для любого натурального n > 1 число nk представимо в виде суммы k последовательных нечётных чисел. Докажите это. (Например, 43 = 13 + 15 + 17 + 19,   72 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13,   34 = 25 + 27 + 29.)

787. Найдите отношение сторон прямоугольного треугольника, если известно, что одна половина гипотенузы (от вершины до середины гипотенузы) видна из центра вписанной окружности под прямым углом.

788. а) На графике функции y = x2 отмечены точки A(a;a2) и B(b;b2). Найдите между ними точку, для которой сумма площадей двух сегментов, ограниченных графиком и отрезками АМ и ВМ, наименьшая.

б) На графике дифференцируемой функции y = f (x) отмечены точки А и В. Известно, что график и отрезок АВ ограничивают выпуклую фигуру. Пусть М — точка графика, расположенная между А и В, для которой сумма площадей двух сегментов, ограниченных графиком и отрезками АМ и ВМ, наименьшая. Докажите, что касательная к графику в точке М параллельна хорде АВ.

789. а) 10 точек, делящие окружность на 10 равных дуг, разбили на пары и точки каждой пары соединены друг с другом. Обязательно ли среди полученных пяти хорд найдутся хорды одинаковой длины?

б) 100 точек, делящие окружность на 100 равных дуг, разбили на пары и точки каждой пары соединены друг с другом. Докажите, что среди полученных пятидесяти хорд есть хорды одинаковой длины.

790. а) Функция f такова, что если |x – y| = 1, то |f (x) – f (y)| = 1. Верно ли, что для любых x и y выполнено равенство |f (x) – f (y)| = |x – y|?

Пусть про отображение F плоскости в себя известно, что любые точки X и Y, находящиеся на расстоянии 1, оно переводит в точки f (X) и f (Y), также находящиеся на расстоянии 1. Докажите, что тогда отображение F сохраняет расстояния, то есть для любых точек X и Y верно равенство XY = f (X)f (Y). Для этого докажите следующие утверждения: для любых точек X и Y

б) f (X)f (Y) £ XY + 1;

в) если XY2 = 3, то f (X)f (Y)2 = 3;

г) XY £ f (X)f (Y);

д) XY ³ f (X)f (Y).

(Вы можете, конечно, предложить и другой план доказательства теоремы.)

791. Пете подарили микрокалькулятор, на котором он может выполнять следующие операции: по любым данным числам x и y вычислить сумму x + y, разность x – y, сумму x + 1, а также обратную величину 1 : x (если число x не равно 0). Петя умеет с помощью своего микрокалькулятора

а) возвести любое число в квадрат, проделав не более шести операций;

б) перемножить любые два числа, проделав не более двадцати операций.

А Вы так сможете?

792. Решите в натуральных числах уравнения а) 3x + 1 = 2y; б) 3x – 1 = 2y.

в) Найдите все натуральные n, при которых оба числа 1/n и 1/(n + 1) выражаются конечными десятичными дробями.

г) Ни при каком простом p > 3 и натуральном m > 1 ни одно из чисел pm + 1 и pm – 1 не является степенью двойки.

793. Из вершины P тетраэдра PABC проведём отрезки PA', PB', PC', перпендикулярные соответственно граням PBC, PCA, PAB, а по длине равные площадям этих граней (направления этих векторов выбираем так, что точки A и A', B и B', C и C' лежат по разные стороны от плоскостей соответствующих граней РВС, РСА, РАВ. Докажите, что

а) Повторив это же построение для тетраэдра PA'B'C' (и его вершины Р), мы получим тетраэдр, гомотетичный исходному тетраэдру РАВС с коэффициентом 3V/4, где V равно объёму тетраэдра РАВС.

б) Сумма векторов PA', PB' и PC' перпендикулярна плоскости ABC.

в) Из точки O, взятой внутри тетраэдра ABCD, опустим перпендикуляры на плоскости его граней. На этих перпендикулярах от точки O отложим отрезки, длины которых равны площадям соответствующих граней, и концы этих отрезков примем за вершины нового тетраэдра A'B'C'D'. (Разумеется, с точностью до параллельного переноса, этот тетраэдр не зависит от выбора точки O.) Докажите, что, повторив это построение для тетраэдра A'B'C'D', мы получим, гомотетичный исходному с коэффициентом 3V, где V — объём исходного тетраэдра АВСD. (Если 3V = 1, то последний тетраэдр получается из исходного параллельным переносом.)

794. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку К первой окружности проведём прямые КА и КВ, пересекающие вторую окружность в точках P и Q. Докажите, что хорда РQ второй окружности перпендикулярна диаметру КМ первой окружности.

795. Обозначим через σ(n) сумму всех делителей натурального числа n. Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных чисел n, что а) σ(n) > 2n; б) σ(n) > 3n. Докажите для любого натурального числа n неравенства в) σ(n) < (log2n + 1); г) σ(n) < (ln n + 1).

Вот таблица нескольких первых значений функции σ:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 σ(n) 1 3 4 7 6 12 8 15 13 18 12 28 14 24 24 31 18 39 20 42

796. Точка P расположена внутри квадрата ABCD так, что AP : BP : CP = 1 : 2 : 3. Найдите величину угла APB.

797. Известно, что последними цифрами квадратов целых чисел могут быть лишь цифры 0, 1, 4, 5, 6 и 9. Верно ли, что перед последней цифрой в них может встретиться любая группа цифр, то есть что для любого набора из n цифр a1, a2,..., an можно найти целое число, квадрат которого оканчивается цифрами a1a2...a n, где b — одна из вышеуказанных цифр?

798. На окружности отметили 4k точек и раскрасили их попеременно в красный и синий цвета; затем 2k красных точек произвольным образом разбили на пары и соединили точки каждой пары красным отрезком, так что всего провели k красных отрезков. Аналогично 2k синих точек разбили на пары и соединили синими отрезками, проведя всего k синих отрезков. Никакие три отрезка не пересеклись в одной точке. Докажите, что количество точек пересечения красных отрезков с синими не меньше k.

799. а) Найдите решение уравнения 3x + 1 + 100 = 7x – 1 и докажите, что у него нет других решений.

б) Найдите два разных решения системы уравнений y = x2, 3x + 3y = 2x + 4y и докажите, что у неё нет других решений.

800. а) На плоскости отмечены все точки с целочисленными координатами — узлы квадратной решётки. Среди них выделен один «начальный» узел О. Для каждого из остальных узлов Р проведена прямая, относительно которой узлы О и Р симметричны,— серединный перпендикуляр к отрезку ОР. Проведённые прямые разбивают плоскость на мелкие части (треугольники и выпуклые многоугольники). Припишем каждой из них натуральное число — ранг — по следующему правилу: часть, содержащая точку О (она имеет форму квадрата), получает ранг 1, части, граничащие с ней по стороне,— ранг 2, части, граничащие с ними по стороне (и отличные от уже рассмотренных) — ранг 3 и так далее. Докажите, что сумма площадей всех частей ранга r одна и та же при всех натуральных r.

б) Верно ли аналогичное утверждение для произвольной решётки из параллелограммов (например, для решётки из ромбов с углом в 60°)? Для решётки из правильных шестиугольников?

в) Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для кубической решётки в пространстве.

801. Для любого натурального n сумма целых частей корней из числа n степеней 2, 3,..., n равна сумме целых частей логарифмов числа n, основаниями которых служат числа от 2 до n включительно. Докажите это.

802. На сторонах AB и BC треугольника ABC как на гипотенузах построены вне него прямоугольные треугольники APB и BQC с одинаковыми углами величины β при их общей вершине В. Найдите величины углов треугольника PQK, где К — середина стороны АС.

803. Сумма двух рациональных чисел x и y — натуральное число, сумма обратных к ним чисел 1/х и 1/y — тоже натуральное число. Какими могут быть x и y?

804. Точка O — середина оси прямого кругового цилиндра, A и B — диаметрально противоположные точки окружности нижнего основания этого цилиндра, C — некоторая точка окружности верхнего основания, не лежащая в плоскости OAB. Докажите, что сумма двугранных углов трёхгранного угла OABC (с вершиной O) равна 360°.

805. а) На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC выбраны точки X, Y и Z соответственно так, что отрезки AX, BY и CZ пересекаются в одной точке. Докажите, что площадь треугольника XYZ не превосходит четверти площади треугольника ABC.

б) На гранях BCD, ACD, ABD и ABC тетраэдра ABCD выбраны точки X, Y, Z и T соответственно так, что отрезки AX, BY, CZ и DT пересекаются в одной точке. Докажите, что объём тетраэдра не более чем в 27 раз превосходит объём тетраэдра ABCD.

806. Многочлен anxn–1 + an–1xn–2 + ... + a1x + a1 имеет хотя бы один корень на интервале (0; 1), если равна нулю а) сумма чисел a1, a2 ⁄ 2, a3 ⁄ 3,..., an ⁄ n; б) для некоторого положительного числа p сумма чисел a1 ⁄ (p + 1), a2 ⁄ (p + 2), a2 ⁄ (p + 2), a3 ⁄ (p + 3),..., an ⁄ (p + n). Докажите это.

807. а) Из точки M, расположенной внутри равностороннего треугольника ABC, опущены перпендикуляры MX, MY и MZ на его стороны. Докажите, что сумма векторов MX, MY и MZ в полтора раза больше вектора MO, где O — центр треугольника ABC.

б) Из точки M опущены перпендикуляры MK1, MK2,..., MKn на стороны правильного n-угольника (или их продолжения). Докажите, что сумма векторов MK1 + MK2 +... + MKn равна n векторам MO, где O — центр треугольника многоугольника.

в) Из точки M, расположенной внутри правильного тетраэдра ABCD, опущены перпендикуляры OK1, OK2, OK3 и OK4 на его грани. Докажите, что сумма векторов MK1, MK2, MK3 и MK4 равна 4⁄3 вектора MO, где O — центр тетраэдра.

808. На бесконечном листе клетчатой бумаги двое играют в такую игру: первый окрашивает какую-нибудь клетку в красный цвет, второй — k (неокрашенных) клеток в синий цвет, затем снова первый одну (неокрашенную) — в красный, второй — k клеток — в синий и так далее. Первый стремится к тому, чтобы четыре какие-нибудь красные клетки расположились в вершинах квадрата (со сторонами, параллельными линиям сетки). Сможет ли второй ему помешать, если k равно а) 1; б) 2; в) некоторому натуральному числу, не равному 1?

809. Для каждого натурального числа n найдите сумму частных от деления на (k + 1)! числа k, где k = 1, 2, ..., n.

810. В любой выпуклый многоугольник можно поместить прямоугольник, площадь которого не меньше 1⁄4 площади этого многоугольника. Докажите это.

811. Пусть ha, hb, hc — высоты, а ma, mb, mc — медианы остроугольного треугольника (проведённые к сторонам а, b и с), r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей.

812. Сумма любого множества чисел, каждое из которых обратно к произведению числа k + 1 и квадратного корня из числа k, где k — натуральное число, меньше числа 2. Докажите это.

813. Даны отрезки , OB и одинаковой длины (точка B лежит внутри угла АОС). На них как на диаметрах построены окружности. Докажите, что площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугами этих окружностей и не содержащего точку O, равна половине площади треугольника ABC.

814. Отметим в натуральном ряду числа, которые можно представить в виде суммы двух квадратов натуральных чисел. Среди отмеченных чисел встречаются тройки последовательных чисел, например, 72 = 62 + 62, 73 = 82 + 32, 74 = 72 + 52.

а) Объясните, почему не могут встретиться четыре последовательных отмеченных числа.

Докажите, что среди отмеченных чисел встретится бесконечно много б) пар; в) троек последовательных чисел.

815. На окружности расставлены 4k точек, занумерованных в произвольном порядке числами от 1 до 4k.

а) Докажите, что эти точки можно соединить 2k не пересекающими друг друга отрезками так, что разность чисел в концах каждого отрезка не превосходит 3k – 1.

б) Постройте пример расстановки номеров, показывающий, что число 3k – 1 в пункте а) нельзя заменить меньшим.

816. Натуральные числа a и b получаются друг из друга перестановкой цифр. Докажите, что а) суммы цифр чисел 2a и 2b равны; б) если а и b чётные, то суммы цифр чисел a/2 и b/2 равны; в) суммы цифр чисел 5a и 5b равны.

817. Точка K лежит на стороне треугольника AВС. Докажите, что равенство AK2 = AB × AC – KB× KC выполнено тогда и только тогда, когда AB = AC или ÐBАK = ÐСАK.

818. Пусть какие-то k вершин правильного n-угольника белые (остальные вершины — чёрные). Будем называть множество белых вершин равномерным, если при любом m количества белых вершин в любых двух наборах из m последовательных вершин n-угольника совпадают или отличаются на 1 (на рисунке приведён пример равномерного множества для n = 8 и k = 5).

а) Постройте равномерные множества для n = 12 и k = 5, а также для n = 17 и k = 7.

Докажите, что равномерное множество существует и единственно (с точностью до поворотов n-угольника), б) если n делится на k; в) для любых n и k (k £ n).

819. В Швамбрании n городов, каждые два из которых соединены дорогой. (Дороги сходятся лишь в городах, все пересечения организованы на разных уровнях.) Злой волшебник намеревается установить на каждой дороге одностороннее движение так, что, выехав из любого города, в него уже нельзя будет вернуться. Докажите, что

а) волшебник может это сделать;

б) при этом найдётся город, из которого можно добраться до всех других, и найдётся город, из которого нельзя выехать;

в) существует n! = 1 × 2 × ... × n способов осуществить намерение злого волшебника.

820. а) Правильный восьмиугольник разрезан на конечное число параллелограммов. Докажите, что среди них есть хотя бы два прямоугольника.

б) Правильный 4k-угольник разрезан на конечное число параллелограммов. Докажите, что среди них есть хотя бы k прямоугольников.

в) Найдите сумму площадей прямоугольников из пункта б), если длина стороны 4k-угольника равна 1.

821. Решите уравнение 3x3 + 3x2 + 3x = 1.

822. Карточки четырёх цветов — n зелёных, n красных, n синих и n жёлтых — сложены стопкой так, что через четыре карточки цвет повторяется (например, 1-я, 5-я, 9-я, 13-я, ... карточки зелёные, 2-я, 6-я, 7-я, 17-я, ... — красные и так далее.) Несколько карточек сверху сняли, не перекладывая перевернули и произвольным образом вставили между оставшимися. После этого стопу разделили на n маленьких стопок по четыре карточки. Докажите, что в каждой из этих четвёрок встретятся карточки всех четырёх цветов.

823. С фотографии срисован контур дома длиной 60 м и шириной 15 м, причём более длинная стена на фотографии слева (остальные части контура на фотографии загорожены веткой дерева). Требуется:

а) дорисовать контур;

б) нарисовать точную карту (проекцию на горизонтальную плоскость), на которой указать контур дома и точку съёмки;

в) определить высоту дома и высоту, с которой производилась съёмка.

824. В сетке, изображённой на рисунке, каждая ячейка имеет размер 1×1. Можно ли эту сетку представить эту сетку в виде объединения а) 8 ломаных длины 5; б) 5 ломаных длины 8?

825. Множество M состоит из k лежащих на одной прямой отрезков, никакие два из которых не пересекаются. Докажите, что если любой отрезок длины, не большей 1, можно расположить на прямой так, чтобы его концы принадлежали множеству М, то сумма длин отрезков, составляющих М, не меньше 1⁄k.

826. На доске написали три числа. Затем одно из них стёрли и написали сумму двух других чисел, уменьшенную на единицу. Эту операцию повторили несколько раз и в результате получили числа 17, 1967 и 1983. Могли ли первоначально быть написаны числа а) 2, 2, 2; б) 3, 3, 3?

827. Четыре синих треугольника на рисунке равновелики (то есть их площади равны).

а) Докажите, что три красных четырёхугольника также равновелики.

б) Найдите отношение площади красного четырёхугольника к площади синего треугольника.

828. Можно ли в клетках бесконечного листа бумаги расставить целые числа так, чтобы сумма чисел в любом прямоугольнике размером 4×6, стороны которого идут по сторонам сетки, равнялась а) 10; б) 1?

829. Среди любых 2m + 1 различных целых чисел, по модулю не превосходящих 2m – 1, есть три числа, сумма которых равна 0. Докажите это.

830. Школьник упражняется в решении квадратных уравнений. Выписав какое-то уравнение х2 + p1х + q1 = 0, он решает его и, убедившись, что оно имеет два корня, составляет второе уравнение х2 + p2х + q2 = 0, в котором p2 — это меньший, а q2 — больший корень первого уравнения. По второму уравнению он составляет третье, если это возможно, и так далее.

а) Докажите, что это упражнение не может продолжаться бесконечно долго.

б) Найдите наибольшую возможную длину такой последовательности квадратных трёхчленов.

831. Точки P и Q — середины сторон AB и CD четырёхугольника ABCD, M и N — середины диагоналей AC и BD. Если прямые MN и PQ перпендикулярны, то BC = AD. Докажите это.

832. Для любого натурального а) n > 6 квадрат можно разрезать на n квадратов; б) n > 100 куб можно разрезать на n кубов. Докажите это.

833. Последовательность задана формулами x1 = 2 и xn+1 = (2 + xn) / (1 – 2xn) для любого натурального n. Докажите, что а) xn не равно 0 ни для какого натурального n; б) последовательность x1, x2, x3, ... непериодическая.

834. Оросительная установка обслуживает круг радиусом 100 метров. Такими установками надо полностью оросить квадратное поле со стороной 1 километр.

а) Бригадир предложил расположить 64 установки в вершинах квадратной сетки со сторонами, параллельными краям поля, как показано на рисунке. В каких пределах может меняться сторона a квадратной сетки?

б) Можно ли оросить поле с помощью 46 таких установок?

835. На круговой шахматный турнир приехало n шахматистов из страны A и n шахматистов из страны B. Оказалось, что как бы ни разбить шахматистов на пары (чтобы друг с другом играли шахматисты разных стран), найдётся хотя бы одна пара шахматистов, которые ранее встречались друг с другом. Докажите, что можно выбрать a шахматистов из страны A и b шахматистов из страны B так, что каждый из выбранных шахматистов уже встречался с каждым из выбранных b шахматистов, причём a + b > n.

836. Пусть А — одна из точек пересечения двух окружностей с центрами О1 и O2; Р1Р2 и Q1Q2 — общие касательные, M1 и M2 — середины хорд Р1Q1 и Р2Q2 этих окружностей. Докажите равенство углов О1АО2 и M1АM2.

837. a, b, c — натуральные числа, каждые два из которых взаимно просты. Докажите, что наибольшее из целых чисел, не представимых в виде хbc + yca + zab, где x, y, z — неотрицательные целые числа, равно 2abc – ab – bc – ca. Докажите это.

838. Множество точек, лежащих на сторонах равностороннего треугольника, разбито на два подмножества. Обязательно ли хотя бы в одном из этих подмножеств найдутся три точки — вершины прямоугольного треугольника?

839. Можно ли так выбрать 1983 натуральных числа, не превосходящих 100 000, чтобы среди выбранных чисел не было ни одной тройки чисел, составляющих арифметическую прогрессию (то есть ни одной тройки a, b, c, в которой a + c = 2b)?

840. а) Если a, b, c — длины сторон треугольника, то a2b(a – b) + b2c(b – c) + c2a(c – a³ 0. Докажите это неравенство и выясните, в каких случаях оно обращается в равенство.

б) Для любых положительных чисел a, b и c докажите неравенство a3c + b3c + c3a ³ a2bc + b2ca + c2ab.

1984 год

841. Произведение длин отрезков, на которые гипотенуза прямоугольного треугольника делится точкой касания вписанной окружности, равна площади этого треугольника. Докажите это.

842. Докажите следующие утверждения.

а) Если сумма трёх чисел равна нулю, то сумма их синусов равна умноженному на –4 произведению синусов половин этих чисел.

б) Если сумма синусов углов треугольника в корень из трёх раз больше суммы косинусов углов этого треугольника, то величина хотя бы одного из углов равна 60°.

843. К плоскости треугольника ABC восставлены перпендикуляры AA', BB' и CC', длины которых равны длинам соответствующих высот треугольника. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки пересечения плоскостей ABC', BCA' и CAB' на плоскость ABC, попадает в центр вписанной в треугольник ABC окружности, а его длина равна её радиусу.

844. а) Любое натуральное число единственным образом представимо в виде суммы (быть может, состоящей из единственного слагаемого) произведений чисел вида an · n!, где 0 < an £ n. Докажите это.

б) Любое рациональное число, лежащее на интервале (0; 1), единственным образом представимо в виде суммы (быть может, состоящей из единственного слагаемого) дробей вида bn ⁄ (n + 1)!, где 0 < an £ n. Докажите это.

в) Представьте в виде пункта а) число 1984 и в виде пункта б) — число 19 ⁄ 84.

845. Для каких n из n уголков, состоящих из четырёх клеток 1×1, и нескольких прямоугольников 1×4 можно составить центрально-симметричную фигуру?

846. Среднее арифметическое длин сторон любого выпуклого многоугольника меньше среднего арифметического длин его диагоналей. Докажите это.

847. Дан квадрат размером n×n клеток. Двое игроков обводят по очереди по одной стороне одной клетки (дважды обводить одну и ту же сторону нельзя). Кто выиграет при правильной игре, если а) побеждает игрок, первым построивший замкнутую линию; б) проигрывает игрок, который вынужден первым построить замкнутую линию?

848. а) Постройте график функции f0(x) = ||x – 1|– 2||x| – 3||.

б) На рисунке изображены графики трёх кусочно-линейных функций f1, f2 и f3. Запишите формулы для них в виде y = kx + b + c1|x – a1| + c2|x – a2| + ... + cm|x – am|, где m — количество точек излома, a1, a2,..., am — абсциссы точек излома, k, b, c1, c2,..., cm — некоторые числа.

в) Запишите в таком же виде функцию f0 из пункта а).

г) Некоторая функция является линейной комбинацией линейных функций, «абсолютных величин» («модулей») и операций сложения, причём знак сложения модуля использован в её записи n раз (в формуле пункта а) n = 4). Какое наибольшее число изломов может иметь её график?

849. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, взятых в разном порядке, составлены семь семизначных чисел. Докажите, что сумма седьмых степеней нескольких из этих чисел не может равняться сумме седьмых степеней остальных чисел.

850. Через точку пeрeсечения биссектрисы угла А треугольника АВС с отрезком, соединяющим основания двух других биссектрис, проведена прямая, параллельная стороне ВС. Докажите, что длина меньшего основания образовавшейся трапеции равна полусумме длин её боковых сторон.

851. На сторонах AB и AD квадрата ABCD выбраны точки P и Q так, что периметр треугольника APQ вдвое больше длины стороны квадрата. Докажите, что величина угла PCQ равна 45°.

852. Если a, b, c — длины сторон треугольника, то сумма чисел (a – b) / (a + b), (b – c) / (b + c) и (c – a) / (c + a) меньше а) 1; б) 1 ⁄ 8.

853. Квадрат АВСD вращается вокруг своего неподвижного центра. Найдите множество, которое описывает середина отрезка PQ, где Р — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на неподвижную прямую l, а Q — середина стороны AB.

854. На переговорном пункте установлены автоматы для размена серебряных монет достоинством 10, 15 и 20 копеек, действующие так, как показано ниже:

20 копеек → 15 копеек, 2 копейки, 2 копейки и 1 копейка;

15 копеек → 10 копеек, 2 копейки, 2 копейки и 1 копейка;

10 копеек → 3 копейки, 3 копейки, 2 копейки и 2 копейки.

У Пети был 1 рубль 25 копеек серебряными монетами, и он все их разменял в автоматах на медь. Вася, посчитав сколько каких монет стало у Пети, сказал:

— А я знаю, какие у тебя были серебряные монеты!

Узнайте это и Вы.

855. Можно ли жёсткий правильный тетраэдр с ребром 1 протащить сквозь обруч диаметра а) 1; б) 0,95; в) 0,9; г) 0,85?

856. а) Постройте четырёхугольник, зная длины его сторон и длину отрезка, соединяющего середины диагоналей.

б) При каких условиях задача имеет решение?

857. Среди 1984 первых натуральных чисел (от 1 до 1984) отметим те, которые можно представить в виде суммы пяти целых неотрицательных степеней двойки (то есть пяти не обязательно различных чисел 1, 2, 4, 8, ...). Каких чисел окажется больше: отмеченных или неотмеченных?

858. Для величин α, β и γ углов некоторого треугольника выполнено равенство sin2α + sin β = sin γ.

а) Найдите α, β и γ, если треугольник равнобедренный (рассмотрите все случаи).

б) Может ли треугольник быть остроугольным?

в) Какие значения может принимать наибольший угол треугольника?

859. Найдите наименьшее такое положительное число a, что для любого квадратичного трёхчлена f, удовлетворяющего для любого числа x отрезка [0; 1] неравенству |f (x)| £ 1, выполнено неравенство |f'(1)| £ a.

860. а) Пусть O и R — центр и радиус описанной окружности треугольника ABC, а I и r — центр и радиус его вписанной окружности, K — центр тяжести треугольника, вершины которого — точки касания вписанной окружности треугольника ABC с его сторонами. Докажите, что точка K лежит на отрезке OI, причём OI : IK = 3R : r.

б) Пусть a, b и c — длины сторон треугольника ABC, а na, nb и nc — векторы единичной длины, перпендикулярные соответствующим сторонам треугольника и направленные во внешнюю сторону. Докажите равенство a3na + b3nb + c3nc = 12S · MO, где S — площадь треугольника АВС, M — точка пересечения медиан, О — центр вписанной окружности.

861. Из любых n чисел можно выбрать несколько (быть может, одно) так, что сумма выбранных чисел отличается от ближайшего к ней целого числа не более, чем на 1⁄(n + 1). Докажите это.

862. а) Внутри данного равностороннего треугольника укажите множество всех таких точек М, что расстояния от М до его сторон сами служат длинами сторон некоторого треугольника.

б) Внутри данного правильного тетраэдра укажите множество всех таких точек М, что расстояния от М до граней тетраэдра служат длинами сторон некоторого четырёхугольника.

863. На каждой клетке доски n×n стоит по фишке. Можно ли переставить их так, чтобы любые две фишки, угрожавшие одна другой ходом коня, после перестановки стали угрожать друг другу ходом короля, если n равно а) 3; б) 6; в) 4?

864. Назовём красивым разбиение треугольника на подобные ему треугольники, никакие два из которых не равны по размерам.

а) Для всякого прямоугольного треугольника существует красивое разбиение. Докажите это.

б) Существует ли красивое разбиение равностороннего треугольника?

в) Для каких неравносторонних треугольников существует красивое разбиение?

865. Рассмотрим возрастающую последовательность n + 1 натуральных чисел; для любых двух её соседних чисел вычислим их наименьшее общее кратное. Сложим числа, обратные этим n наименьшим общим кратным. Докажите, что сумма вычисленных обратных величин не превосходит разности между числом 1 и числом, обратным n–й степени числа 2, если а) n = 2; б) n = 3; в) n — любое натуральное число.

866. а) Во всех клетках квадрата 20×20 стоит по одному солдатику. Для какого наибольшего d можно переставить солдатиков в другие клетки так, чтобы каждый передвинулся на расстояние не меньше d? (Расстояние измеряем по прямой между центрами старой и новой клеток; сторона клетки равна 1.)

Решите эту же задачу для б) квадрата размером 21×21; в) прямоугольника размером m×n клеток.

867. На уроке танцев 17 мальчиков и 17 девочек построили двумя параллельными рядами так, что образовалось 17 пар. При этом в каждой паре рост мальчика отличается от роста девочки не более чем на дециметр. Докажите, что если в каждом ряду перестроить мальчиков и девочек по росту, то по-прежнему в каждой паре мальчик и девочка будут отличаться не более чем на дециметр.

868. Плоские углы при вершине треугольной пирамиды не прямые. Из вершин основания в боковых гранях проведены высоты. Докажите, что три прямые, соединяющие между собой основания высот каждой грани, параллельны одной плоскости.

869. Пары последовательных натуральных чисел (8; 9) и (288; 289) обладают тем свойством, что каждое из этих чисел содержит каждый свой простой множитель не менее чем во второй степени.

а) Найдите ещё одну такую пару последовательных чисел.

б) Докажите, что существует бесконечно много таких пар.

870. По одной стороне бесконечного коридора расположено бесконечное число комнат, занумерованных по порядку целыми числами, и в каждой стоит по роялю. В этих комнатах живёт несколько (конечное число!) пианистов. В одной комнате может жить и несколько пианистов. Каждый день какие-то два пианиста, живущие в соседних комнатах — k-й и (k + 1)-й — приходят к выводу, что они мешают друг другу, и переселяются в (k – 1)-ю и (k + 2)-ю комнаты. Докажите, что через конечное число дней переселения прекратятся.

871. В каждую клетку таблицы размером 3×3 записаны числа 1 или –1. Затем одновременно число в каждой клетке заменяют на произведение чисел, расположенных во всех соседних клетках (соседними считаем клетки, имеющие общую сторону). Докажите, что после нескольких таких операций во всех клетках будут только единицы.

872. На плоскости расположены три окружности ω1, ω2 и ω3 радиусов r1, r2 и r3 — каждая вне двух других, причём r1 > r2 и r1 > r3. Из точки пересечения внешних касательных к окружностям ω1 и ω2 проведены касательные к окружности ω3, а из точки пересечения внешних касательных к ω1 и ω3 — касательные к ω2. Докажите, что последние две пары касательных образуют четырёхугольник, в который можно вписать окружность, и найдите её радиус.

873. Учитель написал на доске квадратный трёхчлен x2 + 10x + 20. Затем каждый ученик по очереди увеличивал или уменьшал на единицу по своему выбору один из младших коэффициентов (коэффициент при x или свободный член), но не оба сразу. В результате получился трёхчлен x2 + 20x + 10. Можно ли утверждать, что в некоторый момент на доске был написан квадратный трёхчлен с целыми корнями?

874. При каких целых m и n а) m-я степень числа, являющегося суммой числа 5 и утроенного квадратного корня из 2, равна n-й степени числа, являющегося суммой числа 3 и упятерённого квадратного корня из 2; б) m-я степень числа, являющегося суммой числа a и умноженного на число b квадратного корня из d, равна n-й степени числа, являющегося суммой числа b и умноженного на число a квадратного корня из d, где a и b — взаимно простые натуральные числа, d — натуральное число, d > 1, а среди делителей числа d нет ни одного квадрата простого числа? Решение М874.

875. По кругу написано n натуральных чисел, причём n > 2, причем отношение суммы двух соседей любого из этих чисел к нему самому является натуральным числом. Докажите, что сумма всех n таких отношений а) не меньше 2n; б) меньше 3n.

876. На окружности, касающейся сторон угла с вершиной О, выбраны две диаметрально противоположные точки А и В, отличные от точек касания. Прямая, касающаяся окружности в точке В, пересекает стороны угла в точках C и D, а прямую ОА — в точке Е. Докажите равенство длин отрезков ВC и DE.

877. Из листа клетчатой бумаги размером 29×29 вырезали 99 квадратиков размера 2×2 каждый. Докажите, что из этого листа можно вырезать ещё один такой квадратик.

878. Если сумма величин плоских углов при вершине пирамиды больше 180°, то каждое боковое ребро пирамиды меньше полупериметра её основания. Докажите это.

879. Если a, b, c, d, e — целые числа, причём a + b + c + d + e и a2 + b2 + c2 + d2 + e2 делятся на нечётное простое число p, то a5 + b5 + c5 + d5 + e5 – 5abcde делится на p. Докажите это.

880. В последовательности 1, 0, 1, 0, 1, 0, 3, 5, 0, 9, 8, 5, ... каждый член, начиная с седьмого, равен последней цифре суммы шести предыдущих. Докажите, что в этой последовательности не встретятся подряд шесть чисел 0, 1, 0, 1, 0, 1.

881. Сумма расстояний от произвольной точки плоскости до трёх вершин равнобедренной трапеции больше расстояния от этой точки до четвёртой вершины. Докажите это.

882. Если сумма трёх целых чисел равна нулю, то сумма их четвёртых степеней — удвоенный квадрат целого числа. Докажите это.

883. В какое наименьшее число цветов нужно раскрасить клетки бесконечного листа клетчатой бумаги, чтобы

а) любые две клетки на расстоянии 6 были покрашены в разные цвета? (Расстояние между клетками — наименьшее число линий сетки, горизонтальных и вертикальных, которые должна пересечь ладья на пути из одной клетки в другую.)

б) любые четыре клетки, образующие фигуру формы буквы Г, были покрашены в четыре разных цвета?

884. Непрерывная и монотонная функция f определена на отрезке [0; 1] и принимает значения также на отрезке [0; 1]. Докажите, что её график можно покрыть n прямоугольниками площади 1⁄n2 каждый, стороны которых параллельны осям координат.

885. Для каждого натурального числа n обозначим через p(n) количество разбиений числа n в сумму натуральных слагаемых (разбиения, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаем одинаковыми). Количество различных чисел в разбиении назовём его разбросом.

а) Докажите, что сумма q(n) разбросов всех разбиений числа n равна 1 + p(1) + p(2) + ... + p(n – 1).

б) Докажите, что эта сумма не превосходит произведения числа p(n) на квадратный корень из 2n.

886. Можно ли в 4n – 4 клеток, расположенных по периметру квадрата размером n×n, расставить 4n – 4 последовательных целых чисел (не обязательно положительных) так, чтобы суммы чисел в вершинах каждого прямоугольника, стороны которого параллельны диагоналям квадрата, а также суммы чисел в концах каждой диагонали равнялись одному и тому же числу s? Решите задачу для n, равного а) 3; б) 4; в) 5; г) 1985. Если расстановка возможна, найдите допустимые значения s.

887. Из точки C к окружности проведены две касательные CA и CB, где A и B — точки касания. Вторая окружность проходит через точку C, касается прямой AB в точке B и пересекает первую окружность в точке M. Докажите, что прямая AM делит отрезок BC пополам.

888. Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют равенству ab = cd. Докажите, что число a1984 + b1984 + c1984 + d1984 составное.

889. Существуют ли на плоскости такие три точки А, В и С, что для любой точки P плоскости длина хотя бы одного из отрезков РА, РВ и РС иррациональна?

890. На территории страны, имеющей форму квадрата со стороной 1000 км, находится 51 город. Страна располагает средствами для прокладки 11 000 км шоссейных дорог. Сможет ли она соединить сетью шоссейных дорог все свои города?

891. Окружность касается двух сторон треугольника и двух его медиан. Докажите, что этот треугольник равнобедренный.

892. а) Среди чисел вида 2m + 2k, а также среди чисел вида 3m + 3k бесконечно много квадратов, а среди чисел вида 4m + 4k, 5m + 5k или 6m + 6k нет ни одного квадрата целого числа (здесь m и k — натуральные числа, не равные друг другу).

б) Есть ли квадраты среди чисел вида 7m + 7k?

893. Каждые два из n блоков ЭВМ соединены проводом. Можно ли каждый из этих проводов покрасить в один из n – 1 цветов так, чтобы от каждого блока отходило n – 1 проводов разного цвета, если а) n = 6; б) n = 13?

894. а) Сумма пяти неотрицательных чисел равна 1. Докажите, что их можно расставить по кругу так, чтобы сумма пяти попарных произведений соседних чисел не превосходила 1⁄5.

б) По кругу расставлено n ³ 4 неотрицательных чисел, сумма которых равна 1. Докажите, что сумма всех n попарных произведений соседних чисел не превосходит 1⁄4.

895. Площадь сечения куба плоскостью, касающейся вписанной в него сферы, не превосходит половины площади грани куба. Докажите это, когда сечение — а) треугольник; б) четырёхугольник.

в) В случае а) площадь полной поверхности отсекаемого от куба тетраэдра меньше площади грани куба. Докажите это.

896. Четырёхугольник АВСD выпуклый. Окружность с диаметром АВ не касается прямой СD. Докажите, что окружность с диаметром СD касается прямой АВ тогда и только тогда, когда прямые ВС и АD параллельны.

897. Найдите хотя бы одну такую пару (xy) целых чисел, что (x + y)7 – x7 – y7 делится на 7, а xy(x + y) не делится на 7.

898. Для нечётных натуральных чисел a < b < c < d выполнены равенства ad = bc, a + d = 2k и b + c = 2m, где k и m — некоторые натуральные числа. Докажите, что а) a = 1; б) для каждого m > 2 существует и единственен набор чисел a, b, c, d и k, удовлетворяющий этим условиям.

899. Назовём округлением числа х замену его на одно из двух чисел [x] или –[–x]. (Таким образом, при округлении целое число не меняем, а нецелое заменяем на одно из двух целых чисел, между которыми оно расположено.)

а) Докажите, что в любом равенстве вида x1 + x2 + ... + xm = y1 + y2 + ... + yn все слагаемые можно округлить так, что равенство останется верным.

б) В прямоугольную таблицу записаны некоторые числа, причём суммы по строкам и суммы по столбцам — целые числа. Докажите, что все числа таблицы можно округлить так, что суммы ни по строкам, ни по столбцам не изменятся.

в) Пусть теперь суммы по строкам и суммы по столбцам не обязательно целые. Докажите, что все числа таблицы можно округлить так, что как суммы по строкам, так и суммы по столбцам будут округлениями соответствующих «бывших» сумм.

900. Может ли проекция выпуклого шестигранника на плоскость быть а) 8-угольником; б) 9-угольником?

в) Какое наибольшее число сторон может иметь проекция выпуклого многогранника с n гранями?

1985 год

901. Биссектрисы AK и BM треугольника ABC пересекаются в точке I. Докажите, что если IK = IM, то AC = BC или величина угла ACB равна 60°.

902. Натуральный ряд разбит на несколько арифметических прогрессий. Докажите, что хотя бы у одной из этих прогрессий первый член делится на её разность.

903. Существует ли выпуклый многогранник, любое сечение которого плоскостью, не проходящей ни через одну вершину, является многоугольником с а) чётным; б) нечётным числом сторон?

904. Для каждого натурального числа A = a0 + a1 · 10 + ... + an · 10n положим D(A) = an + an–1 · 2 + ... + a1 · 2n–1 + a0 · 2n. Например, D(1985) = 1 + 9 · 2 + 8 · 4 + 5 · 8 = 91, D(91) = 9 + 1 · 2 = 11 и D(11) = 1 + 1 · 2 = 3.

а) Для любого натурального числа A в последовательности A1 = D(A), A2 = D(A1), A3 = D(A2),... встретится некоторое такое число A < 20, что D(A) = A. Докажите это.

б) Найдите A для A = 1985.

905. Уравнение 4xn + (x + 1)2 = y2 относительно натуральных чисел x и y а) не имеет решений при n = 1; б) имеет по крайней мере два решения при n = 2; в) имеет бесконечно много решений при n = 2; г) не имеет решений ни для какого натурального n > 2. Докажите эти утверждения.

906. а) Для любого натурального a уравнение xy = a(x + y) имеет по крайней мере три решения в натуральных числах x и y. Докажите это.

б) Найдите количество решений этого уравнения в натуральных числах при a = 1985.

907. Если сумма утроенной величины угла A и удвоенной величины угла B равна 180°, то BC2 = AB2 – AB · AC. Докажите это.

908. а) На стороне АВ треугольника АВ выбрана точка Р, и через неё проведены прямые, параллельные АВ и АС соответственно, до пересечения со сторонами АС и ВС в точках M и N соответственно. При каком выборе точки Р отрезок MN имеет наименьшую длину?

Решите задачу а) для треугольника с прямым углом С; б) для произвольного треугольника АВС.

909. а) Докажите существование арифметической прогрессии, состоящей из четырёх различных членов, каждый из которых — более чем первая степень натурального числа.

б) Существует ли сколь угодно длинная такая прогрессия?

в) А бесконечно длинная?

Существует ли бесконечная (не постоянная) арифметическая прогрессия, не содержащая г) ни одной более чем первой степени натурального числа; д) ни одного числа, составленного из одинаковых цифр?

910. На сторонах правильного шестиугольника взяты точки А1, А2,..., А6. Известно, что три попарно не смежные стороны А1А2, А3А4 и А5А6 шестиугольника А1А2А3А4А5А6 определяют треугольник KLM, вершины которого лежат на продолжениях диагоналей правильного шестиугольника. Докажите, что это верно и для трёх других сторон шестиугольника А1А2А3А4А5А6.

911. На сторонах АВ и СD выпуклого четырёхугольника АВСD выбраны произвольные точки E и F соответственно. Докажите, что середины отрезков AF, BF, CE и DE являются вершинами выпуклого четырёхугольника, причём его площадь не зависит от выбора точек E и F.

912. а) Многочлен x2; б) любой многочлен можно представить в виде разности двух многочленов, каждый из которых является монотонно возрастающей функцией. Докажите это.

913. Касательные к описанной вокруг треугольника ABC окружности, проведённые в точках А и В, пересекаются в точке Р. Докажите, что прямая РС

а) пересекает сторону АВ в точке К, делящей её в отношении АС2 : ВС2;

б) симметрична медиане, проведённой из С, относительно биссектрисы угла С треугольника.

914. На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий (серый и бурый становятся оба малиновыми и так далее). Может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?

915. Выпишем по окружности четыре положительных числа и вычислим частное от деления каждого из них на сумму двух следующих за ним по часовой стрелке. Докажите, что сумма этих частных не меньше 2.

916. Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь ограниченного ими шестиугольника равна половине площади треугольника.

917. а) Чему равна длина максимальной серии идущих подряд несчастливых билетов? б) Сколько существует таких серий максимальной длины? (Номера билетов меняются от 000 000 до 999 999. Билет называем счастливым, если сумма первых трёх цифр равна сумме трёх последних цифр.)

918. Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, а длины его сторон — целые числа. Докажите, что эти числа — 3, 4 и 5.

919. а) Сумма интеграла от функции tg x по отрезку [0; π⁄4] и интеграла от функции arctg x по отрезку [0; 1] равна π⁄4. Докажите это.

б) Сумма интеграла от корня четвёртой степени из x4 + 1 по отрезку [0; 3] и интеграла от корня четвёртой степени из x4 – 1 по отрезку [1; 3] больше 9 и меньше 9,001. Докажите это.

920. а) Найдите хотя бы одно решение уравнения x3 + y3 + z3 = x2y2z2 в натуральных числах.

б) Уравнение x3 + y3 + z3 = nx2y2z2 имеет решение в натуральных числах только при n = 1 или 3. Докажите это и найдите все эти решения.

921. Известны величина α угла A и величина β угла B выпуклого четырёхугольника ABCD, а его удвоенная площадь равна AB · CD + BC · AD. Найдите отношения длин сторон AB : BC : CD : DA, если а) α = 5π⁄12 и β = 7π⁄12; б) α = π⁄2 и β = π⁄3?

922. Уравнение sinp x + cosq x = 1, где p > 0 и q > 0, имеет решение x на интервале (0; π⁄2) тогда и только тогда, когда (p – 2)(q – 2) < 0 или p = q = 2. Докажите это.

923. Площадь проекции куба с ребром 1 на любую плоскость численно равна длине его проекции на прямую, перпендикулярную этой плоскости. Докажите это.

924. Каждые две из n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, соединены отрезком, и на всех отрезках расставлены стрелки. Треугольник АВС с вершинами в данных точках называем ориентированным, если стрелки расставлены в направлениях АВ, ВС, СА или АС, СВ и ВА (например, на рисунке всего три ориентированных треугольника).

а) Расставьте стрелки, чтобы не возникло ни одного ориентированного треугольника.

б) Каково наибольшее возможное число ориентированных треугольников (для каждого n)? Нарисуйте соответствующие примеры для n = 4, 5 и 6.

925. На белой плоскости расположена синяя фигура К0. Из неё получается новая синяя фигура К1 по следующему правилу, применяемому одновременно ко всем точкам М плоскости: если не менее половины площади круга радиуса 1 с центром в точке М занято синим цветом, то точка М становится синей, а если менее половины — то белой. На следующем шагу из полученной синей фигуры К1 по тому же правилу получается фигура К1, затем из неё — фигура К3 и так далее. Докажите, что а) для произвольной ограниченной фигуры К0, начиная с некоторого шага, вся плоскость станет белой; б) если К0 — круг радиуса 100, то это случится не позже чем через миллион шагов.

926. Если x2 + y2 = u2 + v2 = 1 и xu + yv = 0, то x2 + u2 = y2 + v2 = 1 и xy + uv = 0. Докажите это.

927. На плоскости дано конечное множество точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проведено несколько отрезков с концами в данных точках. Эти отрезки разрешено менять: если какие-то два из них, АС и ВD, пересекаются, их можно стереть и провести отрезки а) АВ и СD; б) АВ и ВС. (Если «новый» отрезок уже проведён, проводить его во второй раз не нужно.) Можно ли несколькими такими заменами вернуться к исходному набору отрезков?

928. В кинотеатре N + 1 место. Сначала N человек, имеющие билеты с указанием мест (в их числе и Игорь), сели на произвольные N мест, не глядя на свои билеты. Пришедший последним (N + 1)-й зритель хочет занять своё место; если оно занято,— сгоняет сидящего там, тот поступает так же и так далее, пока нужное согнанному место не окажется свободным. Какова вероятность того, что Игорю придётся пересесть? (Другими словами, какую долю среди всех возможных размещений зрителей составляют невыгодные для Игоря?)

929. Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют равенству a4 + b4 + c4 + d4 = e4 . Докажите, что по крайней мере а) три из них чётны; б) три делятся на 5; в) два числа делятся на 10.

930. Числа от 1 до 1985 разбиты на 6 множеств. Докажите, что хотя бы в одном из них есть три числа, одно из которых равно сумме двух других, или два числа, одно из которых вдвое больше другого.

931. В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон AB, BC и CA в точках C', A' и B' соответственно. Если AA' = BB' = CC', докажите, что треугольник ABC — равносторонний.

932. В квадратной клетке со стороной 1 м находится анаконда длиной 10 м. Барон Мюнхгаузен утверждает, что он в любой момент может прострелить её сразу в 6 местах. Не хвастает ли он? (Анаконду можете считать ломаной длины 10, расположенной внутри квадрата 1×1.)

933. 13 рыцарей из k разных кланов, где 1 < k < 13, сидят за круглым столом. Каждый держит золотой или серебряный кубок, причём золотых кубков ровно k штук. Король Артур приказал своим рыцарям одновременно передать кубки своим соседям справа, потом сделать то же самое ещё раз и так далее. Докажите, что найдутся такой момент времени и такие два рыцаря из одного клана, что в руках у них — золотые кубки.

934. В пространстве расположены 2n точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Проведены n2 + 1 отрезков с концами в этих точках. Докажите, что проведённые отрезки образуют а) хотя бы один треугольник; б) не менее n треугольников.

935. Внутри правильного 2n-угольника с центром О произвольным образом расположен правильный 2n-угольник с вдвое меньшей стороной. Докажите, что он накрывает точку О, если а) n = 2; б) n = 3; в) n — любое натуральное число, не равное 1.

936. За 3n + 1 взвешиваний на чашечных весах без гирь можно выделить самый лёгкий и самый тяжёлый из 2n + 2 камней, если: а) n = 3; б) n — любое натуральное число. Докажите это.

937. Существует ли такая а) произвольная; б) выпуклая фигура, что ею нельзя накрыть полукруг радиуса 1, а двумя её экземплярами можно накрыть круг радиуса 1?

938. Радиус круга, центр которого — точка O, равномерно вращается, поворачиваясь каждую секунду на угол величиной 360°⁄n, где n — натуральное число, большее 3. В начальный момент он занимал положение ОМ0, через секунду — положение ОМ1, ещё через 2 секунды — положение ОМ2, через 3 секунды после этого — положение ОМ3 и так далее, наконец, ещё через n – 1 секунд — положение ОМn – 1.

а) Если n — степень числа 2, то радиусы ОМ0, ОМ1,..., ОМn – 1 делят круг на n равных секторов. Докажите это.

б) Возможно ли это при других значениях n?

939. В клетки таблицы размером 10×10 записали каким-либо образом цифры так, что каждая цифра встречается 10 раз.

а) Возможно ли, что в каждой строке и в каждом столбце не более 4 различных цифр?

б) Докажите, что хотя бы в одной строке или хотя бы в одном столбце не менее 4 различных цифр.

940. а) Квадрат разбит на прямоугольники. Назовём цепочкой такое множество этих прямоугольников, что их проекции на одну из сторон квадрата целиком покрывают эту сторону без перекрытий (пример изображён на рисунке). Докажите, что любые два прямоугольника входят в некоторую цепочку.

б) Докажите аналогичное утверждение для куба, разбитого на прямоугольные параллелепипеды (в определении цепочки сторону квадрата нужно заменить на ребро куба).

в) Верно ли, что любые два параллелепипеда в разбиении куба принадлежат одному «слою» — множеству параллелепипедов, проекции которых на некоторую грань заполняют её целиком, не налегая друг на друга?

941. Дан правильный (4k + 2)-угольник А0А1...А4k + 1 с центром О. Докажите, что сумма длин отрезков, высекаемых углом АkOАk + 1 на прямых А1А2k, А2А2k – 1,..., Аk + 1 (на рисунке проиллюстрирован случай k = 2), равна радиусу ОА0 описанной окружности (4k + 2)-угольника, если а) k = 2; б) k — любое натуральное число.

942. Первые 2n натуральных чисел разбиты на два множества по n чисел в каждом. Пусть a1 < a2 < ... < an — числа первого множества, расположенные в порядке возрастания, а b1 < b2 < ... < bn — числа второго множества, расположенные в порядке убывания. Докажите, что сумма модулей разностей a1 – b1, a2 – b2,..., an – bn равна  n2.

943. Последовательность a1, a2, a3, ... задана формулами a2n = an, a4n–3 = 1 и a4n–1 = 0 для любого натурального n. Докажите, что эта последовательность непериодическая.

944. Правильный шестиугольник разбит на 24 равных треугольника, как на рисунке. Во всех 19 узлах образовавшейся фигуры записаны различные числа. Докажите, что среди 24 треугольников разбиения найдутся 7 таких, в вершинах которых тройки чисел записаны в порядке возрастания против часовой стрелки.

945. Рассмотрим строго возрастающую неограниченную последовательность положительных чисел. Для каждого натурального n вычислим сумму частных вида ak : ak+1, где 1 £ k £ n. Докажите, что для всех достаточно больших n эта сумма меньше числа а) k – 1; б) k – 1985.

946. Две параболы расположены на плоскости так, что их оси взаимно перпендикулярны и параболы пересекаются в четырёх точках. Докажите, что эти четыре точки лежат на одной окружности.

947. На доске написаны числа 1, 1⁄2, 1⁄3, 1⁄4, 1⁄5, 1⁄6, 1⁄7, 1⁄8, 1⁄9, 1⁄10, 1⁄11 и 1⁄12.

а) Докажите, что как бы мы ни расстaвляли знаки «+» и «–» между этими числами, выражение не будет равно 0.

б) Какое наименьшее количество написанных чисел необходимо стереть с доски для того, чтобы после некоторой расстановки «+» и «–» между оставшимися числами значение выражения равнялось 0?

948. Если равносторонний треугольник покрыт пятью меньшими равными равносторонними треугольниками, то его можно покрыть четырьмя такими треугольниками. Докажите это. (Треугольник рассматриваем вместе с его внутренней областью; треугольники разрешено передвигать.)

949. Даны 1985 гирь с массами 1 г, 2 г, 3 г,..., 1984 г, 1985 г. Можно ли их разделить на пять групп так, чтобы и число гирь, и их суммарная масса были бы одинаковы во всех пяти группах?

950. Двадцать пять коротышек хотят получить по единичному квадратику в квадрате размером 5×5. Каждый коротышка находится в ссоре не более чем с тремя другими коротышками. Докажите, что можно распределить участки таким образом, чтобы участки никаких двух поссорившихся коротышек не были бы соседними. (Соседними называем участки, имеющие общую сторону.)

951. Длины всех сторон выпуклого шестиугольника ABCDEF равны 1. Докажите, что радиус описанной окружности хотя бы одного из треугольников АСЕ и BDF не меньше 1.

952. а) Приведите пример числа а, удовлетворяющего равенству {а} + {1⁄а} = 1.

б) Докажите, что любое такое число а иррационально.

Здесь фигурные скобки обозначают дробную часть данного числа, то есть разность между самим числом и его целой частью. Целая часть данного числа — это наибольшее целое число, не превосходящее данного числа.

953. На плоскости даны 6 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проводятся все 15 прямых, соединяющих попарно эти точки. Каково наибольшее число точек (отличных от данных), в которых пересекаются три из этих 15 прямых?

954. а) В треугольник вписан прямоугольник со сторонами a и b так, что все его вершины лежат на сторонах треугольника. Пусть x и y — длины проекций треугольника на прямые, параллельные сторонам длин a и b соответственно. Докажите, что сумма частного от деления числа a на x и частного от деления числа b на y равна 1.

б) В тетраэдр вписан прямоугольный параллелепипед со сторонами a, b и c так, что все его вершины лежат на поверхности тетраэдра. Пусть x, y и z — длины проекций треугольника на прямые, параллельные рёбрам a, b и c соответственно. Докажите, что сумма частных от деления a на x, b на y и с на z равна 1.

955. За круглым столом сидят n участников «безумного чаепития». Каждую минуту одна пара соседей меняется местами. Через какое наименьшее время все участники чаепития могут оказаться сидящими в обратном порядке (так, что левые соседи у каждого станут правыми и наоборот)? Решите эту задачу для а) n = 4, 5 или 6; б) любого натурального n > 2.

956. На плоскости проведены четыре окружности одинакового радиуса так, что три из них проходят через точку А и три — через точку В. Докажите, что четыре точки их попарного пересечения, отличные от А и В,— вершины параллелограмма.

957. Из любых 1985 различных натуральных чисел, все простые делители которых содержатся среди первых 9 простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и 23, можно выбрать четыре числа, произведение которых — четвёртая степень целого числа.

958. a1 < a2 < ... < an — неотрицательные целые числа. Докажите, что у многочлена (1 + x)a1 + (1 + x)a2 + ... + (1 + x)an не меньше нечётных коэффициентов, чем у многочлена (1 + x)a1.

959. В стране между некоторыми парами городов установлено авиационное сообщение. Докажите, что можно закрыть не более чем 1⁄(k – 1) часть авиалиний таким образом, что среди любых k городов найдутся два, не соединённые между собой авиалинией, если а) k = 3; б)k — любое натуральное число, k > 1.

960. а) Если разность кубов двух последовательных натуральных чисел — квадрат некоторого натурального числа n, то число n представимо в виде суммы квадратов двух последовательных натуральных чисел. Докажите это утверждение.

б) Вот пример таких чисел: 83 – 73 = (22 + 32)2. Приведите ещё хотя бы один пример.

в) Докажите, что таких примеров бесконечно много. Решение М960.

1986 год

961. На стороне AB квадрата ABCD взята точка E, а на стороне CD — точка F, причём 2AE = BE и CF = CD. Подобны ли треугольники AKE и CFL?

962. Ни для какого многочлена P с целыми коэффициентами не существуют такие не равные одно другому целые числа x1, x2,..., xn, что n > 2 и x2 = P(x1), x3 = P(x2),..., xn = P(xn–1) и x1 = P(xn). Докажите это.

963. Каждая сторона шестиугольника параллельна противоположной его стороне. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

964. В любой последовательности a1, a2, a3,... различных натуральных чисел, удовлетворяющей для любого натурального n неравенству аn < 100n, есть число, в десятичной записи которого встречается а) цифра 1; б) 1986 единиц подряд. Докажите это.

965. Дано шесть чисел а1, а2,..., а6. Чтобы подсчитать «в лоб» сумму их попарных произведений а1а2 + а1а3 + ... + а5а6, нужно затратить 15 умножений и 14 сложений. Покажите, как можно найти сразу сумму этих чисел, а также суммы их произведений по два, по три, по четыре и по пять, затратив всего 15 сложений и 14 умножений.

966. Любой треугольник можно разрезать отрезками на четыре части, из которых можно составить два подобных ему треугольника. Докажите это.

967. Обозначим через σ(n) сумму всех натуральных делителей числа n (включая 1 и n), а через φ(n) — количество чисел, не превосходящих числа n и взаимно простых с n. Докажите для любого натурального n неравенство σ(n) + φ(n³ 2n.

968. Три многоугольника в пространстве расположены так, что их плоскости пересекаются в одной точке О.

а) Существует плоскость, площади проекций на которую этих трёх многоугольников равны. Докажите это.

б) Сколько существует таких плоскостей, проходящих через точку О?

969. Для любых положительных чисел a, b и c сумма чисел a3⁄(b2 + bc + c2), b3⁄(c2 + ca + a2) и c3⁄(a2 + ab + b2) не меньше среднего арифметического чисел a, b и c. Докажите это.

970. На начальной остановке в автобус вошли 32 пассажира, которым нужно ехать до 32 разных остановок, расположенных на расстоянии 1 км друг от друга. Водитель решил провести голосование: какие остановки отменить, а какие сохранить. Он называет остановки в некотором порядке. Пассажир голосует за отмену остановки, если он собирается ехать дальше, против, если он собирается выходить на этой остановке, и воздерживается, если — раньше (не учитывая, что при дальнейшем голосовании могут отменить и его остановку). Если за отмену подано больше голосов, чем против, остановку отменяют, а те, кто хотел на ней выходить, решают ехать до ближайшей к ней из ещё не отменённых (если таких две — до первой из них). Какое а) наименьшее; б) наибольшее число остановок может сохраниться в зависимости от порядка, в котором их называет водитель?

971. Восемь волейбольных команд провели турнир в один круг (каждая сыграла с каждой один раз). Докажите, что можно выбрать из них такие команды A, B, C и D, что A выиграла у B, C и D, команда B выиграла у C и D, а C выиграла у D.

972. Последовательность x1, x2, x3,... задана условиями x1 = 1⁄2 и xn+1 = xn2 + xn для любого натурального n. Найдите целую часть суммы обратных величин чисел 1 + x1, 1 + x2,..., 1 + x100.

973. AH — высота, а BE — биссектриса треугольника ABC. Если величина угла BEA равна 45°, то и величина угла EHC равна 45°. Докажите это.

974. Двое играют в шахматы с часами. После того, как оба сделали по 40 ходов, часы обоих показывали 2 часа 30 минут.

а) Докажите, что в партии был момент, когда часы одного обгоняли часы другого более, чем на 1 минуту 50 секунд.

б) Можно ли утверждать, что в некоторый момент разница показаний часов была не менее 2 минут?

975. На «шахматной доске» размером n×n стоят 20 разных фигур, каждая из которых с любого поля бьёт не более 20 полей.

а) Докажите, что при n = 100 эти фигуры можно передвинуть так, чтобы они не били друг друга.

б) Пусть дополнительно известно, что если фигуру сдвинуть, то множество полей, которые она бьёт, тоже параллельно сдвинется (на тот же вектор). Докажите, что при n = 30 эти 20 фигур можно передвинуть так, чтобы они не били друг друга.

976. Из вершины A квадрата ABCD проведены два луча, образующие между собой угол величиной 45°. Один пересекает сторону ВС в точке Е, а диагональ ВD — в точке Р, другой — сторону СD в точке F, а диагональ ВD — в точке Q. Докажите, что площадь треугольника АЕF вдвое больше площади треугольника АРQ.

977. Можно ли с помощью операций сложения, вычитания и умножения из многочленов f и g получить x, если а) f = x2 + x и g = x2 + 2; б) f = x2 + x и g = x2 – 2; в) f = 2x2 + x и g = 2x; г) f = 2x2 + x и g = x2?

978. Можно ли в квадрате со стороной 1 расположить два непересекающихся равносторонних треугольника, стороны которых больше квадратного корня из 2⁄3?

979. Пусть k и n — натуральные числа, 1 < k £ n. Назовём набор k положительных чисел a1, a2,..., ak, меньших 1, исключительным, если для любого разбиения n = n1 + n2 + ... + nk числа n на неотрицательные слагаемые хотя бы одно из чисел ajnj, где 1 £ j £ n,— целое.

а) Для каких k и n существует исключительный набор?

б) Каковы исключительные наборы?

980. Внутри выпуклого а) многоугольника; б) многогранника A1A2...An взята точка O. Докажите, что среди углов AjOAk, где 1 £ j < k £ n, не менее чем n – 1 имеют величину от 90° до 180°.

981. Число 11...1 (1986 единиц) имеет по крайней мере а) 8; б) 28 различных делителей. Докажите это.

982. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС построены во внешнюю сторону квадраты АВВ1А2, ВСC1B2 и САА1С2. Докажите, что перпендикуляры к отрезкам А1А2, В1В2 и С1С2, восставленные в их серединах, пересекаются в одной точке.

983. В турнире с участием 16 теннисистов каждые двое играют одну партию.

а) Приведите пример такого турнира, 10 любых участников которого можно расставить так, чтобы каждый выиграл у своего левого соседа.

б) Докажите, что если условие пункта а) выполнено, то и любых 11 участников можно расставить по кругу таким образом.

984. Через произвольную точку К квадрата АВСD проведена прямая, пересекающая его противоположные стороны АВ и СD в точках Р и Q. Докажите, что отличная от К точка пересечения окружностей, проходящей через точки К, В и Q, с окружностью, проходящей через точки К, D и P, лежит на диагонали ВD.

985. Углом между двумя прямыми, пересекающимися в точке O, называем угол между их лучами с вершиной O, не превосходящий 90°. Сколькими способами через точку O в пространстве можно провести прямые l1, l2 и l3 так, чтобы углы между l2 и l3, l3 и l1, l1 и l2 соответственно равнялись данным величинам α1, α2 и α3? (Две тройки прямых не различаем, если они конгруэнтны, то есть если поворотами вокруг осей и симметриями относительно плоскостей можно одну тройку перевести в другую.) Предостережение. Ответ зависит от величин α1, α2 и α3. Например, для α1 = α2 = α3 = 30° он не такой, как для α1 = α2 = α3 = 70°.

986. Для любых положительных чисел a и b сумма удвоенного квадратного корня из a и утроенного кубического корня из b не меньше пяти корней пятой степени из произведения ab. Докажите это.

987. В турнире участвуют 2m команд. В первом туре встретились некоторые m пар команд, во втором — другие m пар. Докажите, что после этого можно выбрать m команд, никакие две из которых ещё не играли между собой.

988. Из точки O на плоскости проведены n векторов единичной длины. Докажите, что если для некоторого натурального числа k, где 2k < n, по обе стороны от каждой прямой, проходящей через O, лежит не менее k векторов, то длина суммы всех векторов не превосходит n – 2k.

989. Найдите все такие натуральные числа a, для которых число a – 1 является суммой а) двух; б) трёх делителей числа a (не обязательно различных; множеству делителей принадлежит и 1).

в) Для любого n существует лишь конечное число таких натуральных a, что a – 1 является суммой n натуральных делителей числа a (не обязательно различных).

990. В пространстве заданы три попарно скрещивающиеся прямые, не параллельные одной плоскости. Сколько существует различных параллелепипедов, у которых эти прямые

а) проходят по рёбрам?

б) проходят по рёбрам и диагоналям граней?

в) содержат 6 вершин параллелепипеда?

991. CH — высота, а CK — медиана треугольника ABC. На стороне AB выбраны точки E и F так, что величина угла ACE равна величине угла BCF; на лучи CE и CF опущены перпендикуляры AM и BN. Докажите, что точки M, H, K и N лежат на одной окружности.

992. Среди 90 выпускников одной математической гимназии у каждого не менее 10 друзей. Докажите, что любой выпускник может пригласить в гости трёх других так, что среди четырёх собравшихся у каждого будет не менее двух друзей.

993. а) Найдите 11 последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых — квадрат натурального числа.

б) При 2 < n < 11 не существует n последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых — квадрат. Докажите это.

994. При каком наибольшем k неравенство a4 + b4 + c4 + abc(a + b + c³  k(ab + bc + ca)2 верно при всех значениях a, b и c?

995. Функция f определена и непрерывна на всём множестве вещественных чисел и удовлетворяет равенству f (f (x)) = f (x) + x для любого x. а) Найдите две такие функции f. б) Других таких функций нет. Докажите это.

996. Два одинаковых квадрата в пересечении образуют восьмиугольник. Стороны одного квадрата синие, другого — красные. Докажите равенство суммы длин синих сторон восьмиугольника сумме длин его красных сторон.

997. Рассмотрим всевозможные произведения mn, где 1 £ m < n £ 1996. Сумма обратных величин всех этих произведений не является целым числом. Докажите это.

998. Рассмотрим все тетраэдры AXBY, описанные около данной сферы. Докажите, что при фиксированных точках A и B сумма углов пространственного четырёхугольника ABCD, то есть сумма величин углов AXB, XBY, BYA и YAX, не зависит от выбора точек X и Y.

999. Для любого натурального числа n рассмотрим последовательность, состоящую из n положительных чисел. Для каждого натурального числа k £ n разделим k на сумму первых k чисел рассматриваемой последовательности. Разделим сумму таких частных на сумму обратных величин чисел рассматриваемой последовательности. Докажите, что частное а) меньше 4; б) меньше 2; в) может быть сколь угодно близко к 2.

1000. В дугу вписана ломаная АМВ, состоящая из двух отрезков, причём АМ > МВ. Докажите, что основание перпендикуляра КН, опущенного из середины К дуги АВ на отрезок АМ, делит ломаную пополам:  = HM + MB.

1001. В куче 1001 камень. Её произвольно делим на две кучи, подсчитываем количества камней в них и записываем произведение этих двух чисел. Затем с одной из этих куч (в которой больше одного камня) проделываем ту же операцию: делим на две и записываем произведение чисел камней в двух вновь образованных кучах. Затем ту же операцию повторяем с одной из трёх полученных куч и так далее, пока во всех кучах не станет по одному камню. Чему равна сумма 1000 записанных произведений?

1002. а) Рассеянный математик, забыв трёхзначный код своего подъезда, нажимает кнопки с цифрами 0, 1, 2,..., 8, 9 по одной в секунду. Дверь откроется, если три цифры кода в нужном порядке будут набраны подряд. Математик уверен, что даже в случае «крайнего невезения» (если нужная комбинация встретится последней) он сможет войти в подъезд не позже чем через 1002 секунды (то есть 16 минут 42 секунды). Прав ли он? Как действовать, чтобы попасть в дом за наименьшее время?

Ответьте на аналогичный вопрос, если б) исправны только кнопки с цифрами 1, 2 и 3, а никакие другие цифры в код не входят; в) исправны все кнопки, но математик помнит, что все три цифры кода различны.

1003. В треугольнике ABC проведены высоты AA', BB' и CC'. Докажите равенство произведений AB' · BC' · CA', AC' · BA' · CB' и A'B' · B'C' · C'A'.

1004. Через вершину A треугольника ABC, в котором AB ≠ AC, проведём всевозможные прямые. Докажите, что

а) на каждой из них лежит не более чем одна точка M, отличная от вершины треугольника и такая, что величины углов ABM и ACM равны;

б) существует не более пяти таких прямых, на которых нет ни одной такой точки M.

1005. Клетки квадратной таблицы размером n×n, где n > 2, заполняем числами ±1 по следующим правилам:

  • во все граничные клетки таблицы пишем числа –1;
  • число, помещаемое в очередную незаполненную клетку таблицы, равно произведению ближайших к этой клетке чисел, расположенных по разные стороны от неё и лежащих или в одной строке, или в одном столбце с ней. Так делаем до тех пор, пока все клетки таблицы не будут заполнены.

а) Какое наибольшее количество +1 может получиться в таблице?

б) Какое наименьшее число +1 может получиться в таблице?

1006. Через две вершины треугольника проведены две прямые, разбивающие его на три треугольника и четырёхугольник.

а) Могут ли площади всех четырёх частей быть равными?

б) Какие три из этих частей могут иметь равные площади? Во сколько раз отличается от них площадь четвёртой части?

1007. Треугольник со сторонами a1, b1 и c1 подобен треугольнику со сторонами a2, b2 и c2 тогда и только тогда, когда сумма квадратных корней из произведений a1b1, a2b2 и a3b3 равна квадратному корню из произведения периметров этих треугольников. Докажите это.

1008. Лестница состоит из 2n + 1 ступеней. На n нижних ступенях лежит по одному камню. Двое по очереди таскают камни. Первый может переложить любой камень вверх на первую свободную ступеньку, а второй — переложить камень на одну ступеньку вниз, если она свободна. Цель первого — положить камень на верхнюю ступеньку. Может ли второй ему помешать?

1009. Биссектриса угла А параллелограмма АВСD пересекает прямые ВС и СD в точках К и L соответственно. Докажите, что центр окружности, проведённой через точки С, К и L, лежит на окружности, проведённой через точки В, С и D.

1010. Последовательность r1, r2, r3,... определена условиями r1 = 2 и rn+1 = r1r2...rn +1. (Например, r2 = 3, r3 = 7, r4 = 43 и r5 = 1807.)

а) Сумма обратных величин любых нескольких членов этой последовательности меньше 1. Докажите это.

б) Пусть n натуральных чисел таковы, что сумма их обратных величин меньше 1. Докажите, что эта сумма не превышает суммы обратных величин чисел r1, r2,..., rn.

в) Известные нам доказательства опираются на следующую лемму. Если среди всех невозрастающих последовательностей α1, α2,..., αn неотрицательных вещественных чисел, сумма которых равна 1, а при любом натуральном k < n произведение первых k из них не превосходит суммы остальных n – k из них, выбрать ту, для которого величина αn наименьшая, то αkrk = 1 при 1 £ k < n и αn(rn – 1) = 1.

1011. Для любой невозрастающей последовательности n положительных чисел a³  a³  ... ³  an докажите следующие неравенства:

а) a12 – a22 + a32 ³ (a1 – a2 + a3)2;

б) a12 – a22 + a32 – a42 ³ (a1 – a2 + a3 – a4)2;

в) a12 – a22 + ... + (–1)nan–12 + (–1)n+1an³ (a1 – a2 + ... + (–1)nan–1 + (–1)n+1an)2.

1012. а) На плоскости можно расположить несколько непересекающихся кругов так, чтобы каждый касался ровно 5 других. Докажите это.

б) Число 5 в предыдущем пункте нельзя заменить на 6. Докажите это.

1013. На сторонах и ВС треугольника АВС взяты точки М и N соответственно. Три параллельные прямые, проходящие через точки M, B и N, пересекают основание АС в точках К, D и L. Докажите, что площадь трапеции (или параллелограмма) KLMN не больше площади хотя бы одного из треугольников ABD и DBC.

1014. Пусть а1, а2,..., аn — попарно взаимно простые натуральные числа. Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных b, что числа а1 + b, а2 + b, ..., аn + b тоже попарно взаимно просты.

1015. Можно ли разложить на множители с целыми коэффициентами многочлен х4 + х3 + х2 + х + 12 = 0?

1016. Многоугольник описан около окружности с центром O. Пусть Р — центр масс многоугольника, K — центр масс его контура. Докажите, что точки Р, О и К лежат на одной прямой, причём РО = 2РК. (При определении точки Р мы рассматриваем многоугольник как однородную пластину, а при определении точки К — как контур из однородной проволоки.)

1017. Каждой вершине правильного пятиугольника приписано некоторое целое число. Сумма всех пяти чисел положительна. Если трём последовательным вершинам приписаны числа х, y, z, причём y < 0, то эти числа заменяем соответственно на х + y, –y и z + y. Такие операции выполняются, пока хотя бы одно из пяти чисел отрицательно. Обязательно ли этот процесс закончится через конечное число шагов?

1018. Пусть A и В — соседние вершины правильного n-угольника с центром О. Треугольник ХYZ конгруэнтен треугольнику ОАВ и вначале совпадает с ним, а затем движется в плоскости n-угольника так, что точки Y и Z остаются на контуре, а X — внутри n-угольника. Какую фигуру опишет точка X, когда Y и Z совершат полный оборот по границе n-угольника?

1019. На листе клетчатой бумаги отмечено некоторое конечное множество узлов (точек пересечения линий сетки). Докажите, что всегда можно окрасить некоторые точки этого множества в белый цвет, а остальные — в красный так, чтобы на каждой линии сетки количество белых узлов отличалось от количества красных узлов не более чем на 1.

1020. На сфере радиуса 1 проведена а) кривая, длина которой меньше π; б) замкнутая кривая, длина которой меньше 2π. Докажите существование плоскости, проходящей через центр сферы и не пересекающей проведённой кривой. (Можете считать, что кривая на сфере — это «ломаная», состоящая из дуг больших кругов.)

1987 год

1021. Альпинист хочет подняться на скалу высотой 1000 м. После ночёвки в лагере у подножия скалы он может подниматься, навешивая верёвку, со скоростью 40 метров в час, а после холодной ночёвки на скале — 30 метров в час. По готовой верёвке он поднимается со скоростью 400 метров в час. За сколько дней он может достичь вершины, если будет работать на скале (включая подъём по верёвке) 6 часов в день? (Временем спуска и других операций пренебрегите.)

1 4 6 7 8 5 3 2

1022. Первые 8 натуральных чисел можно расставить в виде таблицы из двух строк и четырёх столбцов так, что сумма чисел верхней строки равна сумме чисел нижней строки, а суммы чисел в столбцах также равны между собой. Можно ли расставить подобным образом первые а) десять; б) двенадцать натуральных чисел?

в) При каких натуральных n можно расставить таким образом числа от 1 до 2n?

1023. Среди любых ли 100 треугольников найдётся такой, который можно целиком покрыть остальными 99?

1024. Для любых двух треугольников, вершины каждого из которых занумерованы числами от 1 до 3, разделим косинус каждого из углов первого треугольника на синус соответствующего угла второго треугольника. Докажите, что сумма этих частных не превосходит сумму котангенсов углов первого треугольника, причём равенство выполнено тогда и только тогда, когда соответствующие углы треугольников равны.

1025. Две прямые, проведённые через одну и другую точку пересечения продолжений противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, разрезают его на четыре меньших четырёхугольника. Докажите, что если в два из них, не имеющие общей стороны, можно вписать окружности, то и в исходный четырёхугольник можно вписать окружность.

1026. а) Пять равных дуг AB, BC, CD, DE и EA расположены так, что каждая делится соседними на три равные части, как изображено на рисунке. Найдите величины дуг (в градусах). б) Тот же вопрос для «розетки» из m равных дуг, каждая из которых делится соседними на три равные части.

1027. Число 1985!! + 1986!! делится на 1987. Докажите это. (Через n!! обозначаем произведение всех натуральных чисел, не превосходящих n и имеющих ту же чётность, то есть n!! = n(n – 2)(n – 4) ...)

1028. а) На плоскости заданы две пересекающиеся прямые, и на них отмечено по одной точке (D и E). Постройте треугольник ABC, биссектрисы CD и AE которого лежат на данных прямых, а их основания — данные точки D и E.

б) Если РCDE = 30°, то величина хотя бы одного из углов треугольника ABC равна 60° или 120°. Докажите это.

1029. Среди n членов арифметической прогрессии удалось выбрать k членов, образующих возрастающую геометрическую прогрессию. Докажите, что число n не меньше числа 2k–1.

1030. Для выпуклого многогранника M обозначим через S(M) сумму площадей его граней, через P(M) — сумму произведений длин его рёбер на величины соответствующих им внешних углов многранника. (Внешний угол при данном ребре — это угол между перпендикулярами к граням, примыкающим к ребру, направленными во внешнюю область многогранника; сумма внешнего угла в сумме с величиной соответствующего двугранного угла равна 180°.) Если выпуклый многогранник M1 лежит внутри выпуклого многогранника M2, то а) S(M1) < S(M2); б) P(M1) < P(M2). Докажите эти утверждения.

1031. На плоскости дана прямая l и две точки А и В по одну сторону от неё. На прямой l выбраны точка М, сумма расстояний от которой до точек А и B минимальная, и такая точка N, что АN = ВN. Докажите, что точки А, В, М и N лежат на одной окружности.

1032. Выписаны n чисел 2, 3,..., n + 1, их всевозможные произведения по два, по три, и так далее до произведения всех n этих чисел. Докажите, что сумма чисел, обратных всем выписанным, равна n⁄2. (Например, 1⁄2 + 1⁄3 + 1⁄6 = 1 и 1⁄2 + 1⁄3 + 1⁄4 + 1⁄6 + 1⁄8 + 1⁄12 + 1⁄24 = 2.)

1033. Окружность отрезает от квадрата четыре криволинейных треугольника (граница каждого состоит из дуги окружности и двух отрезков). Выкрасим два из них, примыкающих к противоположным углам квадрата, в голубой цвет, два других — в красный. Докажите, что

а) суммы длин красных и голубых дуг равны;

б) суммы периметров красных и голубых криволинейных треугольников равны.

1034. Прямоугольная шоколадка размером 5×10 разбита продольными и поперечными углублениями на 50 квадратных долек. Двое играют в такую игру. Начинающий разламывает шоколадку по некоторому углублению на две прямоугольные части и кладёт на стол полученные части. Затем игроки по очереди делают аналогичные операции: каждый раз очередной игрок разламывает одну из частей на две части. Тот, кто первый отломит квадратную дольку (без углублений), а) проигрывает; б) выигрывает. Кто из играющих может обеспечить себе выигрыш: начинающий или его партнёр?

1035. На отрезке [0; 1] отмечаем сначала точку x0, а затем x1,..., xn. Для каждой очередной точки xk, где 1 £ k £ n, измеряем расстояние dk до ближайшей к ней из ранее поставленных точек. Докажите, что сумма d1 + d2 + ... + dn не превосходит суммы числа 1 и половины двоичного логарифма числа n.

1036. Существует ли невыпуклый пятиугольник, который можно разрезать на два конгруэнтных пятиугольника?

1037. Решите в натуральных числах уравнение xy – yx = x + y.

1038. а) Если произведение mn натуральных чисел m и n делится на 6, то прямоугольник размером m×n можно разрезать на трёхклеточные уголки. Докажите это.

При каких m и n это можно сделать так, чтобы линии раздела не вырезали ни одного прямоугольника б) размером 2×3; в) площади меньше mn?

1039. Точки A, B, C и D — вершины тетраэдра. Докажите, что а) если DA · BC = DB · CA = DC · AB, то все эти скалярные произведения равны 0;

б) если три угла между противоположными рёбрами тетраэдра равны, то они прямые.

1040. Числа 1, 2, 3,..., 3n произвольным образом разбиты на три группы по n чисел в каждой. Докажите, что можно выбрать по одному числу из каждой группы так, чтобы одно из них равнялось сумме двух других.

1041. На плоскости заданы а) четыре; б) три вершины правильного пятиугольника. С помощью двусторонней линейки восстановите его остальные вершины. (Двусторонней линейкой можно делать то же, что и обычной линейкой без делений, а также проводить прямую, параллельную данной, на расстоянии, равном ширине линейки.)

1042. В классе организуют турнир по перетягиванию каната. В турнире ровно по одному разу должны участвовать всевозможные команды, которые можно составить из учеников этого класса (из одного, двух, трёх и так далее человек, кроме команды всего класса). Докажите, что каждая команда будет соревноваться с командой, состоящей из всех остальных учеников класса.

1043. Можно ли разбить множество всех целых чисел на три подмножества так, чтобы для любого целого n числа n, n – 50 и n + 1987 принадлежали трём разным подмножествам?

1044. Из любых четырёх чисел всегда можно выбрать два таких числа x и y, что отношение числа x – y к числу 1 + xy принадлежит отрезку [0; 1].

1045. В некотором царстве, некотором государстве, территория которого имеет форму квадрата со стороной 2 км, царь решил созвать всех подданных к 7 часам вечера к себе во дворец на бал. Для этого он в полдень послал с поручением гонца, который может передать любое указание любому жителю, который в свою очередь может передавать любое указание любому другому жителю, и так далее. Каждый житель до поступления указания находится у себя дома (в известном месте) и может передвигаться со скоростью 3 км/час в любом направлении. Докажите, что царь может организовать оповещение так, чтобы все жители успели прийти к началу бала.

1046. Величина угла A остроугольного треугольника ABC равна 60°. Докажите, что одна из биссектрис угла, образованного высотами, проведёнными из вершин В и C, проходит через центр описанной окружности этого треугольника.

1047. В шахматном турнире, проводимом в один круг, не менее 3⁄4 всех сыгранных к этому моменту партий закончились вничью. Докажите, что в этот момент некоторые два участника набрали одинаковое число очков.

1048. Один из двух играющих («начинающий») ставит коня на некоторую клетку шахматной доски размером а) 8×8; б) m×n, где m ³ n > 2. Затем игроки по очереди передвигают коня по обычным правилам (буквой «Г»), при этом нельзя ставить коня на поле, где он уже побывал. Проигрывает тот, кому некуда ходить. У кого из игроков есть выигрышная стратегия — у начинающего или у его партнёра?

1049. Будем говорить, что в цилиндр Ц1 вписан боком другой цилиндр Ц2, если две образующие второго лежат на основаниях первого, а четыре точки окружностей основания второго — на боковой поверхности первого. Взяв цилиндр Ц1, у которого отношение диаметра к высоте равно k, впишем в него боком (если это возможно), цилиндр Ц2, в него впишем Ц3, в Ц3 — Ц4 и так далее. При каких значениях k

а) можно вписать Ц2, но нельзя вписать Ц3;

б) можно вписать Ц10, но нельзя Ц11;

в) можно вписать бесконечную последовательность Ц1, Ц2, Ц3, ...?

1050. На отрезке [–1; 1] выбрано k различных точек, для каждой из которых посчитано произведение расстояний до остальных k – 1 точек и через S обозначена сумма обратных величин этих k произведений. Докажите, что а) S ³ 2 при k = 3; б) S ³ 4 при k = 4.

1051. В левый нижний угол шахматной доски поставлено в форме квадрата 3×3 девять фишек. Фишка может перепрыгнуть через любую другую фишку, симметрично отразившись от неё, если соответствующее поле свободно. Можно ли несколькими такими ходами собрать все фишки в виде квадрата 3×3 в а) левом; б) правом верхнем углу доски?

1052. Из n четырёхугольников, отсекаемых от выпуклого n-угольника диагоналями, не более n⁄2 могут оказаться описанными около окружности. Докажите это. Приведите пример восьмиугольника, у которого таких четырёхугольников четыре.

1053. В последовательности чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,..., где каждое число равно сумме двух предыдущих, для любого m > 3 не менее четырёх и не более пяти m-значных чисел. Докажите это.

1054. Шесть точек попарного касания четырёх сфер всегда лежат на одной сфере или в одной плоскости. Докажите это.

1055. На окружности имеется 21 точка. Докажите, что среди дуг с концами в этих точках не менее 100 дуг, не превосходящих 120°.

1056. В каждой клетке квадратной таблицы 1987×1987 написано число, не превосходящее по модулю 1. В любом квадрате размером 2×2 сумма чисел равна 0. Докажите, что сумма всех чисел таблицы не превосходит 1987.

1057. Два игрока поочередно выписывают на доске натуральные числа, не превосходящие p. Правилами игры запрещено писать на доске делители уже выписанных чисел. Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход.

а) Выясните, кто из игроков имеет выигрышную стратегию для p = 10, и укажите её.

б) Выясните, кто из игроков имеет выигрышную стратегию для p = 1000.

1058. На целочисленной решетке отмечено непустое множество узлов. Кроме того, задан конечный набор векторов с целыми координатами. Известно, что если от любого отмеченного узла отложить все заданные векторы, то среди их концов будет больше отмеченных узлов, чем неотмеченных. Докажите, что отмеченных узлов бесконечно много.

1059. График функции y = f (x), определённой на всей числовой прямой, переходит в себя при повороте на 90° вокруг начала координат.

а) Уравнение f (x) = x имеет ровно одно решение. Докажите это.

б) Приведите пример такой функции.

1060. На плоскости даны две замкнутые ломаные, каждая с нечётным числом звеньев. Все прямые, содержащие звенья этих ломаных, различны, и никакие три из них не пересекаются в одной точке. Докажите, что из каждой ломаной можно выбрать по одному звену так, чтобы они были противоположными сторонами некоторого выпуклого четырёхугольника.

1061. В стране, где больше двух городов, некоторые пары городов соединены непересекающимися дорогами. Для любых трёх городов А, В и C по этой сети дорог можно проехать из А в B, не заезжая в C. Докажите, что на всех дорогах можно установить одностороннее движение так, что из каждого города можно будет проехать в любой другой, двигаясь по установленным направлениям.

1062. а) На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки D и E. Прямые BD и CE пересекаются в точке M, AM и BC — в точке P, AM и DE — в точке N. Докажите равенство PN · MA = 2 · PM · NA.

б) На рёбрах SA, SB и SC тетраэдра ABCS взяты точки D, E и F соответственно. Плоскости ABE, BCD и CAF пересекаются в точке M; прямая SM пересекает плоскости ABC и DEF в точках P и N соответственно. Докажите равенство PN · MS = 2 · PM · NS.

1063. Сколько существует целых чисел, представимых в виде разности a – a, где a — число, записываемое в десятичной системе счисления n цифрами, а a — число, получаемое при записи цифр числа a в обратном порядке? (Например, если a = 1917, то a – a = 1917 – 7191 = –5724.) Найдите ответ для а) n = 4; б) n = 5; в) любого натурального n.

1064. Какое максимальное количество точек самопересечения может иметь замкнутая n-звенная плоская ломаная, если число n а) нечётно; б) чётно? (Предполагаем, что никакие три вершины не лежат на одной прямой и никакие три звена не пересекаются в одной точке.)

1065. Рассмотрим векторы (xy) с целыми неотрицательными координатами. Назовём такой вектор образующим, если |x – y| =1.

а) Рассматриваемый вектор (xy) представим в виде суммы нескольких различных образующих (или сам является образующим) тогда и только тогда, когда величина k(xy) = x + y – (x – y)2 неотрицательна. Докажите это.

б) Количество n(x, y) различных (с точностью до порядка слагаемых) представлений вектора (xy) в виде суммы образующих (быть может, состоящей из единственного слагаемого) зависит только от k(xy). Докажите это; найдите n(13, 18).

1066. Шесть точек расположены на плоскости так, что все пятнадцать расстояний между ними не больше 1. Докажите, что из них можно выбрать три точки, все расстояния между которыми строго меньше 1.

1067.Для любых неотрицательных чисел x, y и z, сумма квадратов которых равна 1, сумма частного от деления числа x на 1 – x2, частного от деления y на 1 – y2 и частного от деления z на 1 – z2 не меньше полтора квадратных корней из 3. Докажите это.

1068. Дан угол АОВ (А и В — точки на сторонах угла). Постройте прямую l, проходящую через вершину О так, чтобы площади треугольников АОС и ВОD, где С и D — основания перпендикуляров, опущенных из точек А и В на прямую l, были равны.

1069. В некотором городе разрешены только парные обмены квартирами. Если две семьи обмениваются квартирами, то в тот же день они не участвуют в других обменах. Докажите, что любой сложный обмен квартирами нескольких семей можно осуществить за два дня. (Предполагаем, что и до, и после обмена каждая семья живёт в отдельной квартире.)

1070. Тетраэдр пересечён тремя плоскостями, каждая из которых параллельна двум его противоположным рёбрам и одинаково удалена от них. Докажите, что сумма квадратов площадей этих трёх сечений в 4 раза меньше суммы квадратов площадей граней тетраэдра.

1071. На доске нарисовано поле для игры «в цифры»: (((((((((__)_)_)_)_)_)_)_)_). Двое играющих ходят по очереди. Первый игрок начальным ходом записывает на месте первого (самого левого) пробела (_) какую-нибудь цифру. Каждый дальнейший ход состоит в том, чтобы записать цифру на месте очередного пробела и заменить стоящую слева звёздочку () на знак сложения или умножения. При этом ни одна цифра не должна встретиться дважды. В конце игры вычисляют значение полученного выражения. Если это число чётное, то выигрывает первый игрок, нечётное — второй. Кто выигрывает при правильной игре?

1072. Разложите на простые множители число 989 · 1001 · 1007 + 320.

1073. Из точки O все стороны шестиугольника A1A2A3A4A5A5 видны под углом 60°, причём OA1 > OA3 > OA5 и OA2 > OA4 > OA6. Докажите неравенство A1A2 + A3A4 + A5A6 < A2A3 + A4A5 + A6A1.

1074. Дана стопка из 2n + 1 карточек, с которой разрешено производить следующие две операции:

  • сверху снимаем часть карточек и перекладываем вниз с сохранением порядка;
  • верхние n карточек с сохранением порядка выкладываем в n промежутков между нижними n + 1 карточками.

Докажите, что с помощью указанных операций из исходного расположения карточек в стопке нельзя получить более 2n(2n + 1) расположений карточек.

1075. Найдите наибольшее натуральное число, в десятичной записи которого каждая некрайняя цифра меньше полусуммы двух соседних с ней цифр.

1076. Биссектриса угла А остроугольного треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке L, а описанную окружность треугольника — в точке N, отличной от А. Точки К и М — основания перпендикуляров, опущенных из L на стороны АВ и . Докажите равенство площадей четырёхугольника АКNМ и треугольника АВС.

1077. Обозначим через pk(n) количество перестановок n–элементного множества, имеющих ровно k неподвижных точек. Докажите, что n! равно сумме произведений вида а) k · pk(n) = n!; б) (k – 1)2 · pk(n) = n!, где 0 £ k £ n.

1078. Функция f определена на множестве всех неотрицательных целых чисел и принимает значения в этом множестве. Докажите, что равенство f (f (n)) = n + 1987 не выполнено хотя бы для одного неотрицательного целого числа n.

1079. При каких n > 2 можно расположить на плоскости n точек так, чтобы расстояние между любыми двумя выражалось иррациональным число, а площадь треугольника с вершинами в любых трёх — рациональным числом (отличным от нуля)?

1080. q — натуральное число. Докажите, что если число k2 + k + q простое для любого целого неотрицательного k, утроенный квадрат которого не превосходит числа q, то число k2 + k + q простое для любого целого неотрицательного k, меньшего числа q – 1.

1988 год

1081. Предпоследняя цифра десятичной записи числа 3n для любого натурального n > 2 чётна. Докажите это.

1082. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что сумма AB2 + 2 + CD2 + DA2 вдвое превышает сумму AO2 + BO2 + CO2 + DO2 тогда и только тогда, когда диагонали АС и ВD перпендикулярны или одна из них делится точкой О пополам.

1083. Наибольшее из неотрицательных чисел a1, a2,..., an равно a. а) Докажите, что среднее арифметическое квадратов чисел a1, a2,..., an не превосходит квадрата суммы этих чисел, к которому прибавлена четверть квадрата числа a.

б) Когда достигается равенство?

1084. Две окружности на плоскости пересекаются в точках A и B. Докажите существование такой точки C, отличной от точки B, что любая окружность с хордой AC будет пересекать данные окружности (второй раз) в точках, одинаково удалённых от C.

1085. Несколько попарно скрещивающихся прямых, расположенных в пространстве, спроецировали на горизонтальную плоскость. Их проекции изображены так, чтобы в точках пересечения было видно, какая точка расположена выше, а какая ниже. Могла ли получиться проекция, изображённая на рисунке?

1086. С числом разрешено производить две операции: «увеличить вдвое» и «увеличить на 1». За какое наименьшее число операций можно из числа 0 получить а) 100; б) n, если сумма цифр двоичной записи числа n равна s?

1087. Рассмотрим треугольник АВС, точку М в плоскости этого треугольника и проекции А1, В1 и С1 точки М на высоты, проведённые из вершин А, В и С соответственно. Докажите, что

а) существует одна и только одна точка М, для которой отрезки АА1, ВВ1 и СС1 равны;

б) для такой точки М длины отрезков АА1, ВВ1 и СС1 равны диаметру вписанной в треугольник окружности.

1088. Если pq + qr + pr = 1, причём числа p, q и r рациональные, то число (1 + p2)(1 + q2)(1 + r2) — квадрат рационального числа. Докажите это.

1089. Диагонали выпуклого четырёхугольника АВСD пересекаются в точке О. Пусть K, L, M и N — центры окружностей, вписанных в треугольники АОВ, ВОС, СОD и DOA. Докажите, что произведение периметров четырёхугольников АВСD и KLMN не меньше учетверённой площади четырёхугольника АВСD.

1090. Для любых положительных чисел a, b и c сумма квадратных корней из чисел a2 –ab + b2 и b2 –bc + c2 не меньше квадратного корня из числа a2 + + с2. Докажите это.

1091. Назовём натуральное число удачным, если цифры в его десятичной записи можно разбить на две группы так, что суммы цифр в этих группах равны.

а) Найдите наименьшее такое число a, что числа a и (a + 1) — удачные.

б) Существует ли такое a, что числа a, a + 1 и (a + 2) — удачные?

1092. Вырезанный из бумаги выпуклый многоугольник 10 раз сложили, перегибая каждый раз по какой-нибудь прямой, и затем разрезали по некоторой прямой. Какое наибольшее число кусков могло получиться?

1093. На окружности в n точках расставлены числа 1, 2 и 3. Затем одновременно во всех точках производится следующее преобразование: каждое число 2 заменяем на 0, а затем к следующему за ним по часовой стрелке числу прибавляем 1. Пусть вначале на окружности k двоек, где k > 1.

а) Через какое количество преобразований заведомо не останется ни одной двойки?

б) Пусть, кроме того, в n – k остальных точках вначале стояли единицы. Докажите, что в конце концов останется k единиц и n – k нулей.

1094. a, b и c — неотрицательные числа.

а) Из неравенства a4 + b4 + c£ 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) следует неравенство a2 + b2 + c£ 2(ab + bc + ca). Докажите это.

б) Верно ли обратное, то есть следует ли из второго неравенства первое?

1095. На плоскости задана окружность с центром в точке O и две точки A и B (отличные от O) такие, что прямая AB проходит через точку O. Постройте хорду MN этой окружности, видную из точки A под углом α и а) параллельную прямой AB; б) проходящую через точку B (если B лежит вне окружности, то через B должно проходить продолжение хорды MN).

1096. Диаметр d окружности разбит на k равных частей, и через каждую точку деления проведена хорда, перпендикулярная диаметру. Докажите, что сумма длин всех проведённых хорд не меньше 0,5 · kd и не больше 0,8 · kd.

1097. Координаты вершин равнобедренного треугольника — целые числа. Докажите, что квадрат длины основания — чётное число.

1098. На окружности расставлены n точек, занумерованных подряд числами 1, 2,..., n. Двое играют в следующую игру. Каждый по очереди проводит хорду, соединяющую две точки с номерами одной чётности. Никакая хорда не должна иметь общих точек (даже концов) с проведёнными ранее. Побеждает тот, кто делает последний ход. При каждом n = 4, 5, 6,... выясните, кто из игроков имеет выигрышную стратегию: начинающий или его партнёр.

1099. В отряде, ведущем подготовку к полёту на Марс, 6783 космонавта. Среди любых четырёх из них можно выбрать троих, составляющих слаженный экипаж для посадочного модуля. Докажите, что можно выбрать 5 космонавтов, любые трое из которых составляют слаженный экипаж.

1100. На берегу прямолинейной реки лежат брёвна (не пересекающие друг друга отрезки; их конечное число). Каждое бревно составляет с линией берега угол, величина которого меньше 45°. Докажите, что для любого расположения брёвен существует бревно, которое можно закатить в реку, не задевая остальных. Поворачивать бревно при качении нельзя.

1101. На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC нашлись такие точки D и E соответственно, что AD = BC = EC и треугольник ADE равнобедренный. Каким может быть угол при вершине A?

1102. Существуют n различных натуральных чисел, сумма кубов которых равна кубу натурального числа, если а) n = 3; б) n = 4; в) n — любое натуральное число, большее 2. Докажите это.

1103. а) На бесконечной плоскости, разбитой на квадратные клетки, некоторые — быть может бесконечное — количество прямоугольников размером 1×2 закрашены в чёрный цвет так, что никакие два чёрных прямоугольника не имеют общих точек (даже вершин). Докажите, что оставшуюся часть плоскости можно замостить этими прямоугольниками.

б) Пусть на клетчатой плоскости закрашены несколько прямоугольников размером m×n, не имеющих общих точек. Докажите, что если mn чётно, то оставшуюся часть плоскости можно замостить прямоугольниками размером 1×2, а если m и n нечётны, то это не всегда возможно.

1104. Грани ABC и BCD тетраэдра ABCD перпендикулярны, а угол BAC прямой. Докажите, что из отрезков, длины которых равны произведениям длин противоположных рёбер тетраэдра, можно составить прямоугольный треугольник.

1105. После нескольких прямолинейных разрезов поверхность выпуклого многогранника развернули на плоскости. Получился многоугольник, для которого известно, какие точки его границы «склеиваются», то есть отвечают одной и той же точке на поверхности многогранника. Каким был исходный многогранник, если при разрезании получился а) прямоугольник со сторонами 1 и квадратный корень из 3; б) равнобедренный треугольник с углом величиной 120°, причём в обоих случаях склеиваются точки каждой стороны, симметричные относительно её середины?

1106. Каждая из трёх прямых, соединяющих середины противоположных сторон выпуклого шестиугольника, делит его площадь пополам. Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке.

1107. a, b и c — длины сторон треугольника. Докажите, что удвоенная сумма частных ab, bc и ca не меньше суммы числа 3 и суммы частных ba, cb и ac.

1108. В выпуклом n-угольнике, где n > 3, никакие три диагонали не проходят через одну точку внутри многоугольника. Какое наибольшее число диагоналей в нём можно провести так, чтобы все части, на которые они разобьют n-угольник, были треугольниками?

1109. В одном старом задачнике по геометрии есть такая задача: вычислить длину стороны правильного треугольника, вписанного в параболу y = x2. В указании к задаче говорилось, что одна из вершин треугольника совпадает с вершиной параболы. Верно ли такое указание? Может ли длина стороны правильного треугольника, вписанного в эту параболу, быть равной а) 3; б) 1988?

1110. Для каждого натурального n > 1 выпишем наибольшие общие делители всевозможных пар различных чисел от 1 до n. Докажите, что а) среднее арифметическое всех n(n – 1)/2 выписанных чисел неограниченно растёт с ростом n, но не превосходит 1 + ln n; б) их среднее геометрическое не превосходит 10 ни при каком n.

1111. Около остроугольного треугольника ABC описана окружность. Касательные к ней, проведённые в точках A и C, пересекают касательную, проведённую в точке B, в точках M и N соответственно. В треугольнике ABC из вершины P на сторону AC опущена высота BP. Докажите, что прямая BP делит угол MNP пополам.

1112. На доске написаны два числа: 1 и 2. Разрешается дописывать новые числа следующим образом: если на доске имеются числа a и b, то можно написать ещё и число ab + a + b. Можно ли так получить число а) 13 121; б) 12 131?

Существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде в) x + y + xy; г) x + y + 2xy с натуральными x и y. Докажите это.

1113. В стране 21 город. Авиационное сообщение между ними осуществляют несколько авиакомпаний, каждая из которых обслуживает 10 беспосадочных авиалиний, связывающих попарно некоторые пять городов (при этом между двумя городами могут летать самолеты нескольких компаний). Каждые два города связаны по крайней мере одной беспосадочной авиалинией. При каком наименьшем количестве авиакомпаний это возможно?

1114. Произведение диаметра вписанного шара любого тетраэдра на сумму длин любых двух его скрещивающихся рёбер меньше произведения длин этих двух рёбер. Докажите это.

1115. а) В первой строке написаны 19 натуральных чисел, не превосходящих 88, а во второй строке — 88 натуральных чисел, не превосходящих 19. Назовём отрезком одно или несколько подряд написанных чисел одной строки. Докажите, что из данных строк можно выбрать по отрезку так, что суммы чисел в них равны.

б) Пусть n, m, k — натуральные числа. Докажите, что если 1 + 2 + ... + n = mk, то числа 1, 2,..., n можно разбить на k групп так, чтобы суммы чисел в каждой группе были равны m.

1116. Какое наибольшее число узлов клетчатой бумаги может содержать прямоугольник площадью а) 36; б) S, стороны которого идут по линиям сетки? (Считаем узлы, лежащие внутри и на границе прямоугольника. Площадь клетки считайте равной 1.)

1117. а) Для произвольного треугольника существуют три окружности с центрами в его вершинах, попарно касающиеся друг друга.

б) Обозначим точки касания буквами K, L и M, как показано на рисунке. Если через середины дуг KL, LM и MK, лежащие внутри треугольника, провести касательные, то образуются четыре треугольника, площадь одного из которых (центрального) равна сумме площадей трёх других. Докажите это.

1118. а) Уравнение (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 имеет бесконечно много решений в целых числах. Докажите это.

б) Сколько имеется решений, где z = 1988?

1119. При каких k > 2 верно следующее утверждение: для любых k точек плоскости общего положения (никакие три из которых не лежат на одной прямой) существует k-звезда, в каждом из k углов которой содержится ровно одна из этих k точек?

1120. а) P(x) — многочлен с целыми коэффициентами, причём для любого неотрицательного x величина P(x) положительна. Последовательность a1, a2, a3,... задана соотношениями a1 = P(0) и an+1 = P(an) для каждого натурального n. Докажите для любых натуральных чисел m и k равенство НОД(amak) = aНОД(mk).

б) Докажите аналогичное утверждение для последовательности Фибоначчи, заданной двумя первыми членами φ1 = 1, φ2 = 1 и формулой φn+2 = φn+1 + φn, где n — любое натуральное число.

1121. Дан треугольник ABC. Прямые, симметричные прямой AC относительно прямых AB и BC соответственно, пересекаются в точке К. Докажите, что прямая BK проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.

1122. Решите систему уравнений (x3 + x4 + x5)5 = 3x1, (x4 + x5 + x1)5 = 3x2, (x5 + x1 + x2)5 = 3x3, (x1 + x2 + x3)5 = 3x4, (x2 + x3 + x4)5 = 3x5.

1123. Прямой угол разбит на бесконечное число квадратных клеток со стороной единица. Будем рассматривать ряды клеток, параллельные сторонам угла («вертикальные» и «горизонтальные» ряды). Можно ли в каждую клетку записать натуральное число так, чтобы как каждый вертикальный, так и каждый горизонтальный ряд клеток содержал все натуральные числа по одному разу?

1124. Боковые стороны, диагонали и продолжения оснований трапеции пересекают некоторую прямую в шести точках, то есть высекают на ней пять отрезков.

а) Докажите, что если крайние (первый и пятый) отрезки равны, то соседние с ними (второй и четвёртый) также равны.

б) При каком отношении оснований трапеции можно провести прямую так, чтобы все пять отрезков были равны?

1125. Рассмотрим последовательность слов, состоящую из букв A и В. Первое слово в последовательности — А; k-е слово получается из (k – 1)-го с помощью следующей операции: каждую букву А заменяем на ААВ, каждую букву В — на А:

А,

ААВ,

ААВААВА,

ААВААВАААВААВАААВ,

ААВААВАААВААВАААВААВААВАААВААВАААВААВААВА,

.........................................................................................................................

а) Докажите, что каждое слово является началом следующего и тем самым определена бесконечная последовательность букв ААВААВАААВААВАААВ...

б) На каком месте в этой последовательности встретится 1988-я буква А?

в) Эта последовательность непериодическая. Докажите это.

1126. На боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD выбраны точки K и M. Докажите, что если РBAM = РCDK, то РBMA = РCKD.

1127. Микрокалькулятор «Чебурашка» умеет складывать, вычитать и находить по данному числу x обратное число 1⁄x. Можно ли с помощью этого микрокалькулятора получить единицу, имея исходным числом а) сумму числа 88 и квадратного корня из 19; б) корень 19-й степени из 88; в) сумму квадратных корней из 19 и 88? (Вводить в микрокалькулятор числа, отличные от исходного или полученных в результате вычислений на нём, запрещено.)

1128. На шахматной доске расставлено несколько фишек. За один ход одна из фишек передвигается на соседнее (по горизонтали или вертикали) свободное поле. После нескольких ходов оказалось, что каждая фишка побывала на всех полях ровно по одному разу и вернулась на исходное поле. Докажите, что был момент, когда ни одна фишка не стояла на своём исходном поле.

1129. В лесу барона Мюнхгаузена растут ёлки и берёзы. Барон утверждает, что на расстоянии ровно 1 км от каждой ёлки растёт в точности 10 берёз, причём ёлок в его лесу больше, чем берёз. Может ли это быть?

1130. Длину каждой стороны выпуклого многоугольника разделим на длину его проекции на прямую, которой принадлежит эта сторона. Докажите, что сумма полученных частных не меньше числа 2 и не больше числа 4.

1131. Пусть n — натуральное число, A1, A2,..., A2n+1 — подмножества некоторого множества B, каждое из которых состоит из 2n элементов. Пусть пересечение любых двух из множеств A1, A2,..., A2n+1 состоит ровно из одного элемента, причём каждый элемент множества B принадлежит не менее чем двум из этих подмножеств. Для каких n можно утверждать, что некоторые элементы множества B можно пометить так, чтобы каждое из подмножеств A1, A2, ..., A2n+1 содержало ровно n помеченных элементов?

1132. Функция f определена на множестве натуральных чисел и удовлетворяет следующим условиям: f (1) = 1, f (3) = 3, f (2n) = f (n), f (4n + 1) = 2f (2n + 1) – f (2n), f (4n + 3) = 3f (2n + 1) – 2f (2n) для любого натурального n. Сколько среди первых 1988 натуральных чисел n таких, что f (n) = n?

1133. Множество таких чисел x, для которых сумма 70 выражений, k-е из которых, где k = 1, 2, 3,..., 69, 70, получена делением числа k на число x – k, является объединением непересекающихся промежутков, сумма длин которых равна 1988. Докажите это.

1134. Пусть CD — высота прямоугольного треугольника ABC, угол C которого прямой. Прямая, проходящая через центры окружностей, вписанных в треугольники BCD и ACD, пересекает стороны AC и BC в точках K и L соответственно. Докажите, что площадь треугольника KLC не превышает половину площади треугольника ABC.

1135. a и b — такие натуральные числа, что a2 + b2 делится на ab + 1. Докажите, что частное — квадрат целого числа.

1136. Для любых положительных чисел A, M, S сумма числа 3, чисел A, M, S и чисел, обратных к числам A, M, S, не меньше утроенного частного от деления произведения (A + 1)(B + 1)(C + 1) на сумму AMS + 1. Докажите это.

1137. В выпуклом n-угольнике все углы равны; из некоторой точки, расположенной внутри этого n-угольника, все его стороны видны под равными углами. Докажите, что n-угольник — правильный.

1138. Для любого натурального n между числами n2 и n2 + n + 3n1 ⁄ 2 есть три натуральных числа, произведение двух из которых делится на третье. Докажите это.

1139. а) Поверхность выпуклого многогранника можно разрезать на несколько квадратов. Докажите, что у этого многогранника не больше 8 вершин.

б) Какое наибольшее число вершин может иметь выпуклый многогранник, поверхность которого можно разрезать на правильные треугольники?

1140. Нарисуем на плоскости одну или несколько пересекающихся кривых (эти кривые могут иметь точки самопересечения, как показано на рисунке). В каждой точке пересечения можно двумя способами выполнить «перестройку». Если проделать перестройку во всех точках пересечения, то получится несколько непересекающихся кривых.

а) Докажите, что число непересекающихся кривых, которые могут получиться, не больше числа областей, на которые делили плоскость исходные кривые (на рисунке 7 таких областей).

б) Всегда ли можно сделать перестройки так, чтобы в результате получалась одна кривая?

в) Выберем на каждой кривой направление обхода и будем производить перестройки в соответствии с этими направлениями так, чтобы стрелки «отталкивались» друг от друга. Может ли в результате получиться одна кривая?

1989 год

1141. Трапеция описана около окружности. Докажите, что хотя бы одна из её диагоналей образует с основанием угол, величина которого не больше 45°.

1142. Таблица m×n заполнена числами так, что в каждой строке и в каждом столбце эти числа составляют арифметическую прогрессию. Сумма четырёх чисел, стоящих в углах таблицы, равна s. Чему равна сумма всех чисел таблицы?

1143. Масса каждой из 101 гирьки, расположенных по окружности — натуральное число, а сумма их масс равна 300 г. Докажите, что из этого набора можно выбрать одну гирьку или несколько гирек, расположенных подряд, сумма масс которых равна 200 г.

1144. Дано несколько неотрицательных чисел, не все из которых равны друг другу. Что больше: корень 1988-й степени из суммы их 1988-х степеней или корень 1989-й степени из суммы их 1989-х степеней?

1145. Из точки P проведены две касательные PB и PC к окружности, причём угол BPC тупой. На меньшей дуге BC взята точка A. Докажите, что площадь треугольника, отсекаемого от угла BPC касательной к окружности, проведённой в точке A, не превосходит площади треугольника ABC.

1146. Точка K — середина стороны AB равностороннего треугольника ABC. На сторонах AC и BC взяты точки M и N так, что величина угла MKN равна 60°. Докажите, что периметр треугольника MCN равен половине периметра треугольника ABC.

1147. Задано несколько точек, соединённых отрезками двух цветов: некоторые пары точек — голубыми отрезками, некоторые другие — красными. В любом замкнутом пути, состоящем из нескольких отрезков, число красных отрезков чётно. Докажите, что все точки можно разбить на два множества так, что каждый красный отрезок соединяет точки из разных множеств, а каждый голубой — точки из одного и того же множества.

1148. Для любого натурального n и любого числа a > 1, ни для каких натуральных чисел s и r не равного корню s-й степени из r, обозначим k = [loga n]. Докажите, что сумма суммы логарифмов по основанию a первых n натуральных чисел и суммы целых частей чисел a, a2,..., ak равна kn.

1149. На плоскости заданы два луча p и q с вершинами в точках P и Q соответственно. Две окружности — одна с центром на луче p, проходящая через точку P, и другая — с центром на луче q, проходящая через Q,— касаются друг друга в точке M внешним образом. Найдите множество точек M.

1150. По кругу выписано несколько положительных чисел. Докажите, что частное от деления квадрата их суммы на удвоенную сумму их квадратов не больше суммы частных от деления каждого из них на сумму двух следующих за ним по часовой стрелке.

1151. Для каждого натурального числа n а) докажите, что сумма частных от деления произведения (k + 1)! · k на 2k, где 0 < k £ n, равна разности между частным от деления числа (n + 2)! на 2n и числом 2; б) вычислите сумму частных от деления произведения (k + 2)! · k на 3k, где 0 < k £ n.

1152. h и l — длины высоты и биссектрисы треугольника, проведённых из одной вершины треугольника, R и r — радиусы его описанной и вписанной окружностей. Докажите, что h2R не меньше числа 2l2r.

1153. Какое наибольшее число поворотов может содержать замкнутый маршрут ладьи, обходящей по одному все клетки шахматной доски размером 8×8?

1154. Если четырёхугольник вписан в окружность и описан около другой окружности, то прямая, проведённая через центры этих окружностей, проходит через точку пересечения диагоналей четырёхугольника. Докажите это.

1155. Точка движется внутри треугольника, отражаясь от его сторон по закону «угол падения равен углу отражения».

а) Докажите, что ни в одном треугольнике нет четырёхзвенной периодической траектории. На рисунке показаны синяя траектория периода 3 и зелёная — периода 6. Периодической траекторией называем замкнутую ломаную, которая не проходит ни через одну из вершин треугольника и является траекторией периодического движения некоторой точки.

Существует ли остроугольный треугольник, внутри которого есть периодическая траектория из б) 5; в) 7 звеньев?

1156. Восемь хоккейных команд соревнуются между собой за выход в финальную четвёрку. Каждые две команды встречаются один раз, за выигрыш дают два очка, за ничью — одно, за проигрыш — 0 очков. Какое наименьшее число очков гарантирует выход в финальную четвёрку?

1157. Три треугольника — белый, красный и зелёный — имеют общую внутреннюю точку М. Докажите, что можно выбрать по одной вершине каждого треугольника так, чтобы точка М находилась внутри или на границе треугольника с вершинами в выбранных точках трёх разных цветов.

1158. Найдите наименьшее значение выражения (x + y)(x + z), если x, y, z — положительные числа и xyz(x + y + z) = 1.

1159. С помощью двусторонней линейки постройте угол величиной 30°. Разрешены следующие операции:

  • проведение прямой через две точки,
  • проведение прямой, параллельной данной, на расстоянии, равном ширине линейки.

1160. У одного конца A прямолинейной дороги АВ собрались 10 кенгуру и начали играть в чехарду. Они прыгают по очереди: первый каждый раз прыгает, куда хочет; второй прыгает через первого так, чтобы первый оказался точно посередине между началом и концом прыжка, третий точно так же прыгает через второго и так далее, десятый прыгает через девятого, затем начинается новая серия прыжков по тем же правилам.

а) Могут ли через 10 серий прыжков все кенгуру собраться в точке B?

б) Могут ли они собраться там раньше?

1161. В бильярдном треугольнике вплотную помещается 10 шаров. Докажите, что если в нём поместить 9 шаров, то обязательно останется место для десятого (то есть центры 9 шаров расположатся по треугольной сетке).

1162. Решите в целых числах уравнение x3 – 13xy + y3 = 13.

1163. Черепаха вышла из точка A и пришла в точку В, двигаясь по произвольной траектории с произвольной скоростью. Вслед за ней из точки A вышла вторая черепаха, которая в каждый момент двигалась в направлении первой (с произвольной скоростью) и в конце концов также пришла в точку B. Докажите, что путь, пройденный второй черепахой (к моменту прихода обеих в В), не превосходит пути первой.

1164. Натуральное число n называют совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, меньших n (например, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14). Докажите, что нечётное совершенное число (если такое существует) не может одновременно делиться на 3, 5 и 7.

1165. Квадрат со стороной длины n, расположенный произвольным образом на листе клетчатой бумаги с клетками размера 1×1, не может покрыть более (n + 1)2 узлов сетки. Докажите это.

1166. Если a, b, c — стороны треугольника и p + q + r = 0, то a2pq + b2qr + c2rp £ 0. Докажите это.

1167. Сколько существует перестановок чисел 1, 2,..., n, в которых для любого числа k, стоящего не на первом месте, хотя бы одно из чисел k – 1 и k + 1 находится левее k?

1168. В стране 1 989 городов и 4 000 дорог (каждая дорога соединяет два города). Докажите существование кольцевого маршрута, проходящего не более чем через 20 городов.

1169. Точка M лежит внутри прямоугольника ABCD. Докажите, что площадь этого прямоугольника не превосходит величины AM · CM + BM · DM.

1170. Рассмотрим разбиения данного выпуклого n-угольника на треугольники непересекающимися диагоналями. Назовем перестройкой следующее преобразование: вместо некоторой диагонали BC, служащей общей стороной двух треугольников ABC и BCD разбиения, проводится диагональ AD. Обозначим через P(n) наименьшее число перестроек, за которое можно любое разбиение перевести в любое другое. Докажите оценки: а) P(n) > n – 4; б) P(n) < 2n – 6; в) P(n) < 2n – 9 при n > 12.

1171. Число 2 больше суммы любых нескольких чисел, обратных к числам вида nHn2, где Hn — сумма чисел, обратных первым n натуральным числам. Докажите это.

1172. Какой наибольший угол могут составлять между собой отрезки OA и OB, выходящие из начала O прямоугольной системы координат в пространстве, если точка A имеет координаты (xyz), а точка B — координаты (yzx),?

1173. Через точку, расположенную внутри треугольника площади S, проведены три прямые так, что каждую сторону треугольника пересекают две из них. Докажите, что площади S1, S2 и S3 трёх образовавшихся при этом треугольников таковы, что сумма их обратных величин не превосходит удевятерённой обратной величины числа S.

1174. Рассмотрим последовательность, заданную тремя первыми членами a1 = 1, a2 = 12, a3 = 20 и формулой an+3 = 2an+2 + 2an+1 – an, где n — натуральное число. Докажите для любого натурального n, что 1 + 4anan+1 — квадрат натурального числа.

1175. При каких натуральных n верно следующее утверждение: как бы ни были разложены на плоскости несколько непересекающихся правильных n-угольников, один из них можно выдвинуть по некоторому направлению, не задевая остальных? (Поворачивать n-угольник нельзя: лучи, выходящие из точек выбранного n-угольника в нужном направлении, не должны задевать остальных n-угольников.)

1176. Квадраты AKBM и CNDL расположены на плоскости так, что ABCD — выпуклый четырёхугольник, внутри которого лежат точки K и L. Докажите, что площадь четырёхугольника ABCD равна (MN2 – KL2) ⁄ 4.

1177. Для любых положительных чисел x1, x2,..., xn, не превосходящих 1, произведение (1 + x1)x2(1 + x2)x3 ... (1 + xn)x1 не меньше числа 2n. Докажите это.

1178. а) Удвоенная сумма радиусов вписанной и описанной окружностей нетупоугольного треугольника не превосходит квадратного корня из суммы квадратов его сторон. Докажите это.

б) Для каких треугольников неравенство обращается в равенство?

1179. Найдите a1000, если a1 = 0 и а) an+1(n + 1) = n(an + 1); б) an+1(n + 2)(n + 3) = n(n + 1)(an + 1); в) an+1(n + 3)(n + 4)(n + 5) = n(n + 1)(n + 2)(an + 1).

1180. На одной из двух данных пересекающихся сфер взяты точки A и B, на другой — C и D. Отрезок AC проходит через общую точку сфер. Отрезок BD проходит через другую общую точку сфер и параллелен прямой, содержащей центры сфер. Докажите, что проекции отрезков AB и CD на прямую AC равны.

1181. На шахматной доске расставлено 8 фигур так, что в каждом горизонтальном и в каждом вертикальном ряду клеток стоит по одной фигуре. Докажите, что на чёрных клетках шахматной доски стоит чётное число фигур.

1182. В некоторой роще было s скворечников, причём все расстояния между скворечниками различны. В каждом из них жило по скворцу. В какой-то момент некоторые из них покинули свои скворечники и перелетели в другие, так что снова в каждом скворечнике оказалось по скворцу. При этом, если расстояние между какой-то парой скворцов было меньше расстояния между другой парой (один скворец может засчитываться в разных парах), то после перелёта расстояние между первой парой скворцов оказалось больше расстояния между второй парой. При каких s это возможно?

1183. Каждый из семи мальчиков в воскресенье 3 раза подходил к киоску мороженого. Каждые два из них встретились около киоска. Докажите, что в некоторый момент там встретились одновременно трое мальчиков.

1184. На всех шести рёбрах произвольного тетраэдра выбрано по точке. Через каждую тройку точек, лежащих на рёбрах, выходящих из одной вершины, проведём плоскость. Докажите, что если три из них касаются вписанного в тетраэдр шара, то и четвёртая плоскость тоже касается вписанного шара.

1185. Придумайте положительные числа x1, x2,..., xn, удовлетворяющие для любого k = 1, 2,..., n равенству (x1 + ... + xk)(xk + ... + xn) = 1, если а) n = 3; б) n = 4; в) n = 10.

г) Докажите, что эта система уравнений при любом натуральном n имеет единственное решение в положительных числах.

1186. Будем говорить, что два четырёхугольника — бумажный и картонный — подходят друг к другу, если картонный можно наложить на бумажный так, что все его вершины попадут на стороны бумажного (по одной на каждую) и при этом, если перегнуть четыре образовавшихся маленьких бумажных треугольника на картонный четырёхугольник, то они закроют весь его в один слой. Докажите, что если

а) четырёхугольники подходят друг к другу, то у бумажного либо две противоположные стороны параллельны, либо диагонали перпендикулярны.

б) бумажный четырёхугольник — параллелограмм, то можно сделать подходящий к нему картонный.

1187. Для любого чётного m первые (m – 1) натуральных чисел можно выписать в таком порядке, чтобы никакая сумма нескольких подряд чисел не делилась на m. Докажите это.

1188. а) Дан 101 прямоугольник с целыми сторонами, не превосходящими 100. Докажите, что среди них существуют три прямоугольника, первый из которых можно поместить во второй, а второй — в третий.

б) Среди 1989 прямоугольников с целыми сторонами, не превосходящими 100, есть 40 таких прямоугольников, что первый можно поместить во второй, второй — в третий,..., 39-й — в 40-й.

1189. На плоскости дано n прямых, никакие три из которых не проходят через одну точку и никакие две не параллельны. Докажите, что в каждой из частей, на которые эти прямые разбивают плоскость, можно так поставить целое число, отличное от 0 и не превосходящее по модулю n, что по любую сторону от любой из этих прямых сумма чисел равна 0.

1190. а) Если в таблице размером n×n клеток стоят 3n звёздочек, то можно вычеркнуть n строк и n столбцов так, что все звёздочки будут вычеркнуты. Докажите это.

б) Расставьте в этой таблице 3n + 1 звёздочку так, что после вычёркивания любых n строк и n столбцов останется по крайней мере одна звёздочка.

1191. Пусть A0, A1, A2, ... — последовательность точек плоскости. Начав с некоторой точки T0, построим последовательность T1, T2, T3, ..., где Tn — точка, симметричная Tn–1 относительно точки An. Каким необходимым и достаточным условиям должна удовлетворять последовательность A0, A1, A2, ..., чтобы при любом выборе точки T0 последовательность T1, T2, T3, ... была периодической?

1192. Все рёбра многогранника равны между собой по длине и касаются некоторого шара.

а) Пусть одна из его граней имеет нечётное число сторон. Докажите, что существует описанный вокруг этого многогранника шар.

б) Обязательно ли при условиях пункта а) существует вписанный в этот многогранник шар?

в) Пусть все грани этого многогранника имеют одинаковое число сторон. Докажите, что существует вписанный в него шар.

г) Обязательно ли при условиях пункта в) существует описанный шар?

1193. Сумма квадратного корня из числа (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) и суммы ax + by + cz не меньше двух третьих произведения (a + b + c)(x + y + z). Докажите это.

1194. Из точки M, расположенной внутри прямоугольника ABCD, проведены биссектрисы ME, MF, MG и MH треугольников AMB, BMC, CMD и DMA соответственно.

а) Докажите, что отношение площади четырёхугольника EFGH к площади прямоугольника ABCD не меньше 3⁄8 и не больше 1⁄2.

б) Для каких точек M верно равенство SABCD = 2SEFGH?

1195. Последовательность x1, x2, x3,... такова, что для любых натуральных чисел m и n число xm+n отличается от суммы чисел xm и xn не более чем на число, обратное сумме m + n. Докажите, что эта последовательность — арифметическая прогрессия.

1196. Дано несколько (не менее двух) ненулевых чисел. Разрешено стереть любые два числа a и b и записать вместо них числа a + b⁄2 и b – a⁄2. Докажите, что сколько бы таких операций ни сделать, исходный набор чисел не получим.

1197. Точки M и N лежат соответственно на сторонах AB и BC треугольника ABC. Отрезки CM и AN пересекаются в точке O. Докажите, что если AM + AN = CM + CN, то AO + AB = CO + CB.

1198. Назовём словом строчку из 10 цифр 0 и 1. Два слова считаем синонимами, если одно можно получить из другого несколькими операциями следующего вида: из слова вычёркиваем несколько подряд идущих цифр, сумма которых чётна, и на их место вписываем те же цифры, но в обратном порядке. Каково максимальное число слов, среди которых нет синонимов?

1199. Если многочлен ax2 + (c – b)x + e – d имеет хотя бы один корень x > 1, то многочлен ax4 + bx3 + cx2 + dx + e имеет хотя бы один корень. Докажите это.

1200. Для каких k можно расположить на окружности а) 10; б) 100; в) n дуг так, чтобы каждая из них пересекалась ровно с k другими?

1990 год

1201. В парламент Анчурии нужно избрать по одному депутату от каждого из 999 округов с одинаковым числом избирателей. В Анчурии созданы три партии A, B, C, выдвигающие своих кандидатов. Партию A поддерживает всего 15% избирателей, B — 30%, C — 55%. Если на первом туре выборов в округе ни один из кандидатов не набирает 50% голосов, то во второй тур проходят двое, набравшие наибольшее число голосов. Во втором туре партии A и B договорились поддерживать друг друга, а сторонники партии C голосуют за кандидата партии A. Какое наибольшее и какое наименьшее число кандидатов от каждой из партий может попасть в парламент?

1202. Из вершины A квадрата ABCD внутрь квадрата проведены два луча, на которые опущены перпендикуляры BK, BL, DM и DN из вершин B и D. Докажите, что отрезки KL и MN равны и перпендикулярны друг другу.

1203. Можно ли разрезать квадрат со стороной 1 км на а) 31; б) 30 квадратов так, чтобы один из них имел сторону не более 1 м?

1204. На плоскости заданы точки A, B, C — центры трёх кругов. Каждый круг равномерно раздувается (радиус увеличивается с одинаковой для всех кругов скоростью). Как только два круга касаются друг друга, они «лопаются» — их радиусы уменьшаются до 0 — и начинают расти снова. Верно ли, что если длины AB, BC, CA — целые числа, то этот процесс периодический?

Изучите, как может развиваться этот процесс, если треугольник ABC а) равносторонний; б) равнобедренный; в) прямоугольный со сторонами 3, 4, 5. Начальное состояние может быть произвольным (не только «нулевым»).

1205. Мальчик и девочка играют в такую игру: мальчик рисует на плоскости не налегающие друг на друга многоугольники, а девочка их раскрашивает. Если два многоугольника имеют общий отрезок стороны, то их следует раскрашивать в разные цвета. Какого наименьшего числа цветов заведомо хватит девочке, чтобы следовать этим правилам, если мальчик рисует только а) равносторонние треугольники; б) равнобедренные прямоугольные треугольники; в) одинаковые квадраты?

1206. В круге проведены перпендикулярные диаметры AE и BF. На дуге EF взята точка C. Хорды CA и CB пересекают диаметры BF и AE соответственно в точках P и Q. Докажите, что площадь четырёхугольника APQB равна квадрату радиуса круга.

1207. Для любых чисел x, y и для любого натурального n докажите, что m-я степень числа x2 + y2 больше или равна суммы 2mxmym + (xm – ym)2.

1208. Первый член последовательности равен 1⁄2, а любой другой равен квадратному корню из половины разности между числом 1 и квадратного корня из разности числа 1 и квадрата предыдущего члена последовательности. Докажите, что сумма никакого количества членов такой последовательности не превосходит числа 1,03.

1209. Числовой треугольник, первая строка которого состоит из n единиц, а вторая — из n – 1 целых чисел, обладает следующим свойством: ac – bd = 1 для любых четырёх чисел a, b, c и d, расположенных в вершинах ромба, точнее говоря, таких чисел, что a и c соседние в одной строке, причём c левее a, а числа b и d расположены соответственно строкой выше и строкой ниже, соседствуя по диагонали с числами a и c. Докажите, что а) если все числа в треугольнике не равны 0, то все они целые; б) если все числа в треугольнике положительные, то в нём присутствует не менее n ⁄ 4 различных чисел.

1210. Имеется кучка из M спичек и лист бумаги, на котором написано число M. Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок берёт из кучки или возвращает в кучку от 1 до k спичек и записывает на листе, сколько спичек стало в кучке. (Вначале все имеющиеся спички лежат в кучке — у игроков спичек нет.) Проигравшим считается тот, кто не может сделать ход или вынужден записать число, уже имевшееся на листе ранее. Кто из игроков выигрывает при правильной игре, если а) k = 2; б) k = 5?

1211. Можно ли расположить в пространстве тетраэдр, шар и плоскость таким образом, чтобы площади сечений тетраэдра и сферы любой плоскостью, параллельной выбранной, были равны?

1212. Множество всех целых чисел разбито на не пересекающиеся одна с другой арифметические прогрессии с положительными разностями d1, d2, d3, ... Может ли случиться, что сумма обратных величин этих разностей меньше числа 0,9, если множество прогрессий а) конечно; б) бесконечно?

1213. а) Если выпуклый шестиугольник можно разрезать на параллелограммы, то он имеет центр симметрии. Докажите это.

б) Если выпуклый шестиугольник, каждая диагональ которого, соединяющая две противоположные его вершины, параллельна двум его сторонам, можно разрезать на n параллелограммов равной площади, то n делится на 3. Докажите это.

1214. В некоторых клетках прямоугольной таблицы из n строк и m > n столбцов расставлены звёздочки так, что в каждом столбце стоит хотя бы одна звёздочка. Докажите, что найдётся такая звёздочка, что в её строке звёздочек больше, чем в её столбце.

1215. Число 15 можно тремя способами разложить в сумму трёх натуральных чисел так, что все 9 чисел различны: 15 = 1 + 6 + 8 = 2 + 4 + 9 = 3 + 5 + 7. Для каждого натурального n обозначим через k(n) наибольшее число троек натуральных чисел, дающих в сумме n и состоящих из различных чисел. Докажите, что а) 6k(n) > n – 6; б) 9k(n) < 2n; в) k(100) = 21; г) k(500) = 110.

1216. Найдите величины углов остроугольного треугольника ABC, если его биссектриса AD равна стороне AC и перпендикулярна отрезку OH, где O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот треугольника ABC.

1217. Обозначим через Hn сумму обратных величин первых n натуральных чисел. Докажите, что для любого натурального n сумма квадратов чисел вида Hn – Hk, где k < n, равна 2n – Hn.

1218. На отрезке AC взята точка B и построены лежащие в одной полуплоскости от прямой AC дуги AB и , сумма величин α и β которых равна 360°. Произвольная дуга AB пересекает их в точках K и L. Докажите, что всевозможные прямые KL пересекают прямую AC в одной и той же точке.

1219. Для любых положительных чисел x1, x2, x3,..., xn, где n > 1, докажите неравенство(s – x1)x1 + (s – x2)x2 + ... + (s – xn)xn ³ n – 1, где s = x1 + x2 + x3 + ... + xn.

1220. Определим последовательность условиями b1 = 0, b2 = 2, b3 = 3, bn+1 = bn–1 + bn–2 при n > 2. Докажите, что для любого простого p число bp делится на p.

1221. Постройте треугольник по двум сторонам так, чтобы медиана, проведённая к третьей стороне, делила угол треугольника в отношении 1 : 2.

1222. Пусть m — натуральное число, m > 1, а s — наибольшее целое число, для которого 2s £ m. Докажите, что а) из любых s + 1 целых чисел можно выбрать несколько чисел и так расставить между ними знаки, каждый из которых — плюс или минус, что значение полученного выражения будет делиться на m; б) оценка в пункте а) неулучшаема, то есть существуют такие s целых чисел, что никакая сумма нескольких из них ни при какой расстановке знаков не делится на m.

1223. На квадратный лист бумаги со стороной a посадили несколько клякс, площадь каждой из которых не больше 1. Никакая прямая, параллельная сторонам листа, не пересекает более одной кляксы. Докажите, что сумма площадей клякс не больше a.

1224. Из вершины треугольника проведён отрезок в точку противоположной стороны, разделённый вписанной окружностью на три равные части. Может ли этот отрезок быть а) высотой; б) медианой; в) биссектрисой треугольника?

1225. а) Если x, y и z = (x2 + y2) ⁄ (xy + 1) — натуральные числа, то z = 5. Докажите это.

б) Уравнение x2 + y2 = 5xy + 5 имеет бесконечно много решений в натуральных числах. Докажите это. Решение М1225.

1226. Если квадрат повернуть вокруг его центра на 45°, то полученный квадрат разделит стороны первоначального в некотором отношении. Возьмём произвольный выпуклый четырёхугольник, разделим его стороны в том же отношении и через точки деления проведём прямые, образующие новый четырёхугольник. Докажите, что площади этих четырёхугольников равны.

1227. Назовём шахматный круговой турнир логичным, если для любых двух его участников выполнено следующее условие: тот, кто набрал не больше очков, тот не выиграл и в личной встрече. Докажите, что каким бы ни был турнир, то же самое распределение очков между участниками можно получить и в некотором логичном турнире. (За победу в шахматной партии дают 1 очко, за ничью — 1⁄2, а за поражение — 0 очков.)

1228. Для любых положительных чисел a, b и c, не превосходящих 1, докажите, что сумма дробей a ⁄ (bc + 1), b ⁄ (ca + 1) и c ⁄ (ab + 1) не превосходит числа 2.

1229. Ни для какого натурального n не является квадратом число а) 4n + 5; б) 8n + 9; в) an + a + 1, где a — целое число, не кратное 8. Докажите это.

1230. В некоторых клетках квадратных таблицы размером 50×50 расставлены числа 1 и –1 таким образом, что абсолютная величина суммы всех чисел таблицы не превосходит 100. Докажите, что хотя бы для одного квадрата размером 25×25 абсолютная величина его чисел не превосходит 5.

1231. На какое наибольшее число частей могут разбить координатную плоскость графики n квадратных трёхчленов? (Квадратный трёхчлен — функция вида y = ax2 + bx + c, где a, b, c — некоторые числа, a a не равно 0.)

1232. Хозяйка испекла для гостей пирог. За столом может оказаться либо p человек, либо q. На какое минимальное количество кусков (не обязательно равных) нужно заранее разрезать пирог, чтобы в любом случае его можно было раздать поровну? Рассмотрите следующие случаи: а) p и q — взаимно простые числа; б) p и q имеют наибольший общий делитель d.

1233. Длина боковой стороны BC трапеции ABCD равна длине её диагонали AC. Точка H — середина основания AB. Прямая l проходит через точку H и пересекает прямые AD и BD в точках P и Q соответственно. Докажите, что углы ACP и QCB равны или составляют в сумме развёрнутый угол.

1234. Любой ли треугольник можно разбить на а) 7; б) 5 подобных между собой треугольников?

1235. Пусть число p = 2q + 1 простое. Докажите, что число 23qq! – (–1)q(2q – 1)!! делится на а) p; б) p2; в) p3, если p > 3. (Здесь (2q – 1)!! — произведение первых q нечётных натуральных чисел.)

1236. Найдите множество точек O внутри данного квадрата на плоскости, для которых существует окружность с центром O, пересекающая стороны квадрата в 8 точках.

1237. Точка O расположена внутри треугольника ABC и такова, что сумма векторов OK, OM и ON равна нулю, где K, M, N — основания перпендикуляров, опущенных из точки O на стороны треугольника. Докажите, что произведение двух корней из трёх на сумму длин отрезков OK, OM и ON не превышает суммы длин сторон треугольника ABC.

1238. Множество натуральных чисел разбито на два подмножества. В одном из них нет ни одной трёхчленной арифметической прогрессии. Обязательно ли в другом есть бесконечная арифметическая прогрессия?

1239. Даны две пересекающиеся окружности и точка P. Проведите через точку пересечения окружностей их общую секущую AB так, чтобы угол APB имел заданную величину.

1240. На клетчатой бумаге со стороной клетки длины 1 выделен квадрат размером n×n клеток. Из одной его вершины в противоположную по линиям сетки проведём случайную ломаную длины 2n. В n клетках квадрата, случайно расположенных в разных строках и разных столбцах, расставим n звёздочек. С какой вероятностью все звёздочки оказались по одну сторону от ломаной? (Другими словами, какую долю среди всевозможных расположений ломаных и звёздочек составляют такие, что звёздочки лежат по одну сторону от ломаной?)

1241. Имеется 1990 кучек, состоящих соответственно из 1, 2, 3,...., 1990 камней. За один шаг разрешено выбросить из любого множества кучек по одинаковому числу камней. За какое наименьшее число шагов можно выбросить все камни?

1242. На сторонах AB и BC правильного 2n-угольника взяты соответственно точки K и N так, что величина угла KEN равна 180° ⁄ n, где E — вершина, противоположная вершине B. Докажите, что NE — биссектриса угла KNC.

1243. а) На доске написано уравнение x2 + x = . Первый из двух играющих называет любые три числа, второй расставляет их по своему выбору вместо звёздочек. Может ли первый добиться, чтобы полученное уравнение имело различные рациональные корни, или второй всегда сможет ему помешать?

б) На доске написано уравнение x3 + x2 + x = . Первый из двух играющих называет любое число, второй ставит его на место любой из звёздочек; затем первый называет ещё одно число, второй ставит его на место одной из двух оставшихся звездочек; наконец, первый ставит любое число на место последней оставшейся звездочки. Может ли первый добиться того, чтобы полученное уравнение имело три различных целых корня?

1244. В сенате, состоящем из 30 сенаторов, каждые двое дружат или враждуют, причём каждый враждует ровно с 6 другими. Найдите общее количество троек сенаторов, в которых либо все трое дружат друг с другом, либо все трое враждуют между собой.

1245. На плоскости заданы точка O и n векторов, сумма которых равна нулю. Докажите, что можно отложить эти векторы, начав в точке O, один за другим в таком порядке, что полученная замкнутая (быть может, самопересекающаяся) ломаная будет целиком расположена в некотором угле величиной 60° с вершиной в точке O.

1246. В любой бесконечной арифметической прогрессии, члены которой — натуральные числа, есть два числа с одинаковой суммой цифр. Докажите это.

1247. Можно ли плоскость покрыть без наложений квадратами с длинами сторон 1, 2, 4, 8, 16,..., используя квадрат каждого размера не более а) десяти раз; б) одного раза?

1248. Отрезок I покрыт несколькими меньшими отрезками, ни один из которых не выходит за пределы отрезка I.

а) Докажите, что левые половины этих отрезков покрывают не менее половины отрезка I.

б) Докажите, что если у каждого из этих отрезков отбросить какую-либо половину — левую или правую,— то оставшиеся половины покроют не менее трети длины отрезка I.

1249. В королевстве n > 6 городов, каждые два их которых соединены одной дорогой с односторонним движением. При этом не из каждого города можно проехать в любой другой, не нарушая правила движения.

а) Докажите, что король может выбрать один из городов и, изменив направление движения на всех дорогах, входящих и выходящих из него, добиться того, чтобы можно было проехать из любого города в любой другой.

б) Верно ли это утверждение для n = 6?

1250. Для любых положительных чисел x1, x2,..., xn докажите, что сумма дробей x1 ⁄ (x2 + x3), x2 ⁄ (x3 + x4),..., xn–1 ⁄ (xn + x1), xn ⁄ (x1 + x2) больше а) произведения числа n на разность между квадратным корнем из числа 2 и числом 1; б) 5n ⁄ 12. в) Докажите, что эта сумма не меньше n ⁄ 2, если последовательность x1, x2,..., xn монотонна.

1251. На плоскости дан угол (меньше развернутого). Проведите два отрезка PM и QM с заданной суммой длин s, отрезающие от угла четырёхугольник наибольшей площади (P и Q — точки на сторонах угла, M — внутри угла).

1252. Пусть a и n — натуральные числа, a > 1. Докажите, что φ(an – 1) делится на n.

φ — это функция Эйлера, то есть φ(k) обозначает количество несократимых правильных дробей со знаменателем k.

1253. На плоскости нарисован выпуклый многоугольник M, разбитый на несколько выпуклых многоугольников,— «карта» из нескольких «стран». Будем говорить, что такая карта реализуема в пространстве, если существует выпуклый многогранник, у которого одна из граней — M, а проекции остальных граней на плоскости грани M — страны этой карты (причём все они лежат внутри M).

а) Постройте пример карты из треугольников, не допускающей реализацию в пространстве.

Докажите, что карта допускает выпуклую реализацию в каждом из следующих случаев:

б) все страны — остроугольные треугольники;

в) каждая страна — вписанный многоугольник, содержащий внутри себя центр описанной окружности.

1254. Прямоугольник размером m×n можно разрезать на фигурки из четырёх клеток в форме буквы Г тогда и только тогда, когда mn делится на 8, причём m > 1 и n > 1. Докажите это.

1255. Если h — наименьшая высота тетраэдра, d — наименьшее из расстояний между его скрещивающимися рёбрами, то h < 2d < 3h. Докажите эти неравенства.

1256. Две равные окружности касаются друг друга. Постройте такую трапецию, что каждая из окружностей касается трёх её сторон, а центры окружностей лежат на диагоналях трапеции.

125


Источник: http://www.kvant.info/zkm_main.htm

Закрыть ... [X]

Fasting natural health healing raw food - m Фото причесок короткого каре



Вычислите отношение площадей треугольников Make me brow Студия бровей, креативные
Вычислите отношение площадей треугольников MoeTV. org Хороший портал о кино
Вычислите отношение площадей треугольников Total Productive Maintenance (TPM). Ремонт и реставрация
Вычислите отношение площадей треугольников «Пятьдесят оттенков свободы» читать
Вычислите отношение площадей треугольников Бенгальская кошка: описание, фото, стандарт, характер
Витамины для женщин - для красоты кожи, укрепления ногтей и К чему снится муж? Сонник - муж во сне Как правильно выбрать клей для наращивания ресниц (по) Лучшие банкетные залы в Москве с фото, отзывами и обзорами Маникюр под бирюзовое платье лучезарный и яркий образ Образцы искового заявления в суд. Бесплатно скачать бланки Подбор статуса: статусы про сложные отношения с близкими Прыщи. Прыщи на лице. Лечение прыщей. Прыщи